Đề bài
CD là một đường kính của đường tròn [O], AB là một dây cung song song với CD. Vẽ dây cung AE song song với CB, gọi F là giao điểm các đường thẳng AB và DE. Đường thẳng đi qua F song song với BC cắt đường thẳng CD tại G. Chứng minh GA tiếp xúc với đường tròn [O].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Gọi H là giao điểm của AC và GF.
+] Chứng minh tứ giác AFDG và CDFH là tứ giác nội tiếp.
+] Chứng minh tam giác GAC và tam giác GDA đồng dạng \[ \Rightarrow \widehat {GAC} = \widehat {GDA}\].
Lời giải chi tiết
Vì BC // FG \[ \Rightarrow \widehat {DCB} = \widehat {DGF}\] [hai góc đồng vị bằng nhau].
Mà \[\widehat {DCB} = \widehat {DAB}\] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD] \[ \Rightarrow \widehat {DGF} = \widehat {DAB}\] hay \[\widehat {DGF} = \widehat {DAF}\].
\[ \Rightarrow \] Tứ giác AFDG là tứ giác nội tiếp [Tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau] \[ \Rightarrow \widehat {GAD} = \widehat {GFD}\] [1] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung GD].
Gọi H là giao điểm của AC và GF.
Ta có: AE // FH \[ \Rightarrow \widehat {AED} = \widehat {HFD}\] [hai góc đồng vị bằng nhau].
Mà \[\widehat {AED} + \widehat {ACD} = {180^0}\] [Tứ giác ACDE là tứ giác nội tiếp] \[ \Rightarrow \widehat {HFD} + \widehat {ACD} = {180^0}\]
Lại có \[\widehat {ACD} + \widehat {ACG} = {180^0}\] [hai góc kề bù] \[ \Rightarrow \widehat {HFD} = \widehat {ACG}\] hay \[\widehat {GFD} = \widehat {ACG}\] [2]
Từ [1] và [2] \[ \Rightarrow \widehat {GAD} = \widehat {ACG}\].
Xét tam giác GAC và tam giác GDA có:
\[\widehat G\] chung;
\[\widehat {ACG} = \widehat {GAD}\,\,\left[ {cmt} \right]\];
\[ \Rightarrow \Delta GAC \sim \Delta GDA\,\,\left[ {g.g} \right]\] \[ \Rightarrow \widehat {GAC} = \widehat {GDA}\] [hai góc tương ứng].
Ta có: \[\widehat {GDA}\] là góc nội tiếp chắn cung AC].
\[\widehat {GAC}\] là góc ở vị trí tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung AC.
Lại có \[\widehat {GAC} = \widehat {GDA}\,\,\left[ {cmt} \right] \Rightarrow \] AG là tiếp tuyến của đường tròn \[\left[ O \right]\] hay GA tiếp xúc với đường tròn [O] [đpcm].