Bất phương trình một ẩn bài tập

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.

Nội dung bài viết Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn: Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn. Xét bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng: ax + b > 0 (*). Nếu a > 0 thì bất phương trình (*) có các nghiệm x > −b hay bất phương trình có tập nghiệm là S. Nếu a < 0 thì bất phương trình (*) có các nghiệm x < − b hay bất phương trình có tập nghiệm là S. Các bất phương trình dạng ax + b 0 (hoặc về dạng ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0).

BÀI TẬP DẠNG 1. Ví dụ 1. Giải các bất phương trình sau: a) 3x − 1 ≥ 0. b) 2x + 3 < 4x − 5. c) (x − 3)(2x + 5) ≤ 2×2 + 4x − 7. Lời giải. a) 3x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1. Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (1; +∞). b) 2x + 3 < 4x − 5 ⇔ 2x − 4x < −5 − 3 ⇔ −2x 4. Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (4; +∞). c) (x − 3)(2x + 5) ≤ 2×2 + 4x − 7 ⇔ 2×2 − x − 15 ≤ 2×2 + 4x − 7 ⇔ −5x ≤ 8 ⇔ x ≥ −8. Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (8; +∞). Ví dụ 2. Giải các bất phương trình sau: Ta có x2 + 1 > 0 với mọi x. Do đó bất phương trình đã cho tương đương: 3 − 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ 3. Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = (−∞; 3). Ta có: x2 + 2x+ 3 = (x+ 1)2 + 2 > 0 với mọi x ∈ R. Do đó bất phương trình đã cho tương đương: x2 + 3x − 2 < x2 − x − 2 ⇔ 4x < 0 ⇔ x 1, bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình: 3x − 8 ≤ 0 ⇔ x ≤ 8. Kết hợp điều kiện x > 1 ta được: 1 0 ⇔ x < 2. Với x < 2, bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình: 4x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ −3. Kết hợp điều kiện x < 2 ta được: −3 ≤ x < 2. Bài 5. Giải các bất phương trình sau: Lời giải. a) Điều kiện: 3 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 3. Rõ ràng x = 3 là một nghiệm của bất phương trình đã cho. Với x < 3 bất phương trình đã cho trở thành: 3x − 6 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2. Tập nghiệm của bất phương trình là S = (−∞; 2] ∪ {3}. b) Điều kiện: 6x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1. Với x = −1 không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Bất phương trình chứa một ẩn là kiến thức thuộc phần đại số của Toán 8. Trong bài viết sau Itoan sẽ giới thiệu về khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn và tập nghiệm của bất phương trình. Hãy cùng Itoan khám phá ngay sau đây:

Thế nào là bất phương trình một ẩn?

Bất phương trình là gì?

Bất phương trình thường bao gồm những loại sau đây:

• Bất phương trình bậc nhất một ẩn. (trong đó, bất phương trình bậc nhất một ẩn lớp 8 là dạng toán đã xuất hiện trong chương trình học từ rất sớm).
• Bất phương trình bậc hai một ẩn.
• Bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bất phương trình một ẩn là gì?

Khái niệm

Bất phương trình một ẩn là một mệnh đề so sánh giữa 2 hàm số f(x) và hàm số g(x) trên một trường số thực.

Việc giải tốt toán 8 bất phương trình bậc nhất một ẩn là tiền đề để tìm hiểu các bài toán về bất phương trình phức tạp hơn. Bất phương trình có chứa một ẩn thường được thể hiện dưới 1 trong các dạng sau:

• f(x) < g (x)
• f(x) > g(x)
• f(x) ≤ g(x)
• f(x) ≥ g(x)

Bất phương trình một ẩn có 4 dạng cơ bản

Để tìm tập xác định của bất phương trình có một ẩn, ta cần phải tìm điểm giao giữa 2 tập xác định của 2 hàm số f(x) và g(x). Tất cả các bất phương trình một ẩn đều có thể được chuyển về dạng bất phương trình tương đương (điển hình như f(x) > 0, f(x) ≥ 0).

Trong bất phương trình 1 ẩn, biến x sẽ được gọi là ẩn. Như vậy, khi nhìn vào một bất phương trình f(x) > 0. Với giá trị x = a và f(a) > 0 là một bất đẳng thức đúng. Ta sẽ có: a là nghiệm của bất phương trình có một ẩn. Việc giải bất phương trình lớp 8 thành thạo sẽ giúp học sinh giải các loại bất phương trình phức tạp hơn.

