Học Tốt Phương trình

Bất phương trình 2 m m x m x 3 2 2 vô nghiệm khi

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 1

MỤC LỤC

CHƯƠNG IV. BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ......................................... 2

§2. ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH .............................................................. 2

§3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN .... 6

§4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 11

§5. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT ..................................................................... 23

§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI ....................................................................... 30

§7. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI .................... 51

CHƯƠNG V. THỐNG KÊ .............................................................................................. 75

§1. NHỮNG KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU ........................................................................... 75

§2. TRÌNH BÀY MỘT MẪU SỐ LIỆU ....................................................................... 75

§3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU SỐ LIỆU ...................................................... 82

CHƯƠNG VI. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC ........... 88

§1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC ........................................................................... 88

§ 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC [CUNG] LƯỢNG GIÁC ............................ 94

§3. MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC ............................................................. 110

CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG .............................. 140

§1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG ................................. 140

§2. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG ...................................... 147

§3. KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC ................................................................................. 155

§4. ĐƯỜNG TRÒN ................................................................................................... 161

§5. ĐƯỜNG ELIP ...................................................................................................... 174

§6. ĐƯỜNG HYPEBOL ............................................................................................ 179

§7. ĐƯỜNG PARABOL ............................................................................................ 184

§8. BA ĐƯỜNG CÔNIC ........................................................................................... 186

ĐƯỜNG LINK ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 2

CHƯƠNG IV. BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH

§2. ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1.Định nghĩa bất phương trình một ẩn

Cho hai hàm số  

y f x  và  

y g x  có tập xác định lần lượt là D

và D

. Đặt D

f g

D D   .

Mệnh đề chứa biến có một trong các dạng     f x g x  ,     f x g x  ,     f x g x  ,     f x g x 

được gọi là bất phương trình một ẩn ; x được gọi là ẩn số [hay ẩn] và D gọi là tập xác định của bất

phương trình.

x D  gọi là một nghiệm của bất phương trình     f x g x  nếu    

0 0

f x g x  là mệnh đề đúng.

Giải một bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm[hay tìm tập nghiệm] của bất phương trình đó.

Chú ý: Trong thực hành, ta không cần viết rõ tập xác đinh D của bất phương trình mà chỉ cần nêu điều

kiện để x D  . Điều kiện đó gọi là điều kiện xác định của bất phương trình, gọi tắt là điều kiện của bất

phương trình.

2.Bất phương trình tương đương, biến đổi tương đương các bất phương trình.

a] Định nghĩa: Hai bất phương trình [cùng ẩn] được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Kí hiệu: Nếu    

1 1

f x g x  tương đương với    

2 2

f x g x  thì ta viết

       

1 1 2 2

f x g x f x g x   

Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến đổi tương đương.

b] Định lý và hệ quả:

Định lý 1: Cho bất phương trình     f x g x  có tập xác định D ;   y h x  là hàm số xác định trên

D . Khi đó trên D , Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình sau

        1] f x h x g x h x   

        2] . . f x h x g x h x  nếu   0 h x  với mọi x D 

        3] . . f x h x g x h x  nếu   0 h x  với mọi x D 

Hệ quả: Cho bất phương trình     f x g x  có tập xác định D . Khi đó

       

3 3

1] f x g x f x g x   

       

2 2

2] f x g x f x g x    với     0, 0 f x g x   , x D  

Lưu ý: Khi giải phương trình ta cần chú ý

Đặt điều kiện xác định[đkxđ] của phương trình và khi tìm được nghiệm của phương trình phải đối

chiếu với điều kiện xác định.

Đối với việc giải bất phương trình ta thường thực hiện phép biến đổi tương đương nên cần lưu ý tới

điều kiện để thực hiện phép biến đổi tương đương đó.

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH.

Câu 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình sau:

4 9

 



.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 3

Câu 2. Tìm điều kiện xác định của phương trình sau:

4 2

2 1

x x



 

 

.............................................................. ........................................................................

Câu 3. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó:

2 3 2 3 3 x x x     

.............................................................. ........................................................................

Câu 4. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó:

2 3

4 4 27 3 x x x     

.............................................................. ........................................................................

Câu 5. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó:

1 1

2 2

x x

  

 

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 4

.............................................................. ........................................................................

Câu 6. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó:

   

1 3 4 5 4 3 7 x x x x      

.............................................................. ........................................................................

Bài tập luyện tập.

Bài 4.55: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau:

3 6 9

x x x



  

 



Bài 4.56: Tìm điều kiện xác định của bất phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó:

a] 2 2 1 2 1 2 1 x x x      b]

1 2 x x    

c] 1 1 2 x x x      d]

     

1 2 2 7 x x x     

DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH CÁC BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ GIẢI BẤT

PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG.

Câu 7. Bất phương trình sau tương đương với bất phương trình 3 1 0 x   [*] không, giải thích?

1 1

3 1

3 3

x x

   

 

.............................................................. ........................................................................

Câu 8. Bất phương trình sau tương đương với bất phương trình 3 1 0 x   [*] không, giải thích?

3 1

3 1 3 1

x x

  

 

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 5

.............................................................. ........................................................................

Câu 9. Giải thích vì sao bất phương trình sau vô nghiệm.

2 3 0 x x   

.............................................................. ........................................................................

Câu 10. Giải thích vì sao bất phương trình sau vô nghiệm.

x x



 



.............................................................. ........................................................................

Câu 11. Giải thích vì sao bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x .

1 2 1 x x x    

.............................................................. ........................................................................

Câu 12. Giải thích vì sao bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x .

 

2 2

1 1

x x

  

 

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 6

.............................................................. ........................................................................

Câu 13. Bạn Nam giải bất phương trình 1 1 x x    như sau

Bất phương trình tương đương với    

2 2

1 1 x x   

2 2

2 1 2 1 4 0 0 x x x x x x          

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là [0; ] S    .

Theo em ban Nam giải như vậy đúng hay sai? Nếu sai hãy sửa lại cho đúng.

.............................................................. ........................................................................

Bài tập luyện tập.

Bài 4.57: Trong các bất phương trình sau đây, bất phương trình nào tương đương với bất phương trình

3 1 0 x   :

1 1

3 1

3 3

x x

  

 

b] 3 1 1 1 x x x     

Bài 4.58: Không giải bất phương trình, hãy giải thích vì sao các bất phương trình sau vô nghiệm.

a] 1 4 x x     b]

1 1 x x x     

Bài 4.59: Không giải bất phương trình, hãy giải thích vì sao các bất phương trình sau nghiệm đúng với

mọi x .

1 2 2 1 0 x x x      b]







Bài 4.60: Bạn Bình giải bất phương trình

 

1 2 2 1 0 x x     như sau

Bất phương trình tương đương với

2 2 1 0 2 2 1 2 2 1

x x x x            

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là

[ ; ]

S     .

Theo em ban Bình giải như vậy đúng hay sai? Nếu sai hãy sửa lại cho đúng.

§3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1.Bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

a] Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và miền nghiệm của nó.

 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng:

0, 0, 0, 0 ax by c ax by c ax by c ax by c             trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a

và b không đồng thời bằng 0; x và y là các ẩn số.

Mỗi cặp số [x 0; y 0] sao cho ax 0 + by 0 < c gọi là một nghiệm của bất phương trình 0 ax by c    ,

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 7

Nghiệm của các bất phương trình dạng , , ax by c ax by c ax by c       cũng được định nghĩa tương

tự.

 Trong mặt phẳng tọa độ thì mỗi nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một

điểm và tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một tập hợp điểm. Ta gọi tập hợp điểm ấy là miền nghiệm

của bất phương trình.

b] Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Định lí: Trong mặt phẳng tọa độ đường thẳng   : 0 d ax by c    chia mặt phẳng thành hai nửa mặt

phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng ấy [không kể bờ [d]] gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương

trình 0 ax by c    , nửa mặt phẳng còn lại [không kể bờ [d]] gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất

phương trình 0 ax by c    .

Vậy để xác định miền nghiệm của bất phương trình 0 ax by c    , ta có quy tắc thực hành biểu diễn

hình học tập nghiệm [hay biểu diễn miền nghiệm] như sau:

Bước 1. Vẽ đường thẳng [d]: 0 ax by c   

Bước 2. Xét một điểm  

0 0

; M x y không nằm trên [d].

Nếu

0 0

0 ax by c    thì nửa mặt phẳng [không kể bờ [d]] chứa điểm M là miền nghiệm của bất

phương trình 0 ax by c    .

Nếu

0 0

0 ax by c    thì nửa mặt phẳng [không kể bờ [d]] không chứa điểm M là miền nghiệm của

bất phương trình 0 ax by c    .

Chú ý: Đối với các bất phương trình dạng 0 ax by c    hoặc 0 ax by c    thì miền nghiệm là nửa

mặt phẳng kể cả bờ.

2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Tương tự hệ bất phương trình một ẩn, ta có hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình trong hệ là

miền nghiệm của hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Để xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như sau:

Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ [tô màu] miền còn lại.

Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng tọa

độ, miền còn lại không bị gạch [tô màu] chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN.

Câu 1: Xác định miền nghiệm của bất phương trình sau:

2 0 x y  

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 8

Câu 2: Xác định miền nghiệm của bất phương trình sau:

2 2 1

2 3

x y x y   



.............................................................. ........................................................................

Câu 3: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình sau:

2 0

3 3 0

x y

   



  



.............................................................. ........................................................................

Câu 4: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình sau:

2 3 6 0

2 1 0

x y

  



  





  



.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 9

.............................................................. ........................................................................

Câu 5: Xác định miền nghiệm bất phương trình    

3 3

0 x y x y    .

.............................................................. ........................................................................

Bài tập luyện tập.

Bài 4.61: Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau:

a] 3 0 x y   b] 1

x y



  



Bài 4.62: Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau:

2 0

3 0

x y

   



  



2 0

2 3 6 0

2 3 0

x y

   



  





  



DẠNG TOÁN 2: ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN KINH TẾ.

Lưu ý: Ta thừa nhận kết quả sau "Giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức     ; 0 P x y ax by b   

trên miền đa giác lồi [kể cả biên] đạt được tại một đỉnh nào đó của đa giác".

Câu 6: Một công ty kinh doanh thương mại chuẩn bị cho một đợt khuyến mại nhằm thu hút khách

hàng bằng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm của công ty trên hệ thống phát thanh và

truyền hình. Chi phí cho 1 phút quảng cáo trên sóng phát thanh là 800.000 đồng, trên sóng

truyền hình là 4.000.000 đồng. Đài phát thanh chỉ nhận phát các chương trình quảng cáo dài

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 10

ít nhất là 5 phút. Do nhu cầu quảng cáo trên truyền hình lớn nên đài truyền hình chỉ nhận

phát các chương trình dài tối đa là 4 phút. Theo các phân tích, cùng thời lượng một phút

quảng cáo, trên truyền hình sẽ có hiệu quả gấp 6 lần trên sóng phát thanh. Công ty dự định

chi tối đa 16.000.000 đồng cho quảng cáo. Công ty cần đặt thời lượng quảng cáo trên sóng

phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất?

.............................................................. ........................................................................

Câu 7: Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và 30 giờ,

đem lại mức lời 40000 đồng. Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và 15giờ, đem lại

mức lời 30000 đồng. Xưởng có 200kg nguyên liệu và 120 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi

loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất?

.............................................................. ........................................................................

Câu 8: Bài tập luyện tập.

Bài 4.63: Một công ty cần thuê xe vận chuyển 140 người và 9 tấn hàng hóa. Nơi cho thuê xe chỉ có

10 xe hiệu MITSUBISHI và 9 xe hiệu FORD. Một chiếc xe hiệu MITSUBISHI có thể chở 20 người và

0,6 tấn hàng. Một chiếc xe hiệu FORD có thể chở 10 người và 1,5 tấn hàng. Tiền thuê một xe hiệu

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 11

MITSUBISHI là 4 triệu đồng, một xe hiệu FORD là 3 triệu đồng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để

chi phí thấp nhất?

Bài 4.64: Nhân dịp tết Trung Thu, Xí nghiệp sản xuất bánh Trăng muốn sản xuất hai loại bánh: Đậu xanh, Bánh

dẻo nhân đậu xanh. Để sản xuất hai loại bánh này, Xí nghiệp cần: Đường, Đậu, Bột, Trứng, Mứt,... Giả sử số

đường có thể chuẩn bị được là 300kg, đậu là 200kg, các nguyên liệu khác bao nhiêu cũng có. Sản xuất một cái

bánh đậu xanh cần 0,06kg đường, 0,08kg đậu và cho lãi 2 ngàn đồng. Sản xuất một cái bánh dẻo cần 0,07kg

đường, 0,04kg đậu và cho lãi 1,8 ngàn đồng.

Cần lập kế hoạch để sản xuất mỗi loại bánh bao nhiêu cái để không bị động về đường, đậu và tổng số

lãi thu được là lớn nhất [nếu sản xuất bao nhiêu cũng bán hết]?

Bài 4.65: Công ty Bao bì Dược cần sản xuất 3 loại hộp giấy: đựng thuốc B1, đựng cao Sao vàng và

đựng "Quy sâm đại bổ hoàn". Để sản xuất các loại hộp này, công ty dùng các tấm bìa có kích thước giống

nhau. Mỗi tấm bìa có hai cách cắt khác nhau: Cách thứ nhất cắt được 3 hộp B 1, một hộp cao Sao vàng và 6

hộp Quy sâm. Cách thứ hai cắt được 2 hộp B1, 3 hộp cao Sao vàng và 1 hộp Quy sâm. Theo kế hoạch, số

hộp Quy sâm phải có là 900 hộp, số hộp B1 tối thiểu là 900 hộp, số hộp cao sao vàng tối thiểu là 1000

hộp. Cần phương án sao cho tổng số tấm bìa phải dùng là ít nhất?

