Lý thuyết về phép vị tự cũng như các dạng toán thường gặp của phép vị tự học sinh đã được tìm hiểu trong chương trình Toán 11, phân môn Hình học. Sau đây THPT Sóc Trăng sẽ giúp bạn hệ thống lại tất cả các kiến thức cần ghi nhớ về chuyên đề này và cung cấp thêm cho bạn phương pháp giải các dạng toán thường gặp của phép vị tự. Các bạn tìm hiểu nhé !
A. LÝ THUYẾT VỀ PHÉP VỊ TỰ
1. Lý thuyết
Bạn đang xem: Công thức phép vị tự. Phương pháp giải các dạng toán của phép vị tự
* Định nghĩa: điểm I cố định và một số thực k không đổi, K ≠ 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’, sao cho
* Nhận xét:
– Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.
– Phép vị tự tỉ số k = 1 chính là phép đồng nhất.
– Phép vị tự tâm I tỉ số k = -1 chính là phép đối xứng qua tâm I.
* Tính chất:
– Biến đường thẳng không qua tâm vị tự đường thẳng song song với nó.
– Biến đường thẳng qua tâm vị tự thành chính nó.
– Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài gấp |k| đoạn thẳng ban đầu.
– Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng |k|.
– Biến góc thành góc bằng với góc ban đầu.
– Biến tia thành tia.
– Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn có bán kính |k|.R.
2. Công thức
Cho điểm M[x0; y0]. Phép vị tự tâm I[a; b], tỉ số k biến điểm M thành M’ có tọa độ [x’; y’] thỏa mãn:
Đối với phép vị tự tâm O biến M thành M’ thì
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho điểm I[1; 2] cố định và số thực k = 2.
a] Tìm ảnh A’ của điểm A[3; 4] qua phép vị tự tâm I, tỉ số k.
b] Tìm ảnh của đường thẳng d: x – 2y + 1 = 0 qua phép vị tự tâm I, tỉ số k.
Lời giải
a] Ta có V[1; 2][A] = A’[x’;y’]
nên
Vậy tọa độ điểm A’[5;6].
b] Gọi đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm I, tỉ số k = 2
Ta có: I không nằm trên đường thẳng d [vì 1 – 2.2 + 1 = -2]
Nên d’ song song với d. Khi đó phương trình d’ có dạng: x – 2y + c = 0 [c khác 1]
Lấy điểm M[1;1] ∈ d , ta có V[I;2] [M] = M’ ∈ d’.
Tọa độ điểm M’[x’;y’]:
Vì M’ ∈ d’ nên 1 – 2.0 + c = 0, suy ra c = -1 [thỏa mãn]
Vậy phương trình đường thẳng d’: x – 2y – 1 = 0.
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn [C]: [x – 1]2 + [y – 2]2 = 4. Tìm ảnh [C’] của [C] qua phép vị tự tâm I[-1; 2], tỉ số k = 3?
Lời giải
Đường tròn [C] có tâm A[1;2], kính R = 2.
Đường tròn [C’] là ảnh của [C] qua phép vị tự tâm I, tỉ số k = 3 nên [C’] có bán kính R’ = 3.2 = 6 và tâm A’ là ảnh của A qua phép vị tự tâm I, tỉ số k = 3.
Ta có A’[x’; y’] = V[I;3][A]
Tọa độ điểm A’:
Vậy phương trình đường tròn [C’]: [x – 5]2 + [y – 2]2 = 36.
Đăng bởi: THPT Sóc Trăng
Bản quyền bài viết thuộc trường trung học phổ thông Sóc Trăng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận.
Nguồn chia sẻ: Trường THPT Thành Phố Sóc Trăng [thptsoctrang.edu.vn]
1. Định nghĩa
Cho điểm \[I\] và một số thực \[k \ne 0\]. Phép biến hình biến mỗi điểm \[M\] thành điểm \[M'\] sao cho \[\overrightarrow {IM'} = k.\overrightarrow {IM} \] được gọi là phép vị tự tâm \[I\] tỉ số \[k\].
Kí hiệu \[{V_{\left[ {I;k} \right]}}\].
2. Tính chất
- Nếu ${V_{\left[ {I;k} \right]}}\left[ M \right] = M',{V_{\left[ {I;k} \right]}}\left[ N \right] = N'$ thì $\overrightarrow {M'N'} = k\overrightarrow {MN} $ và $M'N' = \left| k \right|MN$
- Phép vị tự tỉ số \[k\] biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa ba điểm đó.
- Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
- Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc bằng nó.
- Biến đường tròn có bán kính \[R\] thành đường tròn có bán kính $\left| k \right|R$
Trong mặt phẳng tọa độ, cho $I\left[ {{x_0};{y_0}} \right],M\left[ {x;y} \right]$, gọi $M'\left[ {x';y'} \right] = {V_{\left[ {I;k} \right]}}\left[ M \right]$ thì $\left\{ \begin{array}{l}x' = kx + \left[ {1 - k} \right]{x_0}\\y' = ky + \left[ {1 - k} \right]{y_0}\end{array} \right.$.
4. Tâm vị tự của hai đường tròn
Định lí: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia.
Tâm của phép vị tự này được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.
Cho hai đường tròn $\left[ {I;R} \right]$ và $\left[ {I';R'} \right]$
- Nếu $I \equiv I'$ thì các phép vị tự ${V_{\left[ {I; \pm \frac{{R'}}{R}} \right]}}$ biến $\left[ {I;R} \right]$ thành $\left[ {I';R'} \right]$.
- Nếu $I \ne I'$ và $R \ne R'$ thì các phép vị tự ${V_{\left[ {O;\frac{{R'}}{R}} \right]}}$ và ${V_{\left[ {{O_1}; - \frac{{R'}}{R}} \right]}}$ biến $\left[ {I;R} \right]$ thành $\left[ {I';R'} \right]$. Ta gọi $O$ là tâm vị tự ngoài còn ${O_1}$ là tâm vị tự trong của hai đường tròn.
Nếu $I \ne I'$ và $R = R'$ thì có ${V_{\left[ {{O_1}; - 1} \right]}}$ biến $\left[ {I;R} \right]$ thành $\left[ {I';R'} \right]$