Định lý Viet là một trong những kiến thức quan trọng của chương trình toán Trung học cơ sở. Đây là chủ đề thường xuyên xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh lớp 10. Vì vậy hôm nay Kiến Guru xin giới thiệu đến bạn đọc một số ứng dụng quan trọng của định lý này. Bài viết vừa tổng hợp lý thuyết, vừa đưa ra các ví dụ rõ ràng, chi tiết giúp các bạn nắm vững và ứng dụng thành thục các hệ thức Viet vào việc chinh phục các bài toán. Cùng khám phá nhé:
I. Định lý Viet - Lý thuyết quan trọng.
Định lý Viet hay hệ thức Viet thể hiện mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức do nhà toán học Pháp François Viète khám phá ra.
1. Định lý Viet thuận.
Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 [a≠0] [*] có 2 nghiệm x1 và x2. Khi đó 2 nghiệm này thỏa mãn hệ thức sau:
Hệ quả: Dựa vào hệ thức Viet khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta có thể nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số trường hợp đặc biệt:
- Nếu a+b+c=0 thì [*] có 1 nghiệm x1=1 và x2=c/a
- Nếu a-b+c=0 thì [*] có nghiệm x1=-1 và x2=-c/a
2. Định lý Viet đảo.
Giả sử hai số thực x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:
thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc 2: x2-Sx+P=0 [1].
Chú ý: điều kiện S2-4P≥0 là bắt buộc. Đây là điều kiện để ∆[1]≥0 hay nói cách khác, đây là điều kiện để phương trình bậc 2 tồn tại nghiệm.
II. Các dạng bài tập ứng dụng định lý Viet.
1. Ứng dụng hệ thức Viet tìm hai số khi biết tổng và tích.
Phương pháp:
Nếu 2 số u và v thỏa mãn:
thì u, v sẽ là 2 nghiệm của phương trình: x2-Sx+P=0.
Như vậy, việc xác định hai số u, v sẽ quay về bài toán giải phương trình bậc 2 một ẩn:
- Nếu S2-4P≥0 thì tồn tại u,v.
- Nếu S2-4Px2]
Vậy hình chữ nhật có chiều dài 2a, chiều rộng là a.
Ví dụ 2: Tìm hai số x1, x2 thỏa mãn [x1>x2]
Hướng dẫn:
Ta cần biến đổi hệ đã cho về dạng tổng tích quen thuộc:
suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc 2: x2-5x+6=0. Giải tìm được x1=3, x2=2
suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc 2: x2+5x+6=0. Giải tìm được x1=-2, x2=-3.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
Hướng dẫn:
Điều kiện: x≠-1
Để ý, nếu quy đồng mẫu, ta sẽ được một phương trình đa thức, tuy nhiên bậc của phương trình này khá lớn. Rất khó để tìm ra định hướng khi ở dạng này.
Vì vậy, ta có thể nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để bài toán đơn giản hơn.
Ta đặt:
Khi đó theo đề: uv=6.
Ta lại có:
Suy ra u, v là nghiệm của phương trình bậc 2: t2-5t+6=0.
Giải phương trình trên được:
- Trường hợp 1: u=3, v=2. Khi đó ta thu được phương trình: x2-2x+3=0 [vô nghiệm]
- Trường hợp 2: u=2, v=3. Khi đó ta thu được phương trình x2-3x+2=0, suy ra x1=1, x2=2 [thỏa mãn điều kiện x≠-1]
2. Áp dụng định lý Viet tính giá trị biểu thức đối xứng.
Phương pháp:
Biểu thức đối xứng với x1, x2 nếu ta đổi chỗ x1, x2 cho nhau thì giá trị biểu thức không thay đổi:
- Nếu f là một biểu thức đối xứng, nó luôn tồn tại cách biểu diễn qua biểu thức đối xứng S=x1+x2, P=x1x2
- Một số biểu diễn quen thuộc:
- Áp dụng hệ thức Viet, ta tính được giá trị biểu thức cần tìm.
Ví dụ 4: Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 [a≠0] tồn tại 2 nghiệm x1, x2. Gọi:
Hãy chứng minh:
Hướng dẫn:
Ví dụ 5: Cho phương trình x2+5x+2=0. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình. Tính giá trị của:
Hướng dẫn:
Cách 1:
Ta biến đổi:
Lại có:
Thế vào ta tính được S.
Cách 2:
Ta có thể ứng dụng ví dụ 4 để tính trong trường hợp này, chú ý:
Ta có: S=S7.
Vậy ta tính lần lượt S1, S2,.., S6. Sau đó sẽ có được giá trị của S7.
3. Áp dụng định lý Viet vào các bài toán có tham số.
Đối với các bài toán tham số, điều kiện tiên quyết là phải xét trường hợp để phương trình tồn tại nghiệm. Sau đó áp dụng định lý Viet cho phương trình bậc hai, ta sẽ có các hệ thức của hai nghiệm x1, x2 theo tham số, kết hợp với dữ kiện đề bài để tìm đáp án.
Ví dụ 5: Cho phương trình mx2-2[3-m]x+m-4=0 [*] [tham số m].
Hãy xác định giá trị của tham số để:
- Có đúng 1 nghiệm âm.
- Có 2 nghiệm trái dấu.
Hướng dẫn:
Nhắc lại kiến thức:
Đặc biệt, do ở hệ số a có chứa tham số, vì vậy ta cần xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: a=0⇔m=0
Khi đó [*]⇔-6x-4=0⇔x=-⅔. Đây là nghiệm âm duy nhất.
