Công thức giải phương trình bậc 1
|
1. Các kiến thức cần nhớ Show
Định ngĩa phương trình bậc nhất một ẩn Phương trình dạng \(ax + b = 0,\)với a và b là hai số đã cho và \(a \ne 0,\) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó. Quy tắc nhân với một số: Trong một phương trình, ta có thể: - Nhân cả hai vế với cùng một số khác $0.$ - Chia cả hai vế cho cùng một số khác $0.$ Phương trình dạng \(ax + b = 0\) với \(a \ne 0\) luôn có một nghiệm duy nhất \(x = - \dfrac{b}{a}.\) 2. Các dạng toán thường gặp Dạng 1: Nhận dạng phương trình bậc nhất một ẩn Phương pháp: Ta sử dụng định nghĩa: Phương trình dạng \(ax + b = 0,\)với a và b là hai số đã cho và \(a \ne 0,\) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. Dạng 2: Giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn. Phương pháp: Ta dùng các quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số để giải phương trình. Biện luận phương trình bậc nhất một ẩn: Cho phương trình \(ax + b = 0\) \(\left( 1 \right)\) . + Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có vô số nghiệm + Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b \ne 0\end{array} \right.\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) vô nghiệm + Nếu \(a \ne 0\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất \(x = - \dfrac{b}{a}\). Dạng 3: Giải các phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn Phương pháp: Cách giải phương trình đưa được về dạng $ax + b = 0$: * Nếu phương trình có mẫu số thì ta thực hiện các bước: + Quy đồng mẫu hai vế + Nhân hai vế với mẫu chung để khử mẫu + Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia + Thu gọn và giải phương trình nhận được. * Nếu phương trình không chứa mẫu thì ta sử dụng các quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân, phá ngoặc và sử dụng hằng đẳng thức để biến đổi. * Nếu phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì ta phá dấu giá trị tuyệt đối hoặc sử dụng \(\left| A \right| = m\,\,\left( {m \ge 0} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = m\\A = - m\end{array} \right.\) .
1. Các kiến thức cần nhớ
Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn Phương trình dạng \(ax + b = 0,\)với a và b là hai số đã cho và \(a \ne 0,\) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó. Quy tắc nhân với một số: Trong một phương trình, ta có thể: - Nhân cả hai vế với cùng một số khác $0.$ - Chia cả hai vế cho cùng một số khác $0.$ Phương trình dạng \(ax + b = 0\) với \(a \ne 0\) luôn có một nghiệm duy nhất \(x = - \dfrac{b}{a}.\) Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn Bước 1: Chuyển vế \(ax = -b\) Bước 2: Chia hai vế cho \(a\) ta được: \(x = \dfrac{-b}{a}\) Bước 3: Kết luận nghiệm: \(S = \left \{ \dfrac{-b}{a} \right \}\) Tổng quát phương trình \(ax+b=0\) (với \(a\ne0\)) được giải như sau: \(ax + b = 0 \Leftrightarrow ax = -b \Leftrightarrow x = \dfrac{-b}{a}\) Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất là \(x= \dfrac{-b}{a} \)
Chú ý: Cho phương trình \(ax + b = 0\) \(\left( 1 \right).\) + Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có vô số nghiệm + Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b \ne 0\end{array} \right.\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) vô nghiệm +Nếu \(a \ne 0\) phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất \(x = - \dfrac{b}{a}\). 2. Các dạng toán thường gặp Dạng 1: Nhận dạng phương trình bậc nhất một ẩn Phương pháp: Ta sử dụng định nghĩa: Phương trình dạng \(ax + b = 0,\)với a và b là hai số đã cho và \(a \ne 0,\) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. Dạng 2: Giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn. Phương pháp: Ta dùng các quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số để giải phương trình. Biện luận phương trình bậc nhất một ẩn: Cho phương trình \(ax + b = 0\) \(\left( 1 \right)\) . + Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có vô số nghiệm + Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b \ne 0\end{array} \right.\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) vô nghiệm + Nếu \(a \ne 0\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất \(x = - \dfrac{b}{a}\). Dạng 3: Giải các phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn Phương pháp: Cách giải phương trình đưa được về dạng $ax + b = 0$: * Nếu phương trình có mẫu số thì ta thực hiện các bước: + Quy đồng mẫu hai vế + Nhân hai vế với mẫu chung để khử mẫu + Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia + Thu gọn và giải phương trình nhận được. * Nếu phương trình không chứa mẫu thì ta sử dụng các quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân, phá ngoặc và sử dụng hằng đẳng thức để biến đổi. * Nếu phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì ta phá dấu giá trị tuyệt đối hoặc sử dụng \(\left| A \right| = m\,\,\left( {m \ge 0} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = m\\A = - m\end{array} \right.\) .
Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải phương trình bậc nhất một ẩn một cách dễ dàng và chính xác nhất cùng các ví dụ cụ thể và bài tập SGK. Trước tiên ta cùng đến các kiến thức cần nhớ để giúp ta giải phương trình bậc nhất một ẩn. Xem thêm: Các bài viết Toán 8 Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn1. Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩnPhương trình dạng ax + b = 0 với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. 2. Hai quy tắc biến đổi phương trìnha) Quy tắc chuyển vế Trong một phương trình, ta có thể chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia và đổi dấu số hạng đó. Ví dụ: 3x + 4 = 0 ⇔ 3x = − 4 b) Quy tắc nhân với một số Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0. Ví dụ: 3x = − 4 ⇔ 3.1/3 .x = − 4 .1/3 ⇔ x = – 4/3 (ta nhân cả hai vế với 1/3 cũng tương đương với việc ta chia cả hai vế cho 3) 3. Cách giải phương trình bậc nhất một ẩnCách giải: Phương trình bậc nhất ax + b = 0 (a ≠ 0) được giải như sau: ax + b = 0 ⇔ ax = − b ⇔ x = − b/a. Phương trình bậc nhất một ẩn luôn có một nghiệm duy nhất x = − b/a. 4. Ví dụ. Giải các phương trình bậc nhấtVí dụ 1: Giải phương trình bậc nhất (dạng đơn giản) a) 2x − 1 = 0 ⇔ 2x = 1 <<< Ta chuyển vế – 1 từ trái sang phải và đổi dấu thành 1 ⇔ x = 1/2 <<< Ta chia cả hai vế cho 2 Vậy phương trình có nghiệm là x = 1/2. Hoặc Kết luận: Tập nghiệm của phương trình S = {1/2}. b) – 4x + 4 = 0 ⇔ – 4x = – 4 <<< Ta chuyển vế 4 từ trái sang phải và đổi dấu thành – 4 ⇔ x = (-4)/(-4) = 1 <<< Ta chia cả hai vế cho -4 Các dạng bài tập giải phương trình bậc nhấtDạng 1: Nhận dạng phương trình bậc nhất.Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa phương trình bậc nhất để đối chiếu với các phương trình đã cho.
Bài 1: (B7/10/SGK Toán 8 tập 2) Hãy chỉ ra các phương trình bậc nhất trong các phương trình sau: a) 1 + x = 0 Phương trình này thuộc dạng ax + b = 0 nên là phương trình bậc nhất một ẩn với a = 1. b) x + x² = 0 Phương trình này có ẩn x mũ 2 nên không là phương trình bậc nhất. c) 1 – 2t = 0 Phương trình này có ẩn là t và có dạng at + b = 0 với a = -2 và b = 1, nên đây là phương trình bậc nhất. d) 3y = 0 Phương trình này có ẩn là y bậc nhất và có dạng ay + b = 0 với a = 3 và b = 0, nên đây là phương trình bậc nhất. e) 0x − 3 = 0 Phương trình trên có dạng ax + b = 0 nhưng a = 0 nên đây không phải phương trình bậc nhất. Dạng 2: Giải phương trình bậc nhất, phương trình đưa được về dạng ax + b = 0Phương pháp giải: Ta áp dụng các quy tắc chuyển vế và nhân (chia) cả hai vế với một số để đưa phương trình về dạng phương trình bậc nhất ax + b = 0 hoặc ax = – b để giải. Bài 2: (B8/10/SGK Toán 8 tập 2) Giải các phương trình bậc nhất sau: a) 4x − 20 = 0 ⇔ 4x = 20 ⇔ x = 20/4 = 5. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 5. b) 2x + x + 12 = 0 ⇔ (2x + x) + 12 = 0 <<< Ta CỘNG tất cả các đơn thức có chứa x ⇔ 3x + 12 = 0 ⇔ 3x = – 12 ⇔ x = -12/3 = – 4 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = – 4. c) x − 5 = 3 − x ⇔ x + x = 3 + 5 <<< Chuyển vế đổi dấu, đưa hết các đơn thức chứa x sang trái và số sang vế phải ⇔ 2x = 8 <<< Đưa về phương trình bậc nhất dạng ax = -b ⇔ x = 8/2 = 4 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 4. d) 7 − 3x = 9 − x ⇔ − 3x + x = 9 − 7 <<< Chuyển vế đổi dấu, đưa hết các đơn thức chứa x sang trái và số sang vế phải ⇔ − 2x = 2 ⇔ x = 2/(-2) = – 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = -1. Bài 3: Giải các phương trình bậc nhất sau: a) (3x + 5) − (x − 5) − 8 = 0 ⇔ 3x + 5 − x + 5 − 8 = 0 <<< Phá ngoặc đằng trước có dấu trừ phải đối dấu ⇔ 3x − x + 2 = 0 ⇔ 2x + 2 = 0 <<< Đưa về phương trình bậc nhất dạng ax + b = 0 ⇔ 2x = – 2 ⇔ x = – 1. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = -1. b) (3 − 5x) + (6x − 10) − 9 = 0 ⇔ 3 − 5x + 6x − 10 − 9 = 0 ⇔ x − 16 = 0 ⇔ x = 16. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 16. Bài 4. Giải các phương trình sau: ⇔ 2x − 3(2x + 1) = x − 6x <<< Ta quy đồng mẫu số cả hai vế (MSC = 6) ⇔ 2x − 6x − 3 = x − 6x ⇔ – 4x − 3 = – 5x ⇔ – 4x + 5x = 3 <<< Chuyển vế đổi dấu ⇔ x = 3 Vậy x = 3 là nghiệm của phương trình đã cho. ⇔ 4(2 + x) − 10x = 5(1 − 2x) + 5 <<< Quy đồng mẫu số cả 2 vế ⇔ 8 + 4x − 10x = 5 − 10x + 5 ⇔ 4x − 10x + 10x = 10 − 8 <<< Chuyển vế đổi dấu ⇔ 4x = 2 ⇔ x = 2/4 = 1/2. Vậy x = 1/2 là nghiệm của phương trình đã cho. Bài 5. Giải các phương trình sau: a) 3 − 4x(25 − 2x) = 8x² + x − 300 Lúc đầu ta nhìn phương trình có vẻ như có ẩn x mũ 2. Ta nhân phá ngoặc để thực hiện rút gọn đa thức. Ta có phương trình đã cho tương đương với 3 − 100x + 8x² = 8x² + x − 300 ⇔ − 100x + 8x² − 8x² − x = − 300 − 3 ⇔ − 101x = − 303 ⇔ x = 3 Vậy x = 3 là nghiệm của phương trình đã cho. Ta thực hiện quy đồng mẫu số cả hai vế với mẫu số chung là 20. Phương trình đã cho tương đương với 8(1 − 3x) − 2(2 + 3x) = 20.7 − 15(2x + 1) ⇔ 8 − 24x − 4 − 6x = 140 − 30x − 15 ⇔ − 24x − 6x + 30x = 140 − 15 + 4 − 8 ⇔ 0x = 121 Phương trình này vô nghiệm. Dạng 3. Giải và biện luận phương trình bậc nhấtPhương pháp giải: Nếu trong phương trình bậc nhất có chứa chữ (gọi là tham số), thì ta phải chia các trường hợp giá trị tham số làm cho hệ số của ẩn khác 0 hoặc bằng 0 rồi mới giải tiếp. Bài 6. Giải phương trình ax + 1 = x − 1 với a là tham số. Giải: Ta biến đổi phương trình đã cho về dạng: ax − x = − 1 − 1 ⇔ (a − 1)x = − 2
0x = − 2, phương trình vô nghiệm.
x = −2/(a − 1) Bài 7. Giải phương trình a(ax + 1) = x(a + 2) + 2, với a là tham số. Giải: Ta biến đổi phương trình đã cho về dạng: a²x + a = ax + 2x + 2 ⇔ a²x − ax − 2x = 2 − a ⇔ (a² − a − 2)x = 2 − a ⇔ (a + 1)(a − 2)x = 2 − a.
x = – 1/(a+1) Bài 8. Tìm giá trị của m để phương trình 5(m + 3x)(x + 1) − 4(1 + 2x) = 80 có nghiệm x = 2. Giải: Phương trình có nghiệm x = 2 tức là giá trị x = 2 thỏa mãn phương trình nên thay giá trị x = 2 vào phương trình, ta có: 5(m + 3 . 2 )(2 + 1) − 4(1 + 2 . 2) = 80 ⇔ 15(m + 6) − 20 = 80 ⇔ 15m = 10 Lúc này ta coi m là ẩn và giải phương trình bậc nhất thu được nghiệm m = 10/15 = 2/3. Vậy với m = 2/3 thì phương trình nhận x = 2 là nghiệm. Xem thêm: Các bài viết Toán 8 Tham khảo các kiến thức Toán 8 tại đây Ths. Toán học Nguyễn Thùy Dung |