§4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. Giải và biện luận bất phương trình dạng 0 a x b   .

Giải bất phương trình dạng 0 a x b   [1]

Nếu 0 a  thì bất phương trình có dạng 0. 0 x b  

- Với 0 b  thì tập nghiệm BPT là S = 

- Với 0 b  thì tập nghiệm BPT là S  

Nếu 0 a  thì  

   suy ra tập nghiệm là ;

 

 

    



 

 

Nếu 0 a  thì   1

   suy ra tập nghiệm là ;

 

 

    



 

 

Các bất phương trình dạng 0, 0, 0 ax b ax b ax b       được giải hoàn toán tương tự

2. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Để giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ bất phương trình. Khi

đó tập nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các tập nghiệm từng bất phương trình.

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG 0 a x b   .

Câu 1. Giải và biện luận bất phương trình 6 2 3 m x x m   

.............................................................. ........................................................................

Câu 2. Giải và biện luận bất phương trình  

3 4 x m m x x    

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 12

.............................................................. ........................................................................

Câu 3. Giải và biện luận bất phương trình

   

9 3 1 6 m x m x    

.............................................................. ........................................................................

Câu 4. Giải và biện luận bất phương trình

 

2 2

2 1 m m x x m    

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 13

.............................................................. ........................................................................

Câu 5. Tìm m để bất phương trình

 

6 2 m m x m x     vô nghiệm.

.............................................................. ........................................................................

Câu 6. Tìm m để bất phương trình

   

2 2

4 2 1 4 5 9 12 m x m m x m      có nghiệm đúng

x    .

.............................................................. ........................................................................

Câu 7. Tìm m để bất phương trình

 

4 2 1 5 3 1 m m x m x m       có tập nghiệm là [ 1; ]    .

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 14

.............................................................. ........................................................................

Câu 8. Tìm m để hai bất phương trình sau tương đương

  1 2 3 0 m x m     [1] và   1 4 0 m x m     [2].

.............................................................. ........................................................................

2. Các bài tập luyện tập.

Bài 4.66: Giải và biện luận các bất phương trình:

a] [ ] 1. m x m x    b]

3 [ 3]. x m m x   

Bài 4.67: a] Tìm m để bất phương trình 2 m x x m    vô nghiệm.

b] Tìm m để bất phương trình  

1 9 3 m x x m    có nghiệm đúng x    .

Bài 4.68: Cho hàm số    

2 1 3 2 f x m x m     .

a] Tìm m để phương trình   0 f x  có nghiệm 0;1 x

 



 

b] Tìm m để   0 f x  với mọi 1;2 x

 

 

 

Bài 4.69: Tìm m để bất phương trình   1 2 2 1 x x m    có tập nghiệm là [1; ]   .

Bài 4.70: Tìm m để hai bất phương trình sau tương đương

  2 2 4 0 m x m     và  

1 4 0 m x m     .

DẠNG TOÁN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 15

Câu 14. Giải hệ bất phương trình sau:

5 2 4 5

5 4 2

x x



   





   





.............................................................. ........................................................................

Câu 15. Giải hệ bất phương trình sau:

6 4 7

8 3

2 5

x x





  





 



 





.............................................................. ........................................................................

Câu 16. Giải hệ bất phương trình sau:

 

5 2 4 5

x x



   







 



 

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 16

.............................................................. ........................................................................

Câu 17. Giải hệ bất phương trình sau:

1 2 3

3 5

5 3

x x





  



 





 



 





.............................................................. ........................................................................

Câu 18. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm.

   

2 1 2

1 4 2 3 6

x x

m m x m m x m



   





      





.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 17

.............................................................. ........................................................................

Câu 19. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm

 

1 2

2 2 1

m m x

m m x m



  





   





.............................................................. ........................................................................

Câu 20. Tìm m để hệ bất phương trình sau vô nghiệm.

 

3 7 1

2 8 5

x x x

m x





   







 



 

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 18

Câu 21. Tìm m để hệ bất phương trình sau vô nghiệm.

   

1 1

2 3 5 4

m x x

x x



   





   





.............................................................. ........................................................................

Câu 22. Tìm m để hệ bất phương trình

  2 1 3

4 3 4

m x x



   





  





có nghiệm duy nhất.

.............................................................. ........................................................................

Bài 4.71: Giải các hệ bất phương trình sau:

4 5

3 8

2 5



 



 





 



 





4 1

3 2

4 3 2

2 3

x x





  





  









2 3

2 9 19

3 2

x x





 





  









 

2 5

2 3 1



 



 





 



 





TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 19

Bài 4.72: Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm.

    4 3 1 3 3

x x

x m



    





  





 

   

2 5 3[ 4]

3 8 5 8

2 1 2

x x

m x m x m





  



   





     

 

Bài 4.73: Tìm m để hệ bất phương trình sau vô nghiệm.

2 7 8 1

5 2

x x

m x



   





  





   

 

2 2

3 5 1

2 1 9

1 2

x x

m x m x m



   



   





    



 

Bài 4.74: Tìm m để phương trình    

2 2

15 11 2 7 x x y y có nghiệm thỏa mãn

 





 





2 3 0

x y

m x m y

DẠNG TOÁN 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG

TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.

Câu 27. Giải và biện luận bất phương trình

m x m

 





.............................................................. ........................................................................

Câu 28. Cho bất phương trình

 

4 3 2 m x m     . Giải bất phương trình khi 1 m 

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 20

.............................................................. ........................................................................

Câu 29. Cho bất phương trình

 

4 3 2 m x m     . Tìm m để bất phương trình nghiệm

đúng với mọi x

.............................................................. ........................................................................

Câu 30. Cho bất phương trình 1[ 2 2] 0 x x m     . Giải bất phương trình khi 2 m 

.............................................................. ........................................................................

Câu 31. Cho bất phương trình 1[ 2 2] 0 x x m     . Tìm m để mọi 2;3 x

 



 

đều là nghiệm

của bất phương trình đã cho.

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 21

.............................................................. ........................................................................

Câu 32. Tìm tất cả các giá trị của m để Bất phương trình 4 0 m x   [1] nghiệm đúng với mọi

8 x 

.............................................................. ........................................................................

Câu 33. Tìm tất cả các giá trị của m để Bất phương trình

2 3 0

m x

  



[2] nghiệm đúng

với mọi [0; ] x   

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 22

.............................................................. ........................................................................

Câu 34. Cho phương trình    

1 4 3 4 1 0 m x m x m       [1]. Tìm m để phương trình

[1] Có một nghiệm lớn hơn 2 và một nghiệm nhỏ hơn 2.

.............................................................. ........................................................................

Câu 35. Cho phương trình    

1 4 3 4 1 0 m x m x m       [1]. Tìm m để phương trình

[1] Có ít nhất một nghiệm lớn hơn 2

.............................................................. ........................................................................

Bài 4.75: Giải và biện luận bất phương trình

2 1

x m

 





Bài 4.76: Tìm điều kiện của m để phương trình  

2 2 1 1 0 x m x m     

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 23

a] Có hai nghiệm khác dấu

b] Có hai nghiệm phân biệt đều âm

c] Có hai nghiệm phân biệt đều dương

d] Có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau

Bài 4.77: Giải và biện luận bất phương trình

 

2 2

4 1 5 0 x m x m

 

   

 

Bài 4.78: a] Với giá trị nào của m thì bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi [ 2;3] x   .

b] Cho bất phương trình

2 2

4 2

1 3

1 1

x x

 

 

   





 

   

. Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với

mọi 0 x  .

c] Với điều kiện nào của , a b thì bất phương trình

0 a x b

 

 

   





 

 

nghiệm đúng với mọi 0 x  .

Bài 4.79: Tìm m để phương trình

   

2 2

2 2 2 3 0 x x m x x m       có 2 nghiệm phân biệt.

§5. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. Nhị thức bậc nhất và dấu của nó.

a] Định nghĩa nhị thức bậc nhất:

Nhị thức bậc nhất [đối với x ] là biểu thức dạng a x b  , trong đó a và b là hai số cho trước với 0 a 

  được gọi là nghiệm cảu nhị thức bậc nhất  

f x ax b   .

b] Dấu của nhị thức bậc nhất

Định lí: Nhị thức bậc nhất   f x ax b   cùng dấu với hệ số a khi x lớn hơn nghiệm và trái dấu với

hệ số a x nhỏ hơn nghiệm của nó.

2. Một số ứng dụng.

a] Giải bất phương trình tích

 Dạng [ ] 0 P x  [1] [trong đó   P x là tích các nhị thức bậc nhất.]

 Cách giải: Lập bảng xét dấu của   P x . Từ đó suy ra tập nghiệm của [1].

b] Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

 Dạng

[ ]

P x

Q x

 [2] [trong đó     , P x Q x là tích những nhị thức bậc nhất.]

 Cách giải: Lập bảng xét dấu của

[ ]

P x

Q x

. Từ đó suy ra tập nghiệm của [2].

Chú ý: 1] Không nên qui đồng và khử mẫu.

2] Rút gọn bớt các nhị thức có lũy thừa bậc chẵn [cần lưu ý trong việc rút gọn để tránh làm mất nghiệm].

c] Giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối[GTTĐ]

 Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất

của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

Chú ý: Với 0 B  ta có A B B A B      ;

A B



 



 









B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG 1: LẬP BẢNG XÉT DẤU BIỂU THỨC CHỨA NHỊ THỨC BẬC NHẤT HAI ẨN.

Câu 1. Lập bảng xét dấu biểu thức 2 3 x  

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 24

.............................................................. ........................................................................

Câu 2. Lập bảng xét dấu biểu thức 4 12 x 

.............................................................. ........................................................................

Câu 3. Lập bảng xét dấu biểu thức

4 x 

.............................................................. ........................................................................

Câu 4. Lập bảng xét dấu biểu thức

2 5 2 x x   

.............................................................. ........................................................................

Câu 5. Lập bảng xét dấu biểu thức

2 3

 



.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 25

.............................................................. ........................................................................

Câu 6. Lập bảng xét dấu biểu thức

4 12

x x



.............................................................. ........................................................................

Câu 7. Lập bảng xét dấu biểu thức

 

4 [ 2] x x x  

.............................................................. ........................................................................

Câu 8. Lập bảng xét dấu biểu thức

 





.............................................................. ........................................................................

Câu 9. Tùy vào m xét dấu các biểu thức

x m

 



.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 26

.............................................................. ........................................................................

Bài 4.80: Lập bảng xét dấu các biểu thức sau

a] 4 8 x   b] 3 9 x 

4 3 x x   d]

3 10 3 x x   

Bài 4.81: Lập bảng xét dấu các biểu thức sau

2 4

 



4 8

x x



 

9 [ 3] x x x   d]

 





DẠNG 2: ỨNG DỤNG XÉT DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT HAI ẨN VÀO GIẢI TOÁN.

Câu 10. Giải bất phương trình sau     1 2 3 0 x x   

.............................................................. ........................................................................

Câu 11. Giải bất phương trình sau

   

2 5 4 0 x x x    

.............................................................. ........................................................................

Câu 12. Giải bất phương trình sau

   

2 1 1 0 x x   

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 27

Câu 13. Giải bất phương trình sau

   

3 3 3 0 x x x   

.............................................................. ........................................................................

Câu 14. Giải bất phương trình sau

   

2 4

2 1 3 1

x x

 



 

.............................................................. ........................................................................

Câu 15. Giải bất phương trình sau

   

3 2

x x

 





.............................................................. ........................................................................

Câu 16. Giải bất phương trình sau

 

1 1







.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 28

.............................................................. ........................................................................

Câu 17. Giải bất phương trình sau 2 1 3 x x  

.............................................................. ........................................................................

Câu 18. Giải bất phương trình sau 2 1 4 3 x   

.............................................................. ........................................................................

Câu 19. Giải bất phương trình sau 1 2 3 x x    

.............................................................. ........................................................................

Câu 20. Giải bất phương trình sau

x x

 



.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 29

.............................................................. ........................................................................

Câu 21. Giải bất phương trình sau

4 2

1 1

x x

 





.............................................................. ........................................................................

Câu 22. Giải bất phương trình sau

   

1 2 1 1 2

x x x

    





.............................................................. ........................................................................

Câu 23. Cho hệ bất phương trình

 

   

2 2 2

0 [1]

2 1 2

2 [2]

x x



 





  







. Giải hệ bất phương trình khi 1 m  

.............................................................. ........................................................................

Câu 24. Cho hệ bất phương trình

 

   

2 2 2

0 [1]

2 1 2

2 [2]

x x



 





  







. Tìm m để hệ bất phương trình có

nghiệm

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 30

.............................................................. ........................................................................

Bài 4.82: Giải các bất phương trình sau:

  

] 3 10 3 0 a x x b]

     

2 2 2 4 0 x x x    

c]  



1 1 1

9 2 x x

d] 

 

2 3

1 2 1 x x

2 1

x x

 

 f]

2 2

 





4 2

4 9

 





 



  

3 3

2 3

3 1 4 5

x x

Bài 4.83: Giải các bất phương trình sau:

a] 2

x   b] 4 2 1 3 x x   

c] 3 2 1 4 x    c] 2 3 3 4 5 x x     

§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. Tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai [đối với x ] là biểu thức dạng  

a x bx c . Trong đó , , a b c là nhứng số cho trước

với  0 a .

