+] Áp dụng định lý: Nếu hàm số y = f[x] liên tục trên đoạn [a; b] và f[a].f[b] < 0, thì phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng [a; b].
+] Các bước làm bài chứng minh phương trình có nghiệm.
– Bước 1: Biến đổi phương trình cần chứng minh về dạng f[x] = 0.
Bạn đang xem: Cách chứng minh phương trình luôn có nghiệm
– Bước 2: Tìm 2 số a và b [a < b] sao cho f[a] . f[b] < 0
– Bước 3: Chứng minh hàm số y = f[x] liên tục trên đoạn [a; b].
Từ đó suy ra phương trình f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc [a; b].
Lưu ý: Các bước trên có thể thay đổi thứ tự.
+] Một số chú ý:
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình 4x3 – 8x2 + 1 = 0 có nghiệm trong khoảng [–1;2].
Hướng dẫn giải:
Hàm số f[x] = 4x3 – 8x2 + 1 liên tục trên R.
Ta có: f[-1] = -11, f[2] = 1 nên f[-1].f[2] < 0.
Do đó theo tính chất hàm số liên tục, phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng [–1;2].
Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình x3 + x – 1 = 0 có nghiệm.
Hướng dẫn giải:
Đặt f[x] = x3 + x – 1
Hàm f[x] là hàm đa thức nên f[x] liên tục trên R [định lý cơ bản về tính liên tục]
Suy ra hàm f[x] liên tục trên đoạn [0; 1] [vì [0; 1] ⊂ R] [1]
Ta có: f[0] = 03 + 0 – 1 = – 1 ; f[1] = 13 + 1 – 1 = 1
⇒ f[0] . f[1] = – 1. 1 = – 1 < 0 [2]
Từ [1] và [2] suy ra f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0; 1] [tính chất hàm số liên tục].
Vậy phương trình x3 + x – 1 = 0 có nghiệm [đpcm].
Ví dụ 3: Chứng minh 4x4 + 2x2 – x – 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng [-1; 1].
Hướng dẫn giải:
+ Đặt f[x] = 4x4 + 2x2 – x – 3
Vì f[x] là hàm đa thức nên f[x] liên tục trên R.
Suy ra f[x] liên tục trên các đoạn [-1 ; 0] và [0; 1].
+ Ta có: f[-1] = 4.[-1]4 + 2.[-1]2 – [-1] – 3 = 4
f[0] = 4.0 + 2.0 – 0 – 3 = -3
f[1] = 4.14 + 2.12 – 1 – 3 = 2
+ Vì f[-1].f[0] = 4.[-3] = -12 < 0 nên phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [-1; 0]
Vì f[0] . f[1] = -3 . 2 = -6 < 0 nên phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0; 1]
Mà hai khoảng [-1; 0] và [0; 1] không giao nhau. Từ đó suy ra phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc [-1; 1]. [đpcm]
Ví dụ 4: Chứng minh rằng phương trình x5 – 5x3 + 4x – 1 = 0 có đúng 5 nghiệm.
Hướng dẫn giải:
Đặt f[x] = x5 – 5x3 + 4x – 1 thì f[x] liên tục trên R [vì f[x] là hàm đa thức].
Ta có:
Ví dụ 5: Chứng minh rằng phương trình [m2 – m + 3]x2n – 2x – 4 = 0 với n ∈ N* luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.
Hướng dẫn giải:
Đặt f[x] = [m2 – m + 3]x2n – 2x – 4
Ta có:
Mặt khác hàm số f[x] xác định là liên tục trên R nên hàm số liên tục trên đoạn [-2; 0]
Do đó phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng [-2; 0].
Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.
Ví dụ 6: Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm.
Hướng dẫn giải:
C. Bài tập áp dụng
Bài 1. Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng [-2;1]: 2x5-5x3-1=0.
Bài 2. CMR phương trình:2x3-5x2+x+1=0 có ít nhất hai nghiệm.
Bài 3. CMR phương trình: 3x3 + 2x – 5 = 0 có ít nhất một nghiệm.
Bài 4. CMR phương trình: 4x4 + 2x2 – x = 3 có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng [-1; 1].
Bài 5. CMR phương trình 2x3 – 6x + 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt trên đoạn
Bài 6. Chứng minh phương trình sau có nghiệm:
[m2 – 4][x – 1]6 + 5x2 – 7x + 1=0
Bài 7. Chứng minh rằng phương trình:
a. x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 có ít nhất một nghiệm.
b. cos2x = 2sinx – 2 có ít nhất hai nghiệm trong [-p/6; p]
c. x5 – 5x3 + 4x – 1 = 0 có năm nghiệm phân biệt
d. [m2 – 1]x5 – [11m2 – 10]x + 1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0;2]*
Bài 8. CMR các phương sau luôn có nghiệm:
a] m[x – 1][x – 2] + 2x + 1 = 0
b] [m2 – 2m]x3 + 2x – 1 = 0
c] cosx + mcoss2x = 0
d] [1 – m2][x + 1]3 + x2 – x – 3 = 0
Bài 9. Chứng minh rằng phương trình:
a. 2x5 + 3x4 + 3×2 – 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm.
b. 2x3 + 3x2 + 10x + 200 = 0 luôn có nghiệm.
c. 4x4 + 2x2 – x – 28 = 0 luôn có nghiệm
Đăng bởi: Đại Học Đông Đô
Chuyên mục: Lớp 11, Toán 11
Xét hàm số `f[x]=x^5-5x^3+4x-1`
Ta có:
`f[x]` là hàm số đa thức liên tục trên `RR`, do đó nó liên tục trên các đoạn $[-2;-\frac{3}{2}],[-\frac{3}{2};-1],[-1;\frac{1}{2}],[\frac{1}{2};1],[1;3]$ `[1]`
Mặt khác:
`f[-2]=-1,f[-3/2]=73/32,f[-1]=-1,f[1/2]=13/32,f[1]=-1,f[3]=119`
Do đó:
`f[-2].f[-3/2]