Như Itoan đã đề cập, bạn có thể chuyển bất phương trình có chứa một ẩn về dạng f(x) > 0 hoặc f(x) ≥ 0. Khi phân loại bất phương trình có một ẩn nghĩa là phân loại bất phương trình theo hàm f(x).

• Những bất phương trình vô tỷ – bất phương trình khai căn.
• Bất phương trình mũ là những bất phương trình mà trên lũy thừa có chứa biến hay còn được gọi là bất phương trình có hàm mũ.
• Bất phương trình logarit là những bất phương trình có chứa biến bên trong dấu logarit.
• Bất phương trình bậc k là những bất phương trình chứa f(x) là một đa thức bậc k.

Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình bậc nhất 1 ẩn là một loại thuộc các phương trình 1 ẩn. Bất phương trình bậc nhất có một ẩn thường được viết dưới dạng sau đây:

• ax + b < 0
• ax + b > 0
• ax + b 0
• ax + b 0

Trong dạng bất phương trình này, a và b là 2 số đã được cho trước và a ≠ 0.

Bất phương trình bậc nhất 1 ẩn là một dạng nhỏ của bất phương trình 1 ẩn

Để biến đổi BPT bậc nhất 1 ẩn, bạn cần phải thực hiện theo 2 quy tắc quan trọng là quy tắc chuyển vế hoặc quy tắc nhân với một số.

Quy tắc chuyển vế

Quy tắc chuyển vế được phát biểu rất đơn giản, khi bạn chuyển một hạng tử trong bất phương trình từ một vế sang vế còn lại, bạn cần phải đổi dấu của hạng tử đó.

Quy tắc nhân với một số

Quy tắc nhân với một số nghĩa là bạn nhân 2 vế của bất phương trình bậc nhất có một ẩn với cùng một số khác 0. Khi đó, bạn cần phải.

• Giữ nguyên chiều của bất phương trình như cũ nếu số được nhân là số dương.
• Đổi chiều của bất phương trình sang chiều ngược lại nếu số được nhân là số âm.

Cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

Sau khi đã áp dụng 2 quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số vào các vế của bất phương trình, các bạn có thể bắt đầu giải BPT bậc nhất 1 ẩn như sau: Bất phương trình có dạng ax + b > 0 ⇒ ax > -b.

• Nếu a > 0 thì bất phương trình sẽ có nghiệm là x > -b/a.
• Nếu a < 0 thì bất phương trình sẽ có nghiệm là x < b/a.

Như vậy, bài viết trên đã tổng hợp tất cả những kiến thức liên quan đến bất phương trình, bất phương trình bậc nhất một ẩn cũng như hướng dẫn giải những dạng bất phương trình.

>> Xem thêm: Giải bài toán bằng cách lập phương trình – Học tốt toán lớp 8

Giải bài tập Toán lớp 8 bài 3: Bất phương trình một ẩn

Giải bài tập SGK Toán lớp 8 bài 3: Bất phương trình một ẩn với lời giải chi tiết, rõ ràng theo khung chương trình sách giáo khoa Toán lớp 8. Lời giải hay bài tập Toán 8 này gồm các bài giải tương ứng với từng bài học trong sách giúp cho các bạn học sinh ôn tập và củng cố các dạng bài tập, rèn luyện kỹ năng giải môn Toán. Mời các bạn tham khảo

Giải bài tập SGK Toán lớp 8 bài: Ôn tập chương III: Phương trình bậc nhất một ẩn

Giải bài tập SGK Toán lớp 8 bài 1: Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Giải bài tập SGK Toán lớp 8 bài 2: Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 2 Bài 3 trang 41:

a) Hãy cho biết vế trái, vế phải của bất phương trình x2 ≤ 6x –5

b) Chứng tỏ các số 3; 4 và 5 đều là nghiệm, còn số 6 không phải là nghiệm của bất phương trình vừa nêu.