Nghiệm của phương trình   

0 a x bx c được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai

    

f x a x b x c ;   

4 b a c và   

' ' b a c theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu

gọn của tam thức bậc hai     

f x a x b x c .

2. Dấu của tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau [trong trái ngoài cùng]

       

, 0 f x ax b x c a

  0       . 0, a f x x

  0  

 

 

   

 

 

   



. 0, \

a f x x

  0

             

1 2

. 0, ; ; a f x x x x

      

1 2

. 0, ; a f x x x x

Nhận xét: Cho tam thức bậc hai  

a x bx c





 



     



  





ax b x c x R





 



     



  





ax b x c x R

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 31





 



     



  





ax b x c x R





 



     



  





ax b x c x R

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC CHỨA TAM THỨC BẬC HAI.

Câu 1. Xét dấu của tam thức  

3 2 1 x x

.............................................................. ........................................................................

Câu 2. Xét dấu của tam thức   

4 5 x x

.............................................................. ........................................................................

Câu 3. Xét dấu của tam thức   

4 12 9 x x

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 32

.............................................................. ........................................................................

Câu 4. Xét dấu của tam thức  

3 2 8 x x

.............................................................. ........................................................................

Câu 5. Xét dấu của tam thức  

25 10 1 x x

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 33

.............................................................. ........................................................................

Câu 6. Xét dấu của tam thức   

2 6 5 x x

.............................................................. ........................................................................

Câu 7. Tùy theo giá trị của tham số m, hãy xét dấu của các biểu thức    

[ ] 2 3 2 f x x m x m

.............................................................. ........................................................................

Câu 8. Xét dấu của biểu thức sau

        

2 2

1 6 5 1 x x x x

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 34

.............................................................. ........................................................................

Câu 9. Xét dấu của biểu thức sau

 

  

3 4

x x

.............................................................. ........................................................................

Câu 10. Xét dấu của biểu thức sau  

5 2 x x

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 35

Câu 11. Xét dấu của biểu thức sau

 



  

3 4

x x

.............................................................. ........................................................................

Bài 4.84: Xét dấu các tam thức sau

a]    

[ ] 2 3 1 f x x x b]   

[ ] 1

g x x x c]    

[ ] 2 1 h x x x .

Bài 4.85: Xét dấu các biểu thức sau

a]     

2 2

[ ] [ 5 4][2 5 2 ] f x x x x x b]    



[ ] 3 2

f x x x

Bài 4.86: Xét dấu các biểu thức sau

a]  



1 1 1

9 2 x x

b]  

4 1 x x .



 

3 7

x x

d]  

3 2 x x

Bài 4.87: Tùy theo giá trị của tham số m, hãy xét dấu của biểu thức

     

[ ] [ 1] 2[ 1] 3 g x m x m m

DẠNG TOÁN 2: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN TAM THỨC BẬC HAI

LUÔN MANG MỘT DẤU.

Câu 12. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì Phương trình      

3 2 1 0 m x m x

luôn có nghiệm

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 36

.............................................................. ........................................................................

Câu 13. Phương trình

   

    

2 2

5 3 2 1 0 m x m x luôn vô nghiệm

.............................................................. ........................................................................

Câu 14. Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn âm     

1 f x m x x

.............................................................. ........................................................................

Câu 15. Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn âm

           

4 2 8 5 g x m x m x m

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 37

.............................................................. ........................................................................

Câu 16. Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn dương

 

      



  

2 2

4 1 1 4

4 5 2

x m x m

h x

x x

.............................................................. ........................................................................

Câu 17. Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn dương

     

1 k x x x m

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 38

.............................................................. ........................................................................

Câu 18. Chứng minh rằng hàm số sau có tập xác định là  với mọi giá trị của m .

 



  

2 2

2 1 4 2

m x

m x m x

.............................................................. ........................................................................

Câu 19. Chứng minh rằng hàm số sau có tập xác định là  với mọi giá trị của m.

     



  

2 2

2 2 2

2 2 1 1

2 2

x m x m

m x m x m

.............................................................. ........................................................................

Bài 4.88: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì

a] Phương trình         

2 2 3 0 x m x m luôn có nghiệm

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 39

b] Phương trình

   

    

2 2

1 3 2 2 0 m x m x luôn vô nghiệm

Bài 4.89: Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn âm

a]  

   

2 f x x x m b]    

    

4 4 1 3 g x m x m x m

Bài 4.90: Chứng minh rằng hàm số sau có tập xác định là  với mọi giá trị của m.

a]     

2 2 2

4 2 5 y m x m x m m b]

 





   

2 2

2 3

2 1 2 3

x m

x m x m

Bài 4.91: Tìm m để

a]        

2 2

3x 2[ 1] 2 3 2 0 m x m m x R

b] Hàm số      

[ 1] 2[ 1] 3 3 y m x m x m có nghĩa với mọi x.



  

 

x m

x R

x x

DẠNG TOÁN 3: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Câu 20. Giải bất phương trình    

3 2 1 0 x x

.............................................................. ........................................................................

Câu 21. Giải bất phương trình   

12 0 x x

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 40

.............................................................. ........................................................................

Câu 22. Giải bất phương trình   

5 6 5 9 0 x x

.............................................................. ........................................................................

Câu 23. Giải bất phương trình    

36 12 1 0 x x

.............................................................. ........................................................................

Câu 24. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:    

3 0 x mx m

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 41

.............................................................. ........................................................................

Câu 25. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:    

[1 ] 2 2 0 m x m x m

.............................................................. ........................................................................

Câu 26. Tìm m để mọi

 

 

 

1;1 x đều là nghiệm của bất phương trình

       

2 2

3 2 5 2 8 0 x m x m m [1]

.............................................................. ........................................................................

Câu 27. Giải và biện luận bất phương trình      

[ 1] 2[2 1] 4 2 0 m x m x m

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 42

.............................................................. ........................................................................

Bài 4.92: Giải các bất phương trình sau:

a]    

2 3 1 0 x x b]   

1 0

x x c]    

2 1 0 x x .

d]  

7 2 6 x x e]   

22 51 0 x x f]   

5 6 0 x x

Bài 4.93: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm

a]    

2 3 0 x mx m b]  

    

[ 1] 2 2 2 0 m x m x m

Bài 4.94: Giải và biện luận bất phương trình    

2 1 0 m x m x m

Bài 4.95: Tìm m để mọi 



  



0; x đều là nghiệm của bất phương trình

      

2 2 2

1 8 9 0 m x m x m

Bài 4.96: Cho hàm số     

1 f x x b x với

 

 

 





 

 

b . Giải bất phương trình      f f x x .

DẠNG TOÁN 4: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN.

Câu 28. Giải hệ bất phương trình



   





   





2 9 7 0

6 0

x x

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 43

.............................................................. ........................................................................

Câu 29. Giải hệ bất phương trình



   





   





2 6 0

3 10 3 0

x x

.............................................................. ........................................................................

Câu 30. Giải hệ bất phương trình



    





   





5 4 0

13 0

x x

.............................................................. ........................................................................

Câu 31. Giải hệ bất phương trình



   



  





   

 

4 3 0

2 10 0

2 5 3 0

x x

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 44

.............................................................. ........................................................................

Câu 32. Cho hệ bất phương trình

 



   





     





5 0

1 2 2 0

m x x

m x m x m

. Giải hệ bất phương trình khi

 1 m

.............................................................. ........................................................................

Câu 33. Cho hệ bất phương trình

 



   





     





5 0

1 2 2 0

m x x

m x m x m

. Tìm m để hệ bất phương

trình nghiệm đúng với mọi x

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 45

.............................................................. ........................................................................

Câu 34. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ sau có nghiệm

 



   





     





3 2 0

2 2 1 5 3 0

x x

m x m x m

.............................................................. ........................................................................

Bài 4.97: Giải các hệ bất phương trình sau:



    





   





4 7 0

2 1 0

x x



   





   





5 0

6 1 0

x x

 

  



2 7

4 1

x x

 

 

 

1 2 2

13 5 7

x x

Bài 4.98: Tìm m để bất phương trình     

[ 1] 2[ 1] 0 m x m x x nghiệm đúng với mọi

 

 

 

2;1 x

Bài 4.99: Giải và biện luận hệ bất phương trình

 



    





    





1 2 2 0

2 2 0

x m x m

Bài 4.100: Tìm m để bất phương trình  

     

2 2

2 2 1 2 2 0 x m x m m nghiệm đúng với mọi

 

 



 

 

x .

Bài 4.101: Cho phương trình:       

2 2

2 1 0 1 x m x m m

a] Tìm m để phương trình [1] có nghiệm  1 x .

b] Tìm m để phương trình [1] có nghiệm  1 x .

c] Tìm m để phương trình [1] có nghiệm  

1 2

1 x x .

d] Tìm m để phương trình [1] có nghiệm  

1 2

1 x x .

DẠNG TOÁN 5: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 46

Ở MẤU THỨC.

Câu 35. Giải bất phương trình

       

1 2 1 0 x x x

.............................................................. ........................................................................

Câu 36. Giải bất phương trình    

4 2

5 2 3 0 x x x

.............................................................. ........................................................................

Câu 37. Giải bất phương trình:

   





   

2 2

3 3 2 8

x x x

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 47

.............................................................. ........................................................................

Câu 38. Giải bất phương trình:



 



2 1

.............................................................. ........................................................................

Câu 39. Giải bất phương trình

 



 

x x

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 48

Câu 40. Giải bất phương trình

  



 

1 1

3 6

x x

.............................................................. ........................................................................

Câu 41. Tìm m để bất phương trình

 



 

    





 

    

3 2

3 0 [*]

3 3

x m m

x x x

có nghiệm.

.............................................................. ........................................................................

Bài 4.102: Giải các bất phương trình sau

a]     

[4 3 ][ 2 3 1] 0 x x x b]   

 

x x

c]    

4 2

2 1 0 x x x d]

       





2 2

4 3 2 8

x x x

x x

 



 

1 2

x x

  





2 3

1 1

x x

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 49

Bài 4.103: Ta có

 

      

 

 

 

      

 

 

2 2

1 2 3 0

3 3 0

x x x

b p t

x m m m m x

Bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

 

         

2 2

3 5 3 5

3 1 3 1 0

2 2

m m m m x

DẠNG TOÁN 6: ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT.

Câu 42. Cho hai số thực , x y . Chứng minh rằng     

2 2

3 5 2 2 1 0 x y x xy

.............................................................. ........................................................................

Câu 43. Cho , , x y z là số thực. Chứng minh rằng

       

2 2 2 2 2 2 2 2

4 2 1 0 x y z x y z x y z y z y z .

.............................................................. ........................................................................

Câu 44. Cho , , a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác và , , x y z thỏa mãn:   

2 2 2

0 a x b y c z

.Chứng minh rằng:    0 x y y z z x .

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 50

.............................................................. ........................................................................

Câu 45. [BĐT Bunhiacốpski] Cho 2n số

1 2 1 2

, ,.., , , ,...,

n n

a a a b b b . Chứng minh rằng:

         

2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2

[ ... ] [ ... ][ ... ]

n n n n

a b a b a b a a a b b b .

.............................................................. ........................................................................

Bài 4.104: Tìm tất cả các giá trị của y sao cho BĐT sau đúng với   , x z R .

       

2 2 2

9 5 6 4 12 2 1 0 x y z xy xz y z z .

Bài 4.105: Cho  x,y,z 0thỏa mãn:     4 x y y z z x x y z .

Chứng minh rằng:      x x y z x y y z z .

Bài 4.106: Cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng:

      

2 2 2

2[ ] 8 5[ ] xz y x y z x y z

Bài 4.107: Cho các số thực , x y thỏa mãn bất phương trình     

2 2

5 5 5 15 8 0 x y x y . Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức   3 . S x y

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 51

Bài 4.108: Cho , a b là các số thực thỏa mãn   

2 2

4 3 . a b a b Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

biểu thức   2 3 . P a b

Bài 4.109: Cho các số thực , , x y z thỏa mãn   

2 2 2

5 x y z và    3 x y z . Tìm giá trị lớn nhất

và nhỏ nhất của biểu thức

 





x y

Bài 4.110: Cho , , a b c là số thực. Chứng minh rằng

          

2 2

2[ 1] [ 2] 3 a b c ab b c c a a b b c c a

Bài 4.111: Cho a và b là các số thực thỏa mãn   

2 2

9 8 7 6 a ab b . Chứng minh rằng

   7 5 12 9 a b a b .

Bài 4.112: Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn:

   1 x y z

. Tìm giá trị lớn nhất

của:

9 10 11 P x y y z z x   

§7. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

Loại 1: Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối[GTTĐ] ta cần khử dấu GTTĐ.

Sau đây là một số cách thường dùng để khử dấu GTTĐ

+ Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

+ Đặt ẩn phụ là biểu thức chứa dấu GTTĐ để khử dấu GTTĐ

*Lưu ý: Sau đây là một số loại toán phương trình, bất phương trình cơ bản có thể thức hiện bằng phép

biến đổi tương đương.



[ ] 0

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

g x

f x g x f x g x

f x g x



 





  









  



  



[ ] [ ]

f x g x







 



 







[ ] 0

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

g x

f x g x

g x f x g x



 



 



   







[ ] 0

[ ]

[ ] 0 [ ] [ ]

[ ] [ ]

g x

f x

g x f x g x

f x g x

 

 











  





   

 









 













 



   

Loại 2: Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn

Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn mục đích chúng ta phải khử căn thức đi.