Trường hợp 2: a≠0⇔m≠0
Lúc này, điều kiện là:
Ví dụ 6: Tìm tất cả giá trị m thỏa mãn phương trình bậc 2 sau:
tồn tại nghiệm x1, x2 phân biệt sao cho:
Hướng dẫn:
Điều kiện để phương trình tồn tại 2 nghiệm phân biệt:
Khi đó dựa vào hệ thức Viet:
Hai nghiệm phân biệt này phải khác 0 [vì để thỏa mãn đẳng thức đề cho], suy ra:
[2]Mặt khác, theo đề:
Trường hợp 1:
Trường hợp 2:
Kết hợp với 2 điều kiện [1] và [2] suy ra m=1 hoặc m=5 thỏa yêu cầu bài toán.
Trên đây là tổng hợp của Kiến Guru về định lý Viet. Hy vọng thông qua bài viết, các bạn sẽ tự củng cố và rèn luyện thêm tư duy giải toán của bản thân. Mỗi bài toán sẽ có nhiều cách tiếp cận khác nhau, chính vì vậy, hãy tự do vận dụng một cách sáng tạo những gì bạn học được nhé, điều đó sẽ hỗ trợ cho các bạn sau này rất nhiều. Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm các bài viết khác trên trang của Kiến Guru để làm mới thêm lượng kiến thức của mình. Chúc các bạn học tập hiệu quả!15/09/2021 2,818
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho Parabol [P]: y = x2 và đường thẳng [d]: y =mx + 4. Biết đường thẳng [d] luôn cắt đồ thị [P] tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi x1; x2 là hoành độ của các điểm A, B. Tìm giá trị lớn nhất của Q=2x1+x2+7x12+x22
Xem đáp án » 15/09/2021 3,952
Cho phương trình: x2 – 2[m – 1]x + m2 − 3m = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn x12 + x22 = 8
Xem đáp án » 15/09/2021 2,535
Cho parabol [P]: y = x2 và đường thẳng [d]: y = mx + 1. Gọi A [x1; y1] và B [x2; y2] là các giao điểm của [d] và [P]. Tìm m để biểu thức M = [y1 − 1][ y2 − 1] đạt giá trị lớn nhất.
Xem đáp án » 15/09/2021 1,959
Tìm m để phương trình 3x2 + 4[m – 1]x + m2 – 4m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: 1x1+1x2=2x1+x2
Xem đáp án » 15/09/2021 1,618
Cho parabol [P]: y=14x2 và đường thẳng d: y=118x-32. Gọi A, B là các giao điểm của [P] và d. Tìm tọa độ điểm C trên trục tung cho CA + CB có giá trị nhỏ nhất.
Xem đáp án » 15/09/2021 1,453
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng [d]: 2x – y – a2 = 0 và parabol [P]: y = ax2 [a > 0]. Tìm a để [d] cắt [P] tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó có kết luận gì về vị trí của hai điểm A, B
Xem đáp án » 15/09/2021 1,446
Tìm các giá trị của m để đường thẳng d: y = 2[m – 1]x – m – 1 cắt parabol [P]: y = x2 tại hai điểm có hoành độ trái dấu.
Xem đáp án » 15/09/2021 1,308
Tìm phương trình đường thẳng [d] đi qua điểm I [0; 1] và cắt parabol [P]: y = x2 tại hai điểm phân biệt M và N sao cho MN = 210
Xem đáp án » 15/09/2021 1,285
Tìm tham số m để đường thẳng d: y = 2x + m và parabol [P]: y = 2x2 không có điểm chung
Xem đáp án » 15/09/2021 1,210
Tìm các giá trị của m để phương trình x2 – mx + m2 – m – 3 = 0 có hai nghiệm x1; x2 là độ dài các cạnh góc vuông của tam giác ABC tại A biết độ dài cạnh huyền BC = 2
Xem đáp án » 15/09/2021 727
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng [d]: y = kx + 12 và parabol [P]: y=12x2. Giả sử đường thẳng [d] cắt parabol [P] tại hai điểm phân biệt A, B. Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB luôn thỏa mãn phương trình nào dưới đây?
Xem đáp án » 15/09/2021 668
Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol [P]: y=14x2 và đường thẳng [d]: x – 2y + 12 = 0. Gọi giao điểm của [d] và [P] là A, B. Tìm tọa độ điểm C nằm trên [P] sao cho tam giác ABC vuông tại C.
Xem đáp án » 15/09/2021 641
Cho phương trình: x2 – [m + 2]x + [2m – 1] = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2. Hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của m là:
Xem đáp án » 15/09/2021 520
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol [P] có phương trình y=-x22. Gọi [d] là đường thẳng đi qua I [0; −2] và có hệ số góc k. Đường thẳng [d] cắt parabol [P] tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành. Khi đó tam giác IHK là tam giác?
Xem đáp án » 15/09/2021 504
Một người dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36km trong thời gian đã định. Sau khi đi được nửa quãng đường, người đó dừng lại nghỉ 30 phút. Vì vậy mặc dù trên quãng đường còn lại đã tăng tốc thêm 2km/h song vẫn đến B chậm hơn dự kiến 12 phút. Vậy vận tốc của người đi xe đạp trên đoạn đường cuối của đoạn AB?
Xem đáp án » 15/09/2021 348
Video liên quan