Cách làm bài tập công thức xác suất đầy đủ năm 2024

Đây là bước đầu tiên xác định giả thiết trong bài toán tính xác suất, nếu không phân biệt kỹ và hiểu kỹ thì không giải quyết được bài toán, hoặc sẽ bị nhầm lẫn khi áp dụng quy tắc tính xác suất. Bài 1: Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của lớp CĐ LNK8 trường cao đẳng KT -KT Quảng Nam. Gọi A là biến cố "Sinh viên đó biết nói tiếng Anh" và B là biến cố "Sinh viên đó biết nói tiếng Nga". a. A và B có phải là hai biến cố xung khắc hay không? b. Biến cố A B  là gì? Hướng dẫn a. A và B là hai biến cố không xung khắc vì một sinh viên có thể vừa nói được tiếng Anh vừa nói được tiếng Nga. b. Biến cố A B  là " Sinh viên đó biết nói tiếng Anh, hoặc tiếng Nga, hoặc nói được cả hai tiếng Anh và Nga".

Ví dụ: Dây chuyền lắp ráp máy vô tuyến điện gồm các linh kiện là sản phẩm từ 2 nhà máy sản xuất ra. Số linh kiện nhà máy 1 sản xuất chiếm 55%, số linh kiện nhà máy 2 sản xuất chiếm 45%; tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn của nhà máy 1 là 90%, nhà máy 2 là 87%. Lấy ngẫu nhiên ra 1 linh kiện từ dây chuyền lắp ráp đó ra kiểm tra thì được kết quả linh kiện đạt chuẩn. Tìm xác suất để linh kiện đó do nhà máy 1 sản xuất?

Các xác suất P(A1); P(A2); . . . , P(An) thường được gọi là các xác suất của các giả thiết (hay các xác suất tiên nghiệm) và công thức trên được gọi là công thức xác suất đầy đủ.

Chứng minh:

Ta có: \(B = B\Omega = B({A_1} \cup {A_2} \cup .... \cup {A_n}) = (B{A_1}) \cup (B{A_2}) \cup .... \cup (B{A_n})\)

Từ đó: \(P(B) = P\left( {(B{A_1}) \cup (B{A_2}) \cup .... \cup (B{A_n})} \right)\)

Do các biến cố A1, A2 . . . ., An xung khắc từng đôi nên các biến cố A1B; A2B ;... ; AnB cũng xung khắc từng đôi. Áp dụng công thức cộng xác suất ta có: \(P(B) = \sum\limits_{i = 1}^n {P({A_i}.B)} \)

Theo công thức nhân xác suất, ta lại có: \(P(A_i.B)=P(A_i).P(B/A_i)\)

Vậy: \(P(B) = \sum\limits_{i = 1}^n {P({A_i})} P(B/{A_i})\)

Thí dụ: Có 3 lô sản phẩm, tỷ lệ phế phẩm của từng lô tương ứng là: 6%; 2%; 1%. Chọn ngẫu nhiên một lô rồi từ lô đã chọn lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm. Tìm xác suất để lấy được một phế phẩm?

Giải: Gọi B là biến cố lấy được một phế phẩm. A1, A2, A3 tương ứng là các biến cố sản phẩm lấy ra thuộc lô thứ nhất, thứ hai, thứ ba. Các biến cố A1, A2, A3 là một hệ biến cố đầy đủ. Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:

P(B) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) + P(A3)P(B/A3)

P(A1) = P(A2) = P(A3) = \(\frac{1}{3}\)

P(B/A1) = 0,06; P(B/A2) = 0,02; P(B/A3) = 0,01

Vậy: P(B) = \(\frac{1}{3}\) (0,06 + 0,02 + 0,01) = 0,03

2. Công thức Bayes

Với các giả thiết như phần công thức xác suất đầy đủ, ta thêm một điều kiện là phép thử đã được thực hiện và biến cố B đã xảy ra. Khi đó:

\(P({A_i}/B) = \frac{{P({A_i})P(B/{A_i})}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {P({A_i})P(B/{A_i})} }}\)