Sau đây là một số phương pháp thường dùng.

+ Biến đổi tương đương[ Bình phương hai vế, phân tích thành nhân tử]

Lưu ý: Đối với bất phương trình, bình phương hai vế không âm thì mới thu về bất phương trình tương

đương cùng chiều

+ Đặt ẩn phụ

+ Đánh giá

Lưu ý một số phương trình, bất phương trình cơ bản sử dụng phép biến đổi tương đương như sau

Phương trình:



[ ] 0

[ ] [ ]

f x

f x g x



 



 



 







 

[ ] 0

[ ] [ ]

g x

f x g x



 



 









 

có nghĩa

[ hoặc  

0 g x  ]

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 52

Bất phương trình:



[ ] [ ]

[ ] 0

f x g x

g x



 



 



 







 

[ ] 0

[ ] [ ] [ ] 0

[ ] [ ]

f x

f x g x g x

f x g x



 



  





 







 

[ ] 0

[ ] [ ]

[ ] 0

[ ] [ ]

g x

f x

f x g x

g x

f x g x

 

 









 

  

 





 

 



 



 



  

Loại 3: Phương pháp đánh giá

Đối với phương trình ta thường làm như sau

Cách 1: Tìm một nghiệm và chứng minh nó là nghiệm duy nhất.

Cách 2: Biến đổi hằng đẳng thức đưa về phương trình   0 f x  trong đó   f x là tổng các bình

phương.

Cách 3: Với phương trình [ ] [ ] f x g x  có tập xác định D

Nếu

[ ] [ ]

f x m x

g x m x



 





 





, x D   thì

[ ] [ ]

f x m x

f x g x

g x m x



 



 



 





DẠNG TOÁN 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ

TRỊ TUYỆT ĐỐI

3. Bài tập luyện tập.

Câu 1. Giải phương trình sau:

2 2

2 3 1 2 1 x x x x      

.............................................................. ........................................................................

Câu 2. Giải phương trình sau:

2 3

5 4 3 4 x x x x     

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 53

.............................................................. ........................................................................

Câu 3. Giải phương trình sau:

2 2

5 4 1 x x x x x      

.............................................................. ........................................................................

Câu 4. Giải phương trình sau:

 

3 1 1 12 3 x x x x      

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 54

Câu 5. Giải bất phương trình sau

1 1 x x x    

.............................................................. ........................................................................

Câu 6. Giải bất phương trình sau

2 2

3 2 3 2 x x x x      

.............................................................. ........................................................................

Câu 7. Giải bất phương trình sau

 

2 2 2

3 2 3 2 6 2 x x x     

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 55

.............................................................. ........................................................................

Câu 8. Giải bất phương trình sau

2 5 3 1 2 x x x x       .

.............................................................. ........................................................................

Câu 9. Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt

6 4 x x x m      .

.............................................................. ........................................................................

Câu 10. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm

2 2 2

3 2 3 5 3 5 x x x x m m       .

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 56

.............................................................. ........................................................................

Câu 11. Giải bất phương trình sau

 

3 4 2 12 x x x    

.............................................................. ........................................................................

Câu 12. Giải bất phương trình sau

 

3 2

x x



  

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 57

.............................................................. ........................................................................

Câu 13. Giải phương trình sau

 

4 2 2

2 4 2 5 1 7 0 x x x x x       

.............................................................. ........................................................................

Câu 14. Tìm m để phương trình

2 1 x x m x     có nghiệm.

.............................................................. ........................................................................

Câu 15. Tìm m để bất phương trình   2 1 2 0 x x m x      nghiệm đúng với mọi x   .

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 58

.............................................................. ........................................................................

Bài 4.113: Giải các phương trình sau

3 2 2 3 x x x     b]

| 2 7 2 | 2 x x x    

2 2

3 2 2 3 x x x x x       d]

2 1 1

1 1 1

x x x

 

  

Bài 4.114: Giải các bất phương trình sau

5 4 2 x x x     b]

6 x x x   

c] 3 1 2 x x x     d] 2 1 3 2 3 x x x     

1 1

3 x x

x x

  

Bài 4.115: Biện luận số nghiệm của phương trình:

1 3 2 5 3 x x x m       .

Bài 4.116: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt:

2 2

2 10 8 5 x x m x x       .

Bài 4.117: Tìm m để bất phương trình

2 2

2 3 2 5 8 2 x x m x x      nghiệm đúng với mọi x .

Bài 4.118: Cho bất phương trình

4 3 | 2 | 2 2 0 x x x m      

a] Giải phương trình khi 1 m 

b] Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Bài 4.119: Cho bất phương trình

2 2

2 2 2 0 x m x x m m      

a] Giải bất phương trình khi 2 m 

b] Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với x   

DẠNG TOÁN 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

Câu 16. Giải phương trình sau

3 2

1 2 2 x x x x      

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 59

.............................................................. ........................................................................

Câu 17. Giải phương trình sau

2 2

2 3 1 3 x x x    

.............................................................. ........................................................................

Câu 18. Giải phương trình sau 4 1 1 2 x x x     

.............................................................. ........................................................................

Câu 19. Giải phương trình sau

1 1

1 x x

x x

   

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 60

.............................................................. ........................................................................

Câu 20. Giải phương trình sau

5 8 3 5 3 1 1 x x x x        

.............................................................. ........................................................................

Câu 21. Giải phương trình sau

   

2 2

3 2 3 1 2 5 2 2 x x x x x x x        

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 61

.............................................................. ........................................................................

Câu 22. Giải phương trình

 

5 3 3 2 5 31 41 x x x x      

.............................................................. ........................................................................

Câu 23. Giải bất phương trình sau

1 2[ 1] x x   

.............................................................. ........................................................................

Câu 24. Giải bất phương trình sau [ 5][3 4] 4[ 1] x x x    

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 62

.............................................................. ........................................................................

Câu 25. Giải bất phương trình sau 5 1 1 2 4 x x x     

.............................................................. ........................................................................

Câu 26. Giải bất phương trình sau

2 2

[ 3] 4 9 x x x    

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 63

Câu 27. Giải bất phương trình sau

51 2

x x

 





.............................................................. ........................................................................

Câu 28. Giải bất phương trình sau

2[ 16] 7

3 3

x x

 

  

 

.............................................................. ........................................................................

Câu 29. Giải bất phương trình sau

2 3 4

8 3 6 2 3



   



.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 64

.............................................................. ........................................................................

Câu 30. Giải bất phương trình sau

   

1 4 5 5 28 x x x x     

.............................................................. ........................................................................

Câu 31. Giải bất phương trình sau    

1 2

1 3

2 3

x x

 

  

  

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 65

Câu 32. Giải bất phương trình sau

7 7 7 6 2 49 7 42 181 14 x x x x x        

.............................................................. ........................................................................

Câu 33. Giải bất phương trình sau

3 1

3 2 7

x x

   

.............................................................. ........................................................................

Câu 34. Giải bất phương trình

1 4 1 3 x x x x     

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 66

.............................................................. ........................................................................

Câu 35. Giải bất phương trình

3 1

 



.............................................................. ........................................................................

Câu 36. Giải bất phương trình sau

 

3 2

3 2 2 6 0 x x x x     

.............................................................. ........................................................................

Câu 37. Giải bất phương trình sau

3 3 2 2

4 5 6 7 9 4 x x x x x      

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 67

.............................................................. ........................................................................

Câu 38. Cho phương trình

1 x x x x m      . Tìm m để phương trình có nghiệm duy

nhất

.............................................................. ........................................................................

Câu 39. Cho phương trình

1 x x x x m      . Tìm m để bất phương trình có nghiệm.

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 68

.............................................................. ........................................................................

Câu 40. Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi 1 x 

3 1 1 2 1 x m x x      .

.............................................................. ........................................................................

Câu 41. Giải phương trình sau

6 8

3 2 x x

 

 

.............................................................. ........................................................................

Câu 42. Giải phương trình sau

1 3 2 1 x x x x x      

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 69

.............................................................. ........................................................................

Câu 43. Giải phương trình sau 1 1 x x x    

.............................................................. ........................................................................

Câu 44. Giải phương trình sau

8 4 2 3 3 x x x x      

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 70

.............................................................. ........................................................................

Câu 45. Giải phương trình sau

9 28 4 1 x x x    

.............................................................. ........................................................................

Câu 46. Giải phương trình sau

1 2 1 2 2 x x x     

.............................................................. ........................................................................

Câu 47. Giải phương trình sau

20 38 4 1 6 2 3 12 2 5 3 x x x x x        

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 71

.............................................................. ........................................................................

Câu 48. Giải phương trình sau

2 2 2

1 1 2 x x x x x x         

.............................................................. ........................................................................

Câu 49. Giải phương trình sau

2 1

[ 1]

1 3 1

x x

 

 

 

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 72

Câu 50. Giải phương trình sau

3 2 3

1 2 x x x    

.............................................................. ........................................................................

Câu 51. Giải bất phương trình sau

6 5

x x

 

  

.............................................................. ........................................................................

Câu 52. Giải bất phương trình sau

3 2

2 11 21 3 4 4 x x x    

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 73

.............................................................. ........................................................................

3. Bài tập luyện tập

Bài 4.120: Giải các bpt sau:

. 3 2 1 . 1 3

. 3 2 4 3 . 3 4 1

a x x b x x x

c x x d x x x

      

      

Bài 4.121: Giải các bất phương trình sau.

2 2

[ 3 ] 2 3 2 0 x x x x     b]

[1 1 ]

 

 

2 2

3 1 [ 3] 1 x x x x      .

Bài 4.122: Giải các bpt sau:

 

] 2 1 8 ] 2 6 1 2 0

] 6 5 8 2 ] 3 2 8 7

] 2 1 ] 21

3 9 2

a x x b x x x

c x x x d x x x

e x x x f x

       

         

     

 

Bài 4.123: Giải các bất phương trình sau:

2 2 2

3 4 2

] 2 ] 3 2 4 3 2 5 4

x x

a b x x x x x x

   

        

2 2 2

] 8 15 2 15 4 18 18 ] 1 1 2

c x x x x x x d x x             

Bài 4.124: Giải các bất phương trình sau:

2 2

4[ 1] [2 10][1 3 2 ] x x x      b] 1 1 x x x    

2 2

25 7 3 x x x     d]

2 1 1

2 9

  



3 4 2

x x

   

 f]

2 2

1 1 2

x x

x x x

   

2 2 2

8 15 2 15 4 18 18 x x x x x x        

 

9 16 2 4 2 2 >12 8 x x x x     

Bài 4.125: Giải các bất phương trình sau:

2 2 2 2

2 2

] 3 6 4 2 2 ] 2 4 3 3 2 1

] 3 5 7 3 5 2 1 ] 2 1 2 1

a x x x x b x x x x

c x x x x d x x x x

         

           

5 1 1 35

] 5 2 4 ] 2 3 ]

2 1 12

2 1

x x x

e x x f g x

x x x

x x



       





Bài 4.126: Giải các phương trình sau:

2 7 2 1 8 7 1 x x x x x         

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 74

[2 1]

2 1 3 2

x x



   

c] 10 1 3 5 9 4 2 2 x x x x       

2 3

1 [ 1] 8 x x x     

Bài 4.127: Giải các phương trình sau

2 2 2

2 3 2 1 3 3 x x x x x x       

3 3 2

14 2 2 1 2 x x x x      

2 1 3 5 x x

   

Bài 4.128: Giải phương trình

2 3 1 11 33 3 5 x x x x x        

Bài 4.129: Cho phương trình:

   

2 2

2 2 1 1 1 x m x m m x      

a] Tìm m để phương trình [1] có nghiệm.

b] Tìm m để phương trình [1] có 2 nghiệm phân biệt.

c] Tìm m để phương trình [1] có nghiệm duy nhất.

Bài 4.130: Cho phương trình

 

2 2

1 3 2 0 1 x m x m      .

a] Tìm m để phương trình [1] có nghiệm.

b] Tìm m để phương trình [1] có 4 nghiệm phân biệt.

c] Tìm m để phương trình [1] có nghiệm duy nhất.

ÔN TẬP CHƯƠNG IV

Bài 4.131: Cho các số thực , , a b c là số thực. Chứng minh rằng:

4 4 2 2

1 2 [ 1] a b c a a b a c        b]

2 2

b c ab a c b c     

5 5 4 4 2 2

[ ][ ] [ ][ ] a b a b a b a b      , với 0 a b  .

Bài 4.132: Cho , , a b c là số dương thỏa mãn 1 a b c    . Chứng minh rằng

1 1 1

1 1 1 8

a b c

     

     

      

  

  

     

     

2 2 2 2 2 2

4 4 4

a b b c c a

b bc c c ca a a ab b

  

  

     

Bài 4.133: Cho , , a b c là số dương và 1 abc  . Chứng minh rằng :

3 3 3

[ 1][ 1] [ 1][ 1] [ 1][ 1] 4

a b c

a b c b a c

  

     

1 1 1 1

2 3 2 3 2 3 2 a b b c c a

  

     

Bài 4.134: Giải các bất phương trình sau

] 3 4 0 a x x   

] [1 ][ 5 6] 0 b x x x     .

3 3

x x

 



 

3 3 3

1 1

2 1 1

x x

  



  

Bài 4.135: Cho tam thức

[ ] 2[ 3] 3 f x x m x m      . Tìm m để

a] Phương trình [ ] 0 f x  có nghiệm b] [ ] 0 f x x     .