Lời giải

a) Vế trái: x2; Vế phải: 6x –5

b) Với x = 3 ⇒ 32 ≤ 6.3 –5 ⇒ 9 ≤ 13, khẳng định đúng nên x = 3 là nghiệm của bất phương trình

Với x = 4 ⇒ 42 ≤ 6.4 –5 ⇒ 16 ≤ 19, khẳng định đúng nên x = 4 là nghiệm của bất phương trình

Với x = 5 ⇒ 52 ≤ 6.5 –5 ⇒ 25 ≤ 25, khẳng định đúng nên x = 5 là nghiệm của bất phương trình

Với x = 6 ⇒ 62 ≤ 6.6 –5 ⇒ 36 ≤ 31, khẳng định đúng nên x = 6 không là nghiệm của bất phương trình

Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 2 Bài 3 trang 42: Hãy cho biết vế trái, vế phải và tập nghiệm của bất phương trình x > 3, bất phương trình 3 < x và phương trình x = 3.

Lời giải

- Bất phương trình x > 3 có VT = x; VP = 3

Nghiệm của bất phương trình x > 3 là tập hợp các số lớn hơn 3, {x|x > 3}

- Bất phương trình 3 < x có VT = 3; VP = x

Nghiệm của bất phương trình 3 < x là tập hợp các số lớn hơn 3, {x|x > 3}

- Bất phương trình x = 3 có VT = x; VP = 3

Nghiệm của bất phương trình x = 3 là {3}

Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 2 Bài 3 trang 42: Viết và biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x ≥ -2 trên trục số.

Lời giải

Tập nghiệm của bất phương trình x ≥ -2 là {x|x ≥ -2}

Biểu diễn trên trục số:

Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 2 Bài 3 trang 42: Viết và biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x < 4 trên trục số.

Lời giải

Tập nghiệm của bất phương trình x < 4 là {x|x < 4}

Biểu diễn trên trục số:

Bài 15 (trang 43 SGK Toán 8 tập 2): Kiểm tra xem giá trị x = 3 là nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau:

a) 2x + 3 < 9

b) -4x > 2x + 5

c) 5 - x > 3x - 12

Lời giải:

Thay x = 3 lần lượt vào từng bất phương trình, ta được:

a) 2.3 + 3 < 9 ⇔ 9 < 9 (sai)

Vậy x = 3 không là nghiệm của bất phương trình.

b) -4.3 > 2.3 + 5 ⇔ -12 > 11 (sai)

Vậy x = 3 không là nghiệm của bất phương trình.

c) 5 – 3 > 3.3 – 12 ⇔ 2 > -3 (đúng)

Vậy x = 3 là nghiệm của bất phương trình.

Bài 16 (trang 43 SGK Toán 8 tập 2): Viết và biểu diễn tập nghiệm trên trục số của mỗi bất phương trình sau:

a) x < 4 ; b) x ≤ -2

c) x > -3 ; d) x ≥ 1

Lời giải:

a) Tập nghiệm: S = {x ∈ R | x < 4}

b) Tập nghiệm: S = {x ∈ R | x ≤ -2}

c) Tập nghiệm: S = {x ∈ R | x > -3}

d) Tập nghiệm: S = {x ∈ R | x ≥ 1}

Biểu diễn trên trục số:

Bài 17 (trang 43 SGK Toán 8 tập 2): Hình vẽ sau đây biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào? (Chỉ nêu một bất phương trình).

Lời giải:

a) Hình a biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x ≤ 6

b) Hình b biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x > 2

c) Hình c biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x ≥ 5

d) Hình d biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x < -1

Bài 18 (trang 43 SGK Toán 8 tập 2): Hãy lập bất phương trình cho bài toán sau:

Quãng đường từ A đến B dài 50km. Một ô tô đi từ A đến B, khởi hành lúc 7h. Hỏi ô tô phải đi với vận tốc bao nhiêu km/h để đến B trước 9 giờ cùng ngày?

Lời giải:

Gọi x (km/h) là vận tốc của ô tô (x > 0)

Thời gian đi từ A đến B:

Để đến B trước 9 giờ thì:

⇔ 7x + 50 < 9x

⇔ 9x - 7x > 50

⇔ 2x > 50

⇔ x > 25

Vậy để B đến trước 9 giờ thì ô tô phải chạy với vận tốc x thỏa mãn: x > 25