Đề bài
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O và một điểm D di động trên cung AC. Gọi E là giao điểm của AC và BD, gọi F là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:
a] \[\widehat {AFB} = \widehat {ABD}\]
b] Tích AE.BF không đổi.
Lời giải chi tiết
a] Do tam giác ABC đều \[ \Rightarrow AB = AC \Rightarrow \,cung\,AB = cung\,AC\] [hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau].
Vì \[\widehat {AFB}\] là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên
\[\widehat {AFB} = \dfrac{{sd\,cung\,AB - sd\,cung\,CD}}{2} \]\[\,= \dfrac{{sd\,cung\,AC - sd\,cung\,CD}}{2} \]\[\,= \dfrac{{sd\,cung\,AD}}{2}\].
\[\widehat {ABD}\] là góc nội tiếp đường tròn \[\left[ O \right]\] chắn cung AD nên \[\widehat {ABD} = \dfrac{{sd\,cung\,AD}}{2}\].
Vậy \[\widehat {AFB} = \widehat {ABD}\].
b] Xét tam giác ABD và tam giác AFB có:
\[\widehat {BAF}\] chung;
\[\widehat {ABD} = \widehat {AFB}\,\,\left[ {cmt} \right]\]
\[ \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta AFB\,\,\left[ {g.g} \right]\]
\[ \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AF}} = \dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{BD}}{{BF}} \]
\[\Rightarrow BF = \dfrac{{AB.BD}}{{AD}} = \dfrac{{AF.BD}}{{AB}}\]
\[ \Rightarrow AE.BF = \dfrac{{AB.BD}}{{AD}}.\dfrac{{BE.AD}}{{BC}}\]\[\, = \dfrac{{AB.BD.AD}}{{BC}} = BD.AD\]
\[\begin{array}{l}\Delta BDF \sim \Delta ADC\end{array}\]