Bài 4.136: Cho tam thức:

[ ] [ 1] 4[ 1] 2 3 f x m x m x m       . Tìm m để

a] Phương trình [ ] 0 f x  có nghiệm b] Hàm số [ ] y f x  xác định x   

Bài 4.137: Giải các hệ bất phương trình sau:

4 4 0

3 0

x x



   





  





2 1 0

3 2 3 0

x x



    





   





TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 75

3 2

1 0

x x



 







 



   





4 5

4 7 4 0

x x

 





  



  



Bài 4.138: Xác định miền nghiệm của các bất phương trình và hệ bất phương trình sau:

2 2

2 3

x y x y  



 

   

2 3

2 3 3 3 2 2

1 0

x y

x y x y

x y





  



    





   

 

Bài 4.139: Giải bất phương trình:

2 6 1 2 0 x x x      b]

9 9 6 x x x x      

2 2 2

3 2 4 3 2 5 4 x x x x x x        

Bài 4.140: Cho bất phương trình:

 

2 2

9 4

9 9

m x

x x x x



 

   

a] Giải bất phương trình với 28 m  .

b] Tìm m để bất phương trình [1] có nghiệm.

Bài 4.141: Giải các bất phương trình sau:

2 2

2 4 3 6 2 x x x x      b] 2 1 5 3 x x x     

 

1 2 1

x x





  

2 1 2

x x x x x        

Bài 4.142: Tìm m để bất phương trình

2 2

[ 1][ ] 0 x x x x m      có tập nghiệm là 

CHƯƠNG V. THỐNG KÊ

§1. NHỮNG KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

§2. TRÌNH BÀY MỘT MẪU SỐ LIỆU

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1.Khái niệm về thống kê

Thống kê là khoa học về các phương pháp thu thập, tổ chức, trình bày, phân tích và xử lý số liệu.

2. Mẫu số liệu

 Dấu hiệu là một vấn đề hay hiện tượng nào đó mà người điều tra quan tâm tìm hiểu. Mỗi đối tượng

điều tra gọi là một đơn vị điều tra. Mỗi đơn vị điều tra có một số liệu, số liệu đó gọi là giá trị của dấu hiệu

trên đơn vị điều tra đó.

 Một tập con hữu hạn các đơn vị điều tra được gọi là một mẫu. Số phần tử của một mẫu được gọi là

kích thước mẫu. Các giá trị của dấu hiệu thu được trên mẫu được gọi là một mẫu số liệu [mỗi giá trị như

thế còn gọi là một số liệu của mẫu].

 Nếu thực hiện điều tra trên trên mọi đơn vị điều tra thì đó là điều tra toàn bộ. Nếu chỉ điều tra trên

một mẫu thì đó là điều tra mẫu.

3. Bảng phân bố tần số - tần suất. Bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp.

Tần số của giá trị x i là số lần lặp lại của giá trị x i trong mẫu số liệu.

Tần suất f i của giá trị x i là tỷ số giữa tần số n i và kích thước mẫu N hay .



Người ta thường viết tần suất dưới dạng phần trăm.

 Bảng phân bố tần số [gọi tắt là bảng tần số] được trình bày ngang như sau:

Giá trị [x] x1 x2 x3 ... xm

Tần số [n] n1 n2 n3 ... nm





Trên hàng tần số, người ta dành một ô để ghi kích thước mẫu N hàng tổng các tần số [tức N =





 Bổ sung thêm một hàng tần suất vào bảng trên, ta được bảng phân bố tần số - tần suất [gọi tắt là bảng

tần số - tần suất].

Giá trị [x] x 1 x 2 x 3 ... x m

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 76

Tần số [n] n1 n2 n3 ... xm





Tần suất % f1 f2 f3 ... fm

Chú ý: Người ta cũng thể hiện bảng phân bố tần số - tần suất dưới dạng bảng dọc.

 Nếu kích thước mẫu số liệu khá lớn, thì người ta thường chia số liệu thành nhiều lớp dưới dạng ; a b

 

 

hay  ; a b





[thường có độ dài các lớp bằng nhau]. Khi đó tần số của lớp ; a b

 

 

là số giá trị ;

x a b

 



 

[hay

 ;

x a b







] xuất hiện trong lớp đó. Tần suất của lớp ; a b

 

 

là

 trong đó n là tần số của lớp ; a b

 

 

và N là kích thước mẫu.

- Bảng phân bố tần suất ghép lớp được xác định tương tự như trên.

- Giá trị đại diện của lớp ; a b

 

 

là

a b





4. Biểu đồ:

Các loại biểu đồ thường dùng là: biểu đồ hình cột, biểu đồ đường gấp khúc và biểu đồ hình quạt. Số liệu

vẽ biểu đồ được lấy từ các bảng tần số - tần suất.

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MẪU SỐ LIỆU.

Câu 1. Số học sinh giỏi của 30 lớp ở một trường THPT A được thống kê lại như sau.

0 2 1 0 0 3 0 0 1 1 0 1 6 6 0

1 5 2 4 5 1 0 1 2 4 0 3 3 1 0

a] Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu bao nhiêu?

b] Viết các giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên

.............................................................. ........................................................................

Câu 2. Để may đồng phục cho khối học sinh lớp năm của trường tiểu họcA . Người ta chọn ra một lớp

5A , thống kê chiều cao của 45 học sinh lớp 5A [tính bằng cm] được ghi lại như sau:

102 102 113 138 111 109 98 114 101

103 127 118 111 130 124 115 122 126

107 134 108 118 122 99 109 106 109

104 122 133 124 108 102 130 107 114

147 104 141 103 108 118 113 138 112

a] Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu bao nhiêu?

b] Viết các giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 77

.............................................................. ........................................................................

2. Bài tập luyện tập

Bài 5.0: Thống kê điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 10 được cho ở bảng sau:

Điểm thi 0 1 2 3

5 6 7 8 9 10

Tần số 3 2 1 1

7 4 8 9 3 1

Cho biết đơn vị điều tra và kích thước của mẫu số liệu trên?

Bài 5.1: Số con của 40 gia đình ở huyện A được thống kê lại như sau

2 4 3 2 0 2 2 3 4 5

2 2 5 2 1 2 2 2 3 2

5 2 7 3 4 2 2 2 3 2

3 5 2 1 2 4 4 3 4 3

a] Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu bao nhiêu?

b] Viết các giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên

Bài 5.2: Tiến hành một cuộc thăm dò về số cân nặng của mỗi học sinh nữ lớp 10 trường THPT A, người

điều tra chọn ngẫu nhiên 30 học sinh nữ lớp 10 và đề nghị các em cho biết số cân nặng của mình. Kết quả

thu được ghi lại trong bảng sau [đơn vị là kg]:

43 50 43 48 45 40 38 48 45 50 43 45 48 43 38

40 43 48 40 43 45 43 50 40 50 43 45 50 43 45

Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu là bao nhiêu ?

DẠNG TOÁN 2: TRÌNH BÀY MẤU SỐ LIỆU DƯỚI DẠNG BẢNG VÀ BIỂU ĐỒ.

Câu 3. Số lượng khách đến tham quan một điểm du lịch trong 12 tháng được thống kê như ở bảng sau:

Tháng 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Số khách 430 550 430 520 550 515 550 110 520 430 550 880

Lập bảng phân bố tần số - tần suất

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 78

.............................................................. ........................................................................

Câu 4. Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau:

Thành tích chạy 500m của học sinh lớp 10A ở trường THPT C . [ đơn vị: giây]

6,3 6,2 6,5 6,8 6,9 8,2 8,6 6,6 6,7 7,0 7,1

8,5 7,4 7,3 7,2 7,1 7,0 8,4 8,1 7,1 7,3 7,5

8,7 7,6 7,7 7,8 7,5 7,7 7,8 7,2 7,5 8,3 7,6

Lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp với các lớp:

[ 6,0 ; 6,5] ; [ 6,5 ; 7,0] ; [ 7,0 ; 7,5] ; [ 7,5 ; 8,0] ; [ 8,0 ; 8,5] ; [ 8,5 ; 9,0 ]

.............................................................. ........................................................................

Câu 5. Vẽ đường gấp khúc tần suất để mô tả bảng phân bố ở câu trên

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 79

Câu 6. Điểm thi của 32 học sinh trong kì thi Tiếng Anh [thang điểm 100] như sau:

68 79 65 85 52 81 55 65 49 42 68 66 56 57 65 72

69 60 50 63 74 88 78 95 41 87 61 72 59 47 90 74

Hãy trình bày số liệu trên dưới dạng bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp:

     40;50 ; 50;60 ; 60;70 ; 70;80 ; 80;90 ; 90;100

      

      

.............................................................. ........................................................................

Câu 7. Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình cột để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập ở câu trên

..............................................................

........................................................................

.............................................................. ........................................................................

Câu 8. Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình quạt để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập ở câu trên

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 80

.............................................................. ........................................................................

Câu 9. Để đánh giá kết quả của một đề tài sau khi áp dụng vào thực tiễn dạy học người ta thực nghiệm

bằng cách ra đề kiểm tra một tiết cho hai lớp[gần tương đương về trình độ kiến thức]. Trong đó lớp

12A

đã được dạy áp dụng đề tài[lớp thực nghiệm], lớp

12A [lớp đối chứng]. Kết quả điểm của học sinh hai

lớp như sau:

Lớp

Số

Số bài

Số bài kiểm tra đạt điểm Xi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ĐC 12A3 43 86 1 3 6 8 15 20 20 12 2 1

TN 12A4 46 92 0 1 4 5 16 21 23 15 3 3

Hãy lập bảng phân bố tần suất của hai lớp trên

.............................................................. ........................................................................

Câu 10. Hãy lập biểu đồ tần suất hình cột của hai lớp ở câu trên[trong cùng một biểu đồ]

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 81

.............................................................. ........................................................................

Câu 11. Hãy lập biểu đồ tần suất hình cột của hai lớp ở câu trên[trong cùng một biểu đồ]

.............................................................. ........................................................................

3. Bài tập luyện tập.

Bài 5.3: Điểm kiểm tra của 2 nhóm học sinh lớp 10 được cho như sau:

Nhóm 1: [9 học sinh]1, 2, 3, 5, 6, 6, 7, 8, 9

Nhóm 2: [11 học sinh] 1, 3, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 10

a] Hãy lập các bảng phân bố tần số và tuần suất ghép lớp với các lớp [1, 4]; [5, 6]; [7, 8]; [9, 10] của 2

nhóm.

b] Vẽ biểu đồ tần suất hình cột của 2 nhóm.

Bài 5.4: Sau một tháng gieo trồng một giống hoa, người ta thu được số liệu sau về chiều cao [đơn vị là

milimét] của các cây hoa được trồng:

Nhóm Chiều cao Số cây đạt được

1 Từ 100 đến 199 20

2 Từ 200 đến 299 75

3 Từ 300 đến 399 70

4 Từ 400 đến 499 25

5 Từ 500 đến 599 10

a] Lập bảng phân bố tần suất ghép lớp của mẫu số liệu trên.

b] Vẽ biểu đồ tần suất hình cột.

c] Vẽ đường gấp khúc tần suất

Bài 5.5: Chiều cao của 40 vận động viên bóng chuyền được cho trong bảng sau:

Lớp chiều cao [cm] Tần số

[ 168 ; 172]

[ 172 ; 176]

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 82

[ 176 ; 180]

[ 180 ; 184]

[ 184 ; 188]

[ 188 ; 192 ]

Cộng 40

a] Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp ?

b] Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình cột để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập ở câu a].

c] Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình quạt để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập ở câu a].

Bài 5.6: Thống kê điểm thi tốt nghiệp môn Toán của 926 em học sinh Trường THPT A cho ta kết quả

sau đây:

Điểm bài thi [x] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tần số [n] 17 38 ... 124 176 183 119 ... 50 25

Tần suất % ... ... 12,10 ... ... ... 8,63 8,86

a] Chuyển bảng trên thành dạng cột và điền tiếp vào các ô còn trống.

b] Vẽ biểu đồ hình cột tần số.

c] Vẽ biểu đồ hình quạt tần suất.

Bài 5.7: Kết quả làm bài kiểm tra của học sinh lớp hai lớp gồm lớp thực nghiệm [TN] và học sinh lớp

đối chứng [ĐC] được thể hiện thông qua Bảng thống kê sau đây:

Lớp

Số

Số bài kiểm tra đạt điểm tương ứng Điểm

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 C1 46

0 1 2 6 10 12 8 7 0 0

6.3

10 C2 46

0 0 0 2 4 6 12 10 8 4

7.4

a] Hãy lập bảng phân bố tần suất của mẫu số liệu trên[trong một bảng]

b] Vẽ biểu đồ tần suất [trong một biểu đồ]

§3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU SỐ LIỆU

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. Số trung bình

 Với mẫu số liệu kích thước N là  

1 2

, ,...,

x x x :

1 1 2

...

i N

x x x

N N



  

 



 Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số:

1 1 1 2 2

...

i i

i k k

n x

n x n x n x

N N



  

 



 Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số ghép lớp:

1 1 1 2 2

...

i i

i k k

n c

n c n c n c

N N



  

 



[ci là giá trị đại diện của lớp thứ i]

2. Số trung vị

Giả sử ta có một mẫu gồm N số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm [hoặc không tăng]. Khi đó số

trung vị Me là:

– Số đứng giữa nếu N lẻ;

– Trung bình cộng của hai số đứng giữa [số thứ

và 1

 ] nếu N chẵn.

3. Mốt

Mốt của một bảng phân bố tần số là giá trị có tần số lớn nhất và được kí hiệu là

M .

Chú ý: – Số trung bình của mẫu số liệu được dùng làm đại diện cho các số liệu của mẫu.