\((\forall i = 1,2,....,n)\)

Chứng minh: Theo công thức nhân xác suất ta có:

P(A1 B) = P(A1) P(B/Ai) = P(B)P(Ai/B)

\(\Rightarrow P({A_i}/B) = \frac{{P({A_i})P(B/{A_i})}}{{P(B)}}\)

Theo công thức xác suất đầy đủ ta có: \(P(B) = \sum\limits_{i = 1}^n {P({A_i})} P(B/{A_i})\)

Vậy:

\(P({A_i}/B) = \frac{{P({A_i})P(B/{A_i})}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {P({A_i})P(B/{A_i})} }}\,\,(i = 1,2,....,n)\)

Các xác suất P(Ai/B) được xác định sau khi đã biết kết quả của phép thử là B đâ xảy ra nên thường được gọi là các xác suất hậu nghiệm. Như vậy công thức Bayes cho phép ta xác định lại các xác suất tiên nghiệm P(Ai) khi biết thêm thông tin là B xảy ra khi thực hiện một phép thử.

Thí dụ: Một hộp có 5 sản phẩm hoàn toàn không rõ chất lượng. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại một sản phẩm từ hộp thì được sản phẩm tốt. Sau đó chọn ngẫu nhiên từ hộp một sản phẩm nữa. Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra từ hộp lần thứ hai là sản phẩm tốt?

Giải: Gọi A0, A1, . . ., A5 tương ứng là các biến cố trong hộp có 0, 1, . . ., 5 sản phẩm tốt. Ta thấy các biến cố: A0, A1, .. ., A5 là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi. Vì ta hoàn toàn không biết chất lượng của những sản phẩm trong hộp nên ta có thể coi các biến cố A0, A1,..., A5 có khả năng xảy ra như nhau.

Tức: \(P({A_0}) = P({A_1}) = ... = P({A_5}) = \frac{1}{6}\)

B là biến cố sản phẩm lấy ra từ hộp lần đầu là sản phẩm tốt.

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có:

\(P(B) = \sum\limits_{i = 0}^5 {P({A_i})} P(B/{A_i}) = \frac{1}{6}\left( {0 + \frac{1}{5} + \frac{2}{5} + \frac{3}{5} + \frac{4}{5} + 1} \right) = 0,5\)

Theo giả thiết thì B đã xảy ra. Do đó ta có thể áp dụng công thức Bayes. Khi đó:

\(P({A_0}/B) = \frac{{P({A_0})P(B/{A_0})}}{{P(B)}} = 0\)

Vì với điều kiện A0 xảy ra, tức trong hộp không có sản phẩm tốt thì khi đó biến cố B (lấy được sản phẩm tốt) trở thành biến cố không thể có. Vì vậy P(B/A0) = 0 ⇒ P(A0/B) = 0

\(P({A_1}/B) = \frac{{P({A_1})P(B/{A_1})}}{{P(B)}} = \frac{{\frac{1}{6}.\frac{1}{5}}}{{0,5}} = \frac{1}{{15}}\)

\(P({A_2}/B) = \frac{{P({A_2})P(B/{A_2})}}{{P(B)}} = \frac{{\frac{1}{6}.\frac{2}{5}}}{{0,5}} = \frac{2}{{15}}\)

Tính tương tự ta được:

\(P({A_3}/B) = \frac{3}{{15}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,P({A_4}/B) = \frac{4}{{15}};\,\,\,\,\,\,\,\,P({A_5}/B) = \frac{5}{{15}}\)

Gọi C là biến cố lấy được sản phẩm tốt ở lần sau. Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:

\(P(C) = P({A_1}/B)P(C/{A_1}B) + P({A_2}/B)P(C/{A_2}B) + ... + P({A_5}/B)P(C/{A_5}B)\)

\(= \frac{1}{{15}}.0 + \frac{2}{{15}}.\frac{1}{4} + \frac{3}{{15}}.\frac{2}{4} + \frac{4}{{15}}.\frac{3}{4} + \frac{5}{{15}}.1 = \frac{2}{3}\)