Hàm số đồng biến trên R hàm số nghịch biến trên R
Hàm số đồng biếnhay nghịch biến trên R là một trong các dạng toán về sự đơn điệu của hàm số. Bởi R cũng là một khoảng từ âm vô cực đến dương vô cực nên đây là một trường hợp riêng của dạng toán hàm số đơn điệu trên một khoảng. Đối với dạng toán này chúng ta nên nắm được điều kiện để hàm số đơn điệu trên R. Đồng thời cũng cần nhớ một số trường hợp đặc biệt để vận dụng giải nhanh. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn các bạn giải quyết nhanh dạng toán này. Cùng theo dõi nhé!
1. Định lí về tính đồng biến nghịch biến
Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên khoảng [a;b]. Khi đó hàm số sẽ đồng biến và nghịch biến với:
- Hàm số y = f[x] đồng biến trên khoảng [a;b] khi và chỉ khi f’[x] ≥ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng [a;b]. Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.
- Hàm số y = f[x] nghịch biến trên khoảng [a;b] khi và chỉ khi f’[x] ≤ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng [a;b]. Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.
Một số trường hợp cụ thể chúng ta cần phải nhớ về điều kiện đơn điệu trên R:
Đối với hàm số đa thức bậc 1:
– Hàm số y = ax + b [a ≠ 0] đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi a > 0
– Hàm số y = ax + b [a ≠ 0] nghịch biến trên ℝ khi và chỉ khi a < 0
Đối với hàm số đa thức bậc 3:
Đây là dạng bài toán thường gặp đối với hàm số đa thức bậc 3, hơn 90% các bài viết đều áp dụng cho hàm số bậc 3. Nên ta sẽ áp dụng như sau:
Xét hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d⇒ y’ = 3ax2+ 2bx + c
– TH1: a = 0 [nếu có tham số]
– TH2: a ≠ 0
Hàm số đa thức bậc chẵn không thể đơn điệu trên R được.
Ví dụ 1:
Cho hàm số y = x³ + 2[m-1]x² + 3x -2. Tìm m để hàm đã cho đồng biến trên R.
Lời giải:
Để y = x³ + 2[m-1]x² + 3x - 2 đồng biến trên R thì [m-1]² - 3.3 ≤ 0⇔ -3 ≤ m - 1 ≤3 ⇔ -2 ≤ m ≤ 4.
Các bạn cầnlưu ývới hàm đa thức bậc 3 có chứa tham số ở hệ số bậc cao nhất thì chúng ta cần xét trường hợphàm số suy biến.
Ví dụ 2:
Cho hàm số y = mx³ -mx² - [m + 4 ]x + 2. Xác định m để hàm số đã cho nghịch biến trên R.
Lời giải:
Ta xét trường hợp hàm số suy biến. Khi m = 0, hàm số trở thành y = -x + 2. Đây là hàm bậc nhất nghịch biến trên R. Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với m ≠ 0, hàm số là hàm đa thức bậc 3. Do đó hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi m < 0 đồng thời m² + 3m[m+4] ≤ 0. Giải các điều kiện ra ta được -3 ≤ m f[x2] thì hàm số y = f[x] nghịch biến trên R