– Nếu các số liệu trong mẫu có sự chênh lệch quá lớn thì dùng số trung vị làm đại diện cho các số liệu

của mẫu.

– Nếu quan tâm đến giá trị có tần số lớn nhất thì dùng mốt làm đại diện. Một mẫu số liệu có thể có nhiều

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 83

mốt.

4. Phương sai và độ lệch chuẩn

Để đo mức độ chênh lệch [độ phân tán] giữa các giá trị của mẫu số liệu so với sốtrung bình ta dùng

phương sai

s và độ lệch chuẩn

s s  .

 Với mẫu số liệu kích thước N là  

1 2

, ,...,

x x x :

2 2 2

1 1 1

2 2

1 1 1

[ ]

N N N

i i i

s x x x x

N N N

x x

  

 

 

     



 

 

 

  

 Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số, tần suất:

2 2 2

1 1 1

2 2

1 1 1

[ ]

k k k

i i i i i i

i i i

k k k

i i i i i i

i i i

s n x x n x n x

N N N

f x x f x f x

  

 

 

     



 

 

 

 

     



 

 

  

 Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp:

2 2 2

1 1 1

2 2

1 1 1

[ ]

k k k

i i i i i i

i i i

k k k

i i i i i i

i i i

s n c x n c n c

N N N

f c x f c f c

  

 

 

     



 

 

 

 

     



 

 

  

[ci, ni, fi là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ I;

N là số các số liệu thống kê N =

1 2

...

n n n    ]

Chú ý: Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì độ phân tán [so với số trung bình] của các số liệu thống

kê càng lớn.

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN: XÁC ĐỊNH CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU SỐ LIỆU.

Câu 1. Cho các số liệu thống kê về sản lượng chè thu được trong 1năm [ kg/sào] của 20 hộ gia đình

111 112 112 113 114 114 115 114 115 116

112 113 113 114 115 114 116 117 113 115

a] Lập bảng phân bố tần số - tần suất

b] Tìm số trung bình, trung vị, mốt

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 84

Câu 2. Để khảo sát kết quả thi tuyển sinh môn Toán trong kì thi tuyển sinh đại học năm vừa qua của

trường A, người điều tra chọn một mẫu gồm 100 học sinh tham gia kì thi tuyển sinh đó. Điểm môn Toán

[thang điểm 10] của các học sinh này được cho ở bảng phân bố tần số sau đây.

a] Tìm mốt, số trung vị.

b] Tìm số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn [chính xác đến hàng phần trăm].

.............................................................. ........................................................................

Câu 3. Tiền lãi [nghìn đồng] trong 30 ngày được khảo sát ở một quầy bán báo.

81 37 74 65 31 63 58 82 67 77 63 46 30 53 73

51 44 52 92 93 53 85 77 47 42 57 57 85 55 64

a] Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất theo các lớp như sau:

[29.5; 40.5], [40.5; 51.5], [51.5; 62.5], [62.5; 73.5], [73.5; 84.5], [84.5; 95.5]

b] Tính số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn ?

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 85

Câu 4. Cho mẫu số liệu gồm bốn số tự nhiên khác nhau và khác 0, biết số trung bình là 6 và số trung vị là

5. Tìm các giá trị của mẫu số liệu đó sao cho hiệu của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu

đạt giá trị nhỏ nhất.

.............................................................. ........................................................................

3. Bài tập luyện tập.

Bài 5.8: Đo chiều cao [cm] của 40 học sinh nam ở một trường THPT, người ta thu được mẫu số liệu

176 167 165 164 144 176 162 175 149 144

176 166 166 163 156 170 161 176 148 143

175 174 175 146 157 170 165 176 152 142

163 173 175 147 160 170 169 176 168 141

a] Lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp theo chiều cao của học sinh với các lớp: [141;146],

[147;152], …, [171;176].

b] Dựa vào bảng phân bố tần số ghép lớp trên, tính chiều cao trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn

của mẫu số liệu đã cho.

Bài 5.9: Có 100 học sinh tham dự kỳ thi học sinh giỏi môn toán, kết quả được cho trong bảng sau: [thang

điểm là 20]

Điểm 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Tần số 1 1 3 5 8 13 19 24 14 10 2 N=100

a] Tính số trung bình và số trung vị.

b] Tính phương sai và độ lệch chuẩn.

Bài 5.10: Có tài liệu về tuổi nghề của công nhân hai tổ trong một xí nghiệp cơ khí như sau:

Tổ I225799910101112

Tổ II2344455778

Trong mỗi tổ, tính tuổi nghề bình quân, số mốt và số trung vị?

Bài 5.11: Thống kê điểm kiểm tra toán của lớp 10C, giáo viên bộ môn thu được số liệu:

Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tần số 1 1 1 5 6 7 11 5 4 2 2 N = 45

Tính : Số trung bình, số trung vị, phương sai và độ lệch chuẩn [chính xác đến hàng phần chục]

Bài 5.12: Để được cấp chứng chỉ A- Anh văn của một trung tâm ngoại ngữ, học viên phải trải qua 6 lần

kiểm tra trắc nghiệm, thang điểm mỗi lần kiểm tra là 100, và phải đạt điểm trung bình từ 70 điểm trở

lên.Qua 5 lần thi Minh đạt điểm trung bình là 64,5 điểm. Hỏi trong lần kiểm tra cuối cùng Minh phải đạt ít

nhất là bao nhiêu điểm để được cấp chứng chỉ?

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 86

Bài 5.13: Cho hai bảng phân bố tần số mô tả kết quả điểm thi môn Toán của hai lớp 10A và 10B của

một trường[Hai lớp làm cùng một đề] như sau:

Bảng 1:Điểm thi của lớp 10A

Điểm 1 3 4 5 6 7 8

Tần số 1 3 4 8 10 3 1 N=30

Bảng 2:Điểm thi của lớp 10B

Điểm 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Tần số 1 2 3 4 6 7 3 3 1 N=30

a] Tính phương sai của từng bảng.

b] Nhận xét lớp nào có điểm thi môn Toán đồng đều hơn,vì sao?

Bài 5.14: Người ta đã thống kê số gia cầm bị tiêu hủy trong vùng dịch của 6 xã A,B,...,F như sau [đơn

vị: nghìn con]:

Xã A B C D E F

Số lượng gia cầm bị

tiêu hủy

12 27 22 15 45 5

Tính số trung vị, số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn [chính xác đến hàng trăm] của bảng số liệu

thống kê trên

Bài 5.15: Tiến hành một cuộc thăm dò về số cân nặng của mỗi học sinh nữ lớp 10 trường THPT A,

người điều tra chọn ngẫu nhiên 30 học sinh nữ lớp 10 và đề nghị các em cho biết số cân nặng của mình.

Kết quả thu được ghi lại trong bảng sau [đơn vị là kg]:

43 50 43 48 45 40 38 48 45 50 43 45 48 43 38

40 43 48 40 43 45 43 50 40 50 43 45 50 43 45

a] Lập bảng phân bố tần số và tần suất [chính xác đến hàng phần trăm].

b] Tính số trung bình ; số trung vị và mốt.

Bài 5.16:Điểm kiểm tra môn toán của hai học sinh An và Bình được ghi lại như sau:

An 9 8 4 10 3 10 9 7

Bình 6 7 9 5 7 8 9 9

a] Tính điểm trung bình của mỗi học sinh.

b] Tính phương sai và độ lệch chuẩn về điểm của mỗi học sinh [chính xác đến hàng phần trăm].

c] Học sinh nào có kết quả ổn định hơn? Vì sao ?

ÔN TẬP CHƯƠNG V

Bài 5.17: Điểm kiểm tra cuối năm môn Toán của lớp 10A ở một trường THPT như sau:

3 9 8 9 8 4 8 9 5 8

5 6 7 3 6 7 6 7 6 5

8 7 5 4 7 3 8 9 4 8

4 6 7 6 7 5 8 7 5 4

a] Đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu là bao nhiêu?

b] Lập bảng phân bố tần số - tần suất.

Bài 5.18: Điều tra về thu nhập của công nhân xí nghiệp X [đơn vị: nghìn đồng/ tháng], người ta ghi được

bảng tần số ghép lớp sau đây:

Lớp Tần số

[800; 890]

[900; 990]

[1000; 1090]

[1100; 1190]

[1200; 1290]

[1300; 1390]

[1400; 1490]

Tính kích thước mẫu và lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp.

Bài 5.19: Cân lần lượt 40 quả cam [đơn vị gram] ta được kết quả sau [mẫu số liệu]

Hãy lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp gồm [85; 86], [87; 88], [89; 90], [91; 92], [93; 94]?.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 87

Bài 5.20: Một lần kiểm tra toán của một lớp gồm 55 học sinh, thống kê điểm số như sau:

a] Hãy lập bảng phân bố tần số-tần suất ghép lớp gồm 5 lớp [1;2], [3;4], [5;6], [7;8], [9;10]

b] Vẽ biểu đồ tần suất hình cột, đường gấp khúc tần suất, biểu đồ tần suất hình quạt.

Bài 5.21: Điểm kiểm tra cuối học kỳ môn Toán của hai tổ học sinh lớp 10A như sau:

a] Tính điểm trung bình của mỗi tổ.

b] Tính số trung vị và mốt của từng tổ.

Bài 5.22: Thống kê tuổi thọ của các bóng đèn do một nhà máy sản xuất ta có bảng số liệu sau:

Tuổi thọ [giờ] Số bóng Tuổi thọ [giờ] Số bóng

[1200; 1300]

[1300; 1400]

[1400; 1500]

[1500; 1600]

[1600; 1700]

[1700; 1800]

[1800; 1900]

[1900; 2000]

a] Tính tuổi thọ trung bình của một bóng đèn.

b] Tính phương sai và độ lệch chuẩn.

Bài 5.23: Tại một cửa hàng bán hoa quả, người ta kiểm tra 65 thùng trái cây thì thấy số lượng quả bị

hỏng trong các thùng là:

a] Lậpbảng phân bố tần số - tần suất.

b] Tìm số trung vị và mốt. Nêu ý nghĩa của chúng.

c] Sử dụng máy tính bỏ túi hãy tìm số quả bị hỏng trung bình trong một thùng. Tính phương sai và độ

lệch chuẩn [chính xác đến hàng phần trăm].

d] Lập bảng phân bố tần số ghép lớp gồm năm lớp, mỗi lớp là một đoạn có độ dài bằng 1.

Tính giá trị đại diện của mỗi lớp.

e] Tính số trung bình và độ lệch chuẩn theo bảng phân bố tần số ghép lớp.

Bài 5.24: Nghiên cứu cân nặng của trẻ sơ sinh thuộc nhóm có bố không hút thuốc lá và nhóm có bố

nghiện thuốc lá, ta có kết quả sau [đơn vị: kg]:

Nhóm trẻ có bố không hút thuốc lá:

Nhóm trẻ có bố nghiện hút thuốc lá:

Nhóm trẻ nào có cân nặng trung bình lớn hơn ?

Bài 5.25: Hãy thống kê điểm kiểm tra môn Toán gần nhất của các học sinh trong từng tổ của lớp. Tính

điểm trung bình và độ lệch chuẩn của mỗi tổ. Tổ nào có điểm trung bình cao nhất? Học sinh của tổ nào học

đều nhất?

Bài 5.26: Một nhà nghiên cứu ghi lại tuổi của 30 bệnh nhân. Kết quả thu được mẫu số liệu như sau:

a] Lập bảng phân bố tần số.

b] Tính số trung bình và độ lệch chuẩn.

c] Tính số trung vị và mốt.

d] Vẽ biểu đồ tần số hình cột và đường gấp khúc tần số.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 88

Bài 5.27: Một trăm bảy mươi chín củ khoai tây Chia thành chín lớp căn cứ trên khối lượng của chúng[

đơn vị: gam]. Ta có bảng phân bố tần số sau:

Lớp Khoảng Tần số

  19 ; 10

a] Tính Khối lượng trung bình của 1 củ khoai tây.

b] Tính độ lệch chuẩn và phương sai.

Bài 5.28: Một mẫu số liệu có kích thước mẫu N và có bảng phân bố tần suất như sau:

Giá trị[x] 0 1 2 3 4

Tần suất [ %] 12,5 6,25 25 50 6,25

Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của kích thước mẫu N.

Bài 5.29: Để so sánh, kiểm định chất lượng học tập của hai lớp 10A và 10B người ta ra một đề kiểm tra

một tiết. Thống kê kết quả làm bài kiểm tra của học sinh hai lớp như sau:

Bảng thống kê các điểm số [Xi] của bài kiểm tra

Lớp

Số

bài

Số bài kiểm tra đạt điểm Xi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10A 46

0 0 2 5 9 9 12 5 4 0

10B 47

0 0 0 3 6 10 13 8 5 2

a] Hãy lập bảng phân bố tần suất của số liệu thống kê trên

b] Vẽ biểu đồ phân bố tần suất của hai lớp

c] Vẽ đường gấp khúc tần suất của hai lớp

Bài 5.30: Thống kê điểm số của 46 học sinh lớp 10C trong kì thi học kì như sau

a] Lập bảng phân bố tần số

b] Lập bảng phân bố tần suất với các lớp sau:         1;2 , 3;4 , 5;6 , 7;8 và   9;10

c] Vẽ biểu đồ tần suất hình cộp ghép lớp.

CHƯƠNG VI. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

§1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn

a] Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1

rađian. Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian, gọi tắt là góc 1 rađian

1 rađian còn viết tắt là 1 rad.

Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung và

góc.

b] Độ dài cung tròn. Quan hệ giữa độ và rađian:

Cung tròn bán kính R có số đo

  0 2      , có số đo  

0 360 a a   và có độ dài là l thì:

180

l R R



   do đó

180

a 





TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 89

Đặc biệt:

180

1 , 1

180

ra d rad



 

 

  





 

 

2. Góc và cung lượng giác.

a] Đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều

chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều

quay của kim đồng hồ gọi là chiều dương[cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm].

b] Khái niệm góc, cung lượng giác và số đo của chúng.

Cho đường tròn định hướng tâm O và hai tia , O u Ov lần lượt cắt đường tròn tại U và V . Tia O m cắt

đường tròn tại M , tia O m chuyển động theo một chiều[âm hoặc dương] quay quanh O khi đó điểm M

cũng chuyển động theo một chiều trên đường tròn.

Tia O m chuyển động theo một chiều từ Ou đến trùng với tia O v thì ta nói tia O m đã quét được một

góc lượng giác tia đầu là Ou , tia cuối là O v . Kí hiệu   , O u O v

Điểm M chuyển động theo một từ điểm U đến trùng với điểm V thì ta nói điểm M đã vạch nên một

cung lượng giác điểm đầu U , điểm cuối V . Kí hiệu là

U V

Tia O m quay đúng một vòng theo chiều dương thì ta nói tia O m quay góc

360 [hay 2  ], quay hai

vòng thì ta nói nó quay góc

0 0

2.360 720  [hay 4  ], quay theo chiều âm một phần tư vòng ta nói nó quay

góc

90  [hay



 ], quay theo chiều âm ba vòng bốn phần bảy[

vòng] thì nói nó quay góc

.360



[hay



 ]…

Ta coi số đo của góc lượng giác  

, O u O v là số đo của cung lượng giác

U V

c] Hệ thức Sa-lơ.

Với ba tia , , O u O v O w tùy ý ta có:

Sđ   , O u O v  Sđ   , Ov O w  Sđ

    , 2 O u O w k k Z   

Sđ   , O u O v  Sđ   , Ou O w  Sđ

    , 2 Ow O v k k Z   

Với ba điểm tùy ý , , U V W trên đường tròn định hướng ta có:

Sđ

UV  Sđ

V W  Sđ  

2 UW k k Z   

Sđ

U V  Sđ

U W  Sđ  

2 W V k k Z   

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN ĐẾN CUNG VÀ GÓC LƯỢNG

GIÁC.

Câu 1. Đổi số đo của các góc sau ra rađian:

0 0 0

72 ,600 , 37 45'30''  .

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 90

.............................................................. ........................................................................

Câu 2. Đổi số đo của các góc sau ra độ:

5 3

, , 4

18 5

 

 .

.............................................................. ........................................................................

Câu 3. Một đường tròn có bán kính 36 m . Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là



51 c]

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 91

.............................................................. ........................................................................

Câu 4. Cho hình vuông

0 1 2 4

A A A A nội tiếp đường tròn tâm O [các đỉnh được sắp xếp theo chiều ngược

chiều quay của kim đồng hồ]. Tính số đo của các cung lượng giác

0 i

A A ,

i j

A A [ , 0,1,2,3,4, i j i j   ].

.............................................................. ........................................................................

Câu 5. Tìm số đo  của góc lượng giác   , O u O v với 0 2     , biết một góc lượng giác cùng tia

đầu, tia cuối với góc đó có số đo là



.............................................................. ........................................................................

Câu 6. Tìm số đo  của góc lượng giác   , O u O v với 0 2     , biết một góc lượng giác cùng tia

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 92

đầu, tia cuối với góc đó có số đo là

291983





.............................................................. ........................................................................

Câu 7. Tìm số đo  của góc lượng giác   , O u O v với 0 2     , biết một góc lượng giác cùng tia

đầu, tia cuối với góc đó có số đo là 30

.............................................................. ........................................................................

Câu 8. Cho góc lượng giác   , O u O v có số đo



 . Trong các số

29 22 6 41

; ; ;

7 7 7 7

  

  , những số

nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho?

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 93

.............................................................. ........................................................................

Câu 9. Cho sđ

 

, Ou O v   và sđ

 

', ' O u Ov   . Chứng minh rằng hai góc hình học , ' ' u Ov u O v

bằng nhau khi và chỉ khi hoặc 2 k      hoặc 2 k      với k Z  .

.............................................................. ........................................................................

3. Bài tập luyện tập.

Bài 6.0: a] Đổi số đo của các góc sau ra rađian:

0 0 0

20 , 40 25', 27  .[ chính xác đến 0,001]

b] Đổi số đo của các góc sau ra độ:

, , 5

17 7

 

  .

Bài 6.1: Hai góc lượng giác có số đo



và

m 

[ m là số nguyên] có thể cùng tia đầu, tia cuối được

không?

Bài 6.2: Một đường tròn có bán kính 25 m . Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là



49 c]

Bài 6.3: Tìm số đo

a của góc lượng giác  

, O u O v với 0 360 a   , biết một góc lượng giác cùng

tia đầu, tia cuối với góc đó có số đo là:

395 b]

1052  c]  

20 

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 94

Bài 6.4: Cho lục giác đều

0 1 2 4 5 6

A A A A A A nội tiếp đường tròn tâm O [các đỉnh được sắp xếp theo chiều

ngược chiều quay của kim đồng hồ]. Tính số đo của các cung lượng giác

0 i

A A ,

i j

A A [

, 0,1,2,3,4,5, i j i j   ].

Bài 6.5: Trên đường tròn lượng giác gốc A . Cho điểm , M N sao cho sđ

A M



 , sđ



  . Các

điểm ', ' M N lần lượt là các điểm đối xứng của , M N qua tâm đường tròn. Tìm số đo của cung

þ þ

', ' A M A N

và

' ' M N .

§ 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC [CUNG] LƯỢNG GIÁC

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. Giá trị lượng giác của góc[cung] lượng giác.

a] Đường tròn lượng giác: Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị, định hướng và trên đó chọn

điểm A làm gốc.

b] Tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác.

Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho

 

, O A OM   gọi là điểm xác định bởi số [hay bởi

cung , hay bởi góc ]. Điểm M còn được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung[góc]

lượng giác có số đo .

Nhận xét: Ứng với mỗi số thực  có một điểm nằm trên đường tròn lượng[điểm xác định bởi số đó]

tương tự như trên trục số. Tuy nhiên, mỗi điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số thực. Các số thực

có dạng là 2 , k k Z     .

d] Giá trị lượng giác sin, côsin, tang và côtang: Cho hệ trục tọa độ gắn với đường tròn lượng giác.

Với mỗi góc lượng giác   , O u O v có số đo , xác định điểm   ; M x y trên đường tròn lượng giác sao cho

sđ... Khi đó ta định nghĩa

cos , sin x y    

sin

tan

cos 2

 

  



 

 

   





 

 

 

cos

cot

sin



  



 

Ý nghĩa hình học: Gọi , K H lần lượt là hình chiếu của M lên trục , O x O y . Vẽ trục số A t gốc A cùng

hướng với trục O y và vẽ trục số B s gốc B cùng hướng với trục O x , gọi , T S lần lượt là giao điểm của

đường thẳng O M cắt với các trục sô , A t B s . Khi đó ta có:

sin , cos ,tan ,cot O H O K AT B S        

e] Tính chất:

sin ,cos   xác định với mọi giá trị của  và 1 sin 1, 1 cos 1         .

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 95

tan  được xác định khi



    , cot  xác định khi k   

    sin sin 2 ,cos cos 2 k k          

    tan tan ,cot cot k k          

f] Dấu của các giá trị lượng giác:

Dấu của các giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm trên đường tròn lượng giác.

Bảng xét dấu

Phần tư

Giá trị lượng giác

I II III IV

cos  + – – +

sin  + + – –

tan  + – + –

cot  + – + –

g] Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.

Góc 



2 

120

135

180

270

360

sin 

0 –1 0

cos 



–1 0 1

tan 

3 

–1 0 || 0

cot 



–1 || 0 ||

2. Các hệ thức lượng giác cơ bản

2 2

1] sin cos 1

2] 1 tan [ ]

2 cos

3] 1 cot [ ]

sin

4]tan .cot 1 [ ]

 



  



  





  

 

   

  

 

3. Giá trị lượng giác của góc[cung] có liên quan đặc biệt.

Góc đối nhau [  và   ] Góc bù nhau[  và    ] Góc phụ nhau[  và



  ]

cos[ ] cos     sin[ ] sin     

sin cos



 

 

 

  





 

 

sin[ ] sin      cos[ ] cos      

cos sin



 

 

 

  





 

 

tan[ ] tan      tan[ ] tan      

tan cot



 

 

 

  





 

 

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 96

cot[ ] cot      cot[ ] cot      

cot tan



 

 

 

  





 

 

Góc hơn kém  [  và    ] Góc hơn kém



[  và



 

]

sin[ ] sin      



 

 

 

   





 

 

sin cos

cos[ ] cos      



 

 

 

  





 

 

 cos sin

tan[ ] tan     



 

 

 

  





 

 

 tan cot

cot[ ] cot     



 

 

 

  





 

 

 cot tan

Chú ý: Để nhớ nhanh các công thức trên ta nhớ câu: " cos đối sin bù phụ chéo hơn kém  tang côtang,

khác



chéo sin xuôi cos ngược".

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: BIỂU DIỄN GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC.

Câu 1. Biểu diễn các góc[cung] lượng giác có số đo sau trên một đường tròn lượng giác:



 c]

120 d]

765 

.............................................................. ........................................................................

Câu 2. Trên đường tròn lượng giác gốc A . Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau [với k là số

nguyên tùy ý].

x k   ;

x k



   ;

x k



   

Các góc lượng giác trên có thể viết dưới dạng công thức duy nhất nào?

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 97

.............................................................. ........................................................................

3. Bài tập luyện tập.

Bài 6.6: Biểu diễn các góc[cung] lượng giác trên đường tròn lượng giác có số đo sau:



 c]

45  d]

765

Bài 6.7: Trên đường tròn lượng giác gốc A . Biểu diễn các góc lượng giác có số đo là

4 2

x k

 

  [

k là số nguyên tùy ý].

Bài 6.8: Trên đường tròn lượng giác gốc A . Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau [với k là số

nguyên tùy ý].

x k   ;

x k



  

Các góc lượng giác trên có thể viết dưới dạng công thức duy nhất nào?

DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA GÓC ĐẶC BIỆT, GÓC LIÊN

QUAN ĐẶC BIỆT VÀ DẤU CỦA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC.

Câu 3. Tính giá trị biểu thức

7 5 7

sin cos9 tan[ ] cot

6 4 2

  

     

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 98

Câu 4. Tính giá trị biểu thức

1 2sin2550 cos[ 188 ]

tan368 2cos638 cos98

  

 

   

.............................................................. ........................................................................

Câu 5. Tính giá trị biểu thức

2 2 2 2

sin 25 sin 45 sin 60 sin 65 C        

.............................................................. ........................................................................

Câu 6. Tính giá trị biểu thức

3 5

tan .tan .tan

8 8 8

  



.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 99

.............................................................. ........................................................................

Câu 7. Cho



    . Xác định dấu của các biểu thức sau:

a] sin





 

 

 





 

 

tan





 

 

 





 

 

.............................................................. ........................................................................

Câu 8. Cho



    . Xác định dấu của các biểu thức sau:

a]   cos .tan



  

 

 

   





 

 

b]  

sin .cot



  

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 100

.............................................................. ........................................................................

Câu 9. Chứng minh đẳng thức

4 2 4

cos 2sin 1 sin x x x   

.............................................................. ........................................................................

Câu 10. Chứng minh đẳng thức

3 2

sin cos

cot cot cot 1

sin

x x

x x x



   

.............................................................. ........................................................................

Câu 11. Chứng minh đẳng thức

2 2 2 2

cot cot cos cos

cot .cot cos .cos

x y x y

 



.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 101

.............................................................. ........................................................................

Câu 12. Chứng minh đẳng thức

4 2 4 2

sin 4cos cos 4sin 3tan tan

3 6

x x x x x x

 

   

   

       

 

 

   

   

.............................................................. ........................................................................

Câu 13. Cho tam giác AB C . Chứng minh rằng

3 3

sin cos

2 2

tan .cot[ ]

2 2

cos sin

2 2

B B

A B C

A B C A B C

  

   

   

   

 

 

 

   

   

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 102

.............................................................. ........................................................................

Câu 14. Đơn giản biểu thức

3 3

cos[5 ] sin tan cot[3 ]

2 2

A x x x x

 

   

   

         

 

   

   

.............................................................. ........................................................................

Câu 15. Đơn giản biểu thức

sin[900 ] cos[450 ] cot[1080 ] tan[630 ]

cos[450 ] sin[ 630 ] tan[810 ] tan[810 ]

x x x x

          



          

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 103

Câu 16. Đơn giản biểu thức

 

1 1 1

2 .

sin 2013 1 cos 1 cos

x x x 

  

  

với

2 x    

.............................................................. ........................................................................

Câu 17. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x .

6 6

4 4

sin cos 2

sin cos 1

x x

 



 

.............................................................. ........................................................................

Câu 18. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x .

   

1 cot 2 2cot

1 cot tan 1 tan 1

x x

x x x

 

 

  

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 104

.............................................................. ........................................................................

Câu 19. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x .

4 2 4 4 2 4

sin 6cos 3cos cos 6sin 3sin C x x x x x x      

.............................................................. ........................................................................

3. Bài tập luyên tập.

Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa.

