Chứng minh rằng phương trình x^5 x 3 có nghiệm
|
+) Áp dụng định lý: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng (a; b). +) Các bước làm bài chứng minh phương trình có nghiệm. – Bước 1: Biến đổi phương trình cần chứng minh về dạng f(x) = 0. Bạn đang xem: Cách chứng minh phương trình luôn có nghiệm
– Bước 2: Tìm 2 số a và b (a < b) sao cho f(a) . f(b) < 0 – Bước 3: Chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Từ đó suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b). Lưu ý: Các bước trên có thể thay đổi thứ tự. +) Một số chú ý: B. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Chứng minh rằng phương trình 4x3 – 8x2 + 1 = 0 có nghiệm trong khoảng (–1;2). Hướng dẫn giải: Hàm số f(x) = 4x3 – 8x2 + 1 liên tục trên R. Ta có: f(-1) = -11, f(2) = 1 nên f(-1).f(2) < 0. Do đó theo tính chất hàm số liên tục, phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (–1;2). Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình x3 + x – 1 = 0 có nghiệm. Hướng dẫn giải: Đặt f(x) = x3 + x – 1 Hàm f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R (định lý cơ bản về tính liên tục) Suy ra hàm f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] (vì [0; 1] ⊂ R) (1) Ta có: f(0) = 03 + 0 – 1 = – 1 ; f(1) = 13 + 1 – 1 = 1 ⇒ f(0) . f(1) = – 1. 1 = – 1 < 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1) (tính chất hàm số liên tục). Vậy phương trình x3 + x – 1 = 0 có nghiệm (đpcm). Ví dụ 3: Chứng minh 4x4 + 2x2 – x – 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (-1; 1). Hướng dẫn giải: + Đặt f(x) = 4x4 + 2x2 – x – 3 Vì f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R. Suy ra f(x) liên tục trên các đoạn [-1 ; 0] và [0; 1]. + Ta có: f(-1) = 4.(-1)4 + 2.(-1)2 – (-1) – 3 = 4 f(0) = 4.0 + 2.0 – 0 – 3 = -3 f(1) = 4.14 + 2.12 – 1 – 3 = 2 + Vì f(-1).f(0) = 4.(-3) = -12 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-1; 0) Vì f(0) . f(1) = -3 . 2 = -6 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1) Mà hai khoảng (-1; 0) và (0; 1) không giao nhau. Từ đó suy ra phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc (-1; 1). (đpcm) Ví dụ 4: Chứng minh rằng phương trình x5 – 5x3 + 4x – 1 = 0 có đúng 5 nghiệm. Hướng dẫn giải: Đặt f(x) = x5 – 5x3 + 4x – 1 thì f(x) liên tục trên R (vì f(x) là hàm đa thức). Ta có: Ví dụ 5: Chứng minh rằng phương trình (m2 – m + 3)x2n – 2x – 4 = 0 với n ∈ N* luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m. Hướng dẫn giải: Đặt f(x) = (m2 – m + 3)x2n – 2x – 4 Ta có: Mặt khác hàm số f(x) xác định là liên tục trên R nên hàm số liên tục trên đoạn [-2; 0] Do đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-2; 0). Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m. Ví dụ 6: Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm. Hướng dẫn giải: C. Bài tập áp dụngBài 1. Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2;1): 2x5-5x3-1=0. Bài 2. CMR phương trình:2x3-5x2+x+1=0 có ít nhất hai nghiệm. Bài 3. CMR phương trình: 3x3 + 2x – 5 = 0 có ít nhất một nghiệm. Bài 4. CMR phương trình: 4x4 + 2x2 – x = 3 có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng (-1; 1). Bài 5. CMR phương trình 2x3 – 6x + 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt trên đoạn Bài 6. Chứng minh phương trình sau có nghiệm: (m2 – 4)(x – 1)6 + 5x2 – 7x + 1=0 Bài 7. Chứng minh rằng phương trình: a. x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 có ít nhất một nghiệm. b. cos2x = 2sinx – 2 có ít nhất hai nghiệm trong (-p/6; p) c. x5 – 5x3 + 4x – 1 = 0 có năm nghiệm phân biệt d. (m2 – 1)x5 – (11m2 – 10)x + 1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0;2)* Bài 8. CMR các phương sau luôn có nghiệm: a) m(x – 1)(x – 2) + 2x + 1 = 0 b) (m2 – 2m)x3 + 2x – 1 = 0 c) cosx + mcoss2x = 0 d) (1 – m2)(x + 1)3 + x2 – x – 3 = 0 Bài 9. Chứng minh rằng phương trình: a. 2x5 + 3x4 + 3×2 – 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm. b. 2x3 + 3x2 + 10x + 200 = 0 luôn có nghiệm. c. 4x4 + 2x2 – x – 28 = 0 luôn có nghiệm Đăng bởi: Đại Học Đông Đô Chuyên mục: Lớp 11, Toán 11 Xét hàm số `f(x)=x^5-5x^3+4x-1` Ta có: `f(x)` là hàm số đa thức liên tục trên `RR`, do đó nó liên tục trên các đoạn $[-2;-\frac{3}{2}],[-\frac{3}{2};-1],[-1;\frac{1}{2}],[\frac{1}{2};1],[1;3]$ `(1)` Mặt khác: `f(-2)=-1,f(-3/2)=73/32,f(-1)=-1,f(1/2)=13/32,f(1)=-1,f(3)=119` Do đó: `f(-2).f(-3/2)<0,` `f(-3/2).f(-1)<0` `,f(-1).f(1/2)<0` `,f(1/2).f(1)<0` `,f(1).f(3)<0` `(2)` Từ `(1)` và `(2)` suy ra phương trình `f(x)=0` có 5 nghiệm phân biệt. Hãy luôn nhớ cảm ơn và vote 5* trantrantran rất mong câu trả lời từ bạn. Viết trả lời 
XEM GIẢI BÀI TẬP SGK TOÁN 11 - TẠI ĐÂY
Biết rằng phương trình \({x^5} + {x^3} + 3x - 1 = 0\) có ít nhất 1 nghiệm \({x_0},\) mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. \({x_0} \in \left( {0;1} \right).\) B. \({x_0} \in \left( { - 1;0} \right).\) C. \({x_0} \in \left( {1;2} \right).\) D. \({x_0} \in \left( { - 2; - 1} \right).\) |