Bài 6.15: Rút gọn các biểu thức sau:

a] cos cos[2 ] cos[3 ]

A x x x



 

 

 

      



 

 

7 3

2cos 3cos[ ] 5sin cot

2 2

B x x x x

 



   

   

        

 

   

   

     

0 0 0 0

2sin 90 sin[900 ] sin 270 cos 90 C x x x x        

sin[5 ]cos[ ]tan[10 ]

cos[5 ]sin[ ]tan[7 ]

x x x



 

  

  



  

Bài 6.16: Chứng minh các đẳng thức sau[giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa]

2 2 2 2

tan sin tan .sin x x x x  

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 105

3 3

2 2

tan 1 cot

tan cot

sin cos sin cos

x x

x x x x

   

2 2 6 2 2

sin tan tan [cos cot ] x x x x x   

2 2 2 2

tan tan sin sin

tan .tan sin .sin

a b a b

 



Bài 6.17: Đơn giản các biểu thức sau

a]    

2 0 2 0

tan 180 cos 180

cos

x x

    b]

2 2

cos sin

cos

cot tan

x x



3 3

sin cos

cos sin [sin cos ]

x x

x x x x



 

1 sin 1 sin

x x

 



 

1 1 1 1

1 cos 1 cos 1 sin 1 sin x x x x

 

   

[0 x    ].

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

[ ][ ]

sin cos tan cot sin cos x x x x x x

    .

Bài 6.18: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào .

2 2

[tan cot ] [tan cot ]       

6 6 4 4

2[sin cos ] 3[sin cos ]       

 

2 0 8 8 0 6 6 6 0 2

cot 30 [sin cos ] 4cos60 [cos sin ] sin [90 ] tan 1            

4 4 2 2

[sin cos 1][tan cot 2]        

Bài 6.19: Cho tam giác AB C . Hãy rút gọn

2 0 2

1080

cos 540 cos tan tan

2 2 2 2

B A C B A C

 

  

 

    





 

 

 

0 0

sin 720 cos 900

cos

2 2

.tan

sin

cos sin

2 2

B B

A C

B B

A C A C B

   

   

   

 

 

    

   

  

 

DẠNG TOÁN 4: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHI BIẾT MỘT

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC.

Câu 20. Tính giá trị lượng giác còn lại của góc  biết:

sin

  và

0 0

90 180    .

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 106

Câu 21. Tính giá trị lượng giác còn lại của góc  biết:

cos

   và



    .

.............................................................. ........................................................................

Câu 22. Tính giá trị lượng giác còn lại của góc  biết: tan 2 2    và 0    

.............................................................. ........................................................................

Câu 23. Tính giá trị lượng giác còn lại của góc  biết: cot 2    và

2 2

 

  

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 107

.............................................................. ........................................................................

Câu 24. Tính giá trị lượng giác còn lại của góc  biết

sin

  và tan cot 0    

.............................................................. ........................................................................

Câu 25. Cho

4 4

3sin cos

    . Tính

4 4

2sin cos A     .

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 108

Câu 26. Cho

cos

  . Tính

tan 3cot

tan cot

 







.............................................................. ........................................................................

Câu 27. Cho tan 3   . Tính

3 3

sin cos

sin 3cos 2sin

 

  





 

.............................................................. ........................................................................

Câu 28. Cho cot 5   . Tính

2 2

sin sin cos cos C       

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 109

.............................................................. ........................................................................

Câu 29. Biết sin cos x x m   . Tìm sin cos x x và

4 4

sin cos x x 

.............................................................. ........................................................................

Câu 30. Biết sin cos x x m   . Chứng minh rằng 2 m 

.............................................................. ........................................................................

3. Bài tập luyện tập.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 110

Bài 6.20: Tính các giá trị lượng giác còn lại, biết

sin

  với

0 0

0 90   

cos

  với 0    

c] tan 2   và 2     

d] cos 0,8   và tan cot 0    

Bài 6.21: a] Cho

cos

a  . Tính

cot 3tan

2cot tan

a a







b] Cho

sin

a  . Tính

3cot 2tan 1

cot tan

a a

 





c] Cho tan 2 a  . Tính

2sin 3cos

sin cos

a a







;

d] Cho cot 5 a  . Tính

2cos 5sin cos 1 D a a a   

Bài 6.22: Biết tan cot x x m   .

a] Tìm

2 2

tan cot x x  b]

6 6

4 4

tan cot

x x



c] Chứng minh 2 m 

Bài 6.23: Cho

sin cos

   . Tính

3 3

sin cos   

Bài 6.24: Cho tan cot 3 a a   . Tính giá trị các biểu thức sau:

2 2

tan cot A a a   b] tan cot B a a   c]

4 4

tan cot C a a  

Bài 6.25: Cho

4 4

3sin cos

x x   . Tính

4 4

sin 3cos A x x   .

§3. MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Công thức cộng:

sin[ ] sin .cos sin .cos ; sin[ ] sin .cos sin .cos

cos[ ] cos .cos sin .sin ; cos[ ] cos .cos sin .sin

tan tan tan tan

tan[ ] ; tan[ ]

1 tan .tan 1 tan .tan

a b a b b a a b a b b a

a b a b a b a b a b a b

a b a b

     

     

 

   

 

2. Công thức nhân đôi, hạ bậc:

a] Công thức nhân đôi.

sin2 2sin .cos     ;

2 2 2 2

cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin           

2tan

tan2

1 tan







b] Công thức hạ bậc.

1 cos2

sin

1 cos2

cos

1 cos2

tan

1 cos2

















3. Công thức biến đổi tích thành tổng.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 111

cos cos cos[ ] cos[ ]

sin sin cos[ ] cos[ ]

sin cos sin[ ] sin[ ]

a b a b a b

 

   

 

 

    

 

 

   

 

4. Công thức biển đổi tổng thành tích.

cos cos 2cos .cos

2 2

a b a b

a b

 

 

cos cos 2sin .sin

2 2

a b a b

a b

 

  

sin sin 2sin .cos

2 2

a b a b

a b

 

 

sin sin 2cos .sin

2 2

a b a b

a b

 

 

sin[ ]

tan tan

cos .cos

a b



 

sin[ ]

tan tan

cos .cos

a b



 

sin[ ]

cot cot

sin .sin

a b



 

sin[ ]

cot cot

sin .sin

b a

a b



 

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.

Câu 1. Không dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị lượng giác

cos795 , .

.............................................................. ........................................................................

Câu 2. Không dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị lượng giác

sin18 ,

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 112

.............................................................. ........................................................................

Câu 3. Không dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị lượng giác

tan ,



.............................................................. ........................................................................

Câu 4. Không dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị lượng giác

cot



.............................................................. ........................................................................

Câu 5. Không dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị lượng giác

0 0

sin22 30'cos202 30' A 

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 113

.............................................................. ........................................................................

Câu 6. Không dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị lượng giác

4sin 2cos

16 8

 

 

.............................................................. ........................................................................

Câu 7. Không dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị lượng giác

sin sin

5 15

cos cos

5 15

 







.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 114

.............................................................. ........................................................................

Câu 8. Không dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị lượng giác

5 7

sin sin sin

9 9 9

  

  

.............................................................. ........................................................................

Câu 9. Không dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị lượng giác

1 1

cos290

3 sin250

A  

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 115

Câu 10. Không dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị lượng giác

   

0 0

1 tan20 1 tan25 B   

.............................................................. ........................................................................

Câu 11. Không dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị lượng giác

0 0 0 0

tan9 tan27 tan 63 tan 81 C    

.............................................................. ........................................................................

Câu 12. Không dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị lượng giác

2 2

sin sin sin sin

9 9 9 9

   

  

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 116

.............................................................. ........................................................................

Câu 13. Không dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị lượng giác sin cos .cos .cos

32 32 16 8

   



.............................................................. ........................................................................

Câu 14. Không dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị lượng giác sin10 .sin 30 .sin 50 .sin 70

o o o o

B 

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 117

Câu 15. Không dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị lượng giác

cos cos

5 5

 

 

.............................................................. ........................................................................

Câu 16. Không dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị lượng giác

2 2 2

2 3

cos cos cos

7 7 7

  

  

.............................................................. ........................................................................

Câu 17. Cho ,   thoả mãn

sin sin

    và

cos cos

    . Tính  

cos    và

  sin    .

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 118

.............................................................. ........................................................................

3. Bài tập rèn luyện.

Bài 6.26: Tính các giá trị lượng giác sau

sin , sin , cot

8 16 12

  

Bài 6.27: Tính giá trị của biểu thức sau:

0 0 0 0 0

4sin45 cos12 cos3 sin54 sin36 A    b]

   

0 0

1 cot23 1 cot22 B   

5 7

cos cos cos

9 9 9

  

   d]

2sin 2 sin

5 20

2cos 2 sin

5 20

 







Bài 6.28: Tính:

a] Tính giá trị lượng giác của góc



4 4

cos sin

24 24

 



0 0

cos36 cos72  d]

0 0 0

sin10 sin50 sin70

Bài 6.29: Tính giá trị của các biểu thức sau:

2 0 2 0 0 0

cos 73 cos 47 cos73 cos 47 A    b]

0 0 0 0

sin6 sin 42 sin66 sin78 B 

4 5

cos cos cos

7 7 7

  

 d]

4sin70

sin10

D  

Bài 6.30: Cho ,   thoả mãn sin sin m     và cos cos n     , 0 m n  .

Tính

    cos , cos       và   sin    .

Bài 6.31: Tính giá trị của các biểu thức sau:

7 13 19 25

sin sin sin sin sin

30 30 30 30 30

    



b] cos24 cos48 cos84 cos12

o o o o

  

2 3

cos cos cos

7 7 7

  

 

Bài 6.32: Tính giá trị của biểu thức sau:

4 5

cos .cos .cos

7 7 7

  



0 0 0

cos10 .cos50 .cos70 B 

c] sin6 .sin 42 .sin66 .sin78

o o o o

C 

2 4 8 16 32

cos .cos .cos .cos .cos

31 31 31 31 31

    



e] sin5 .sin15 .sin25 .... sin75 .sin 85

o o o o o

F 

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 119

Bài 6.33: Tính

     

0 0 0

1 tan1 1 tan2 ... 1 tan 45 A    

Bài 6.34: Tính cos cos2 cos3 ...cos999 A      với

1999



 

DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU

KIỆN.

Câu 18. Cho

cos2

x   , với

4 2

 

  . Tính sin , cos , sin , cos 2

3 4

x x x x

 

   

   

   

 

 

   

   

.............................................................. ........................................................................

Câu 19. Cho

cos4 2 6sin     với



    . Tính tan2  .

.............................................................. ........................................................................

Câu 20. Cho

2 2 2 2

1 1 1 1

tan cot sin cos    

    . Tính cos4  .

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 120

.............................................................. ........................................................................

Câu 21. Cho sin cos cot



    với 0     . Tính

2013

tan

 

 



 







 

 

.............................................................. ........................................................................

Câu 22. Cho  

sin , tan 2tan

        . Tính

3 5

sin cos sin sin

8 8 12 12

   

   

       

       

         

   

   

       

       

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 121

.............................................................. ........................................................................

2. Bài tập luyện tập.

Bài 6.35: Cho

cos2

x  [với



   ]. Tính sin , cos , tan

x x x



 

 

 





 

 

Bài 6.36: Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:

a] sin[ ], cos[ ], tan[ ] a b a b a b    khi

8 5

sina , tan

17 12

b   và a, b là các góc nhọn.

12 3

cos sin , 2

3 13 2

k h i

 

   

 

 

     



 

 

tan sin ,

3 5 2

k hi

 

   

 

 

    



 

 

Bài 6.37: Cho     2cos cos cos         . Tính

2 2 2 2

1 1

2sin 3cos 2sin 3cos

   

 

 

Bài 6.38: a] Cho tan

  . Tính sin 2 cos2 A m n     .

b] Cho

 

cos

 







. Tính tan .tan B    .

c] Cho   tan m     và   tan n     . Tính tan2  .

Bài 6.39: Cho

sin cos

    và 0



   . Tính

2 2015

tan

  

DẠNG TOÁN 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ

CHỨNG MINH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO BIẾN.

Câu 23. Chứng minh rằng với mọi góc lượng giác  làm cho biểu thức xác định thì

4 4

3 cos4

sin cos

4 4



    

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 122

.............................................................. ........................................................................

Câu 24. Chứng minh rằng với mọi góc lượng giác  làm cho biểu thức xác định thì

6 6

5 3

sin cos cos4

8 8

     

.............................................................. ........................................................................

Câu 25. Chứng minh rằng với mọi góc lượng giác  làm cho biểu thức xác định thì

1 sin2

cot [ ]

1 sin2 4

 





 



.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 123

Câu 26. Cho 0 ,



      . Chứng minh rằng: 1 cos 1 cos 2sin

2 4

 

 

 

 

     





 

 

.............................................................. ........................................................................

Câu 27. Cho 0 ,



      . Chứng minh rằng:

1 cos 1 cos

tan

2 4

1 cos 1 cos

   

 

 

  

 

  





 

 

  

.............................................................. ........................................................................

Câu 28. Chứng minh rằng

2 2

sin[ ].sin[ ] sin sin          

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 124

.............................................................. ........................................................................

Câu 29. Chứng minh rằng cot cot 2

2 2

 

 với

  sin sin 3sin , 2 b k           

.............................................................. ........................................................................

Câu 30. Chứng minh rằng

 

sin sin cos

tan

cos sin sin

   

 

   

 

 

 

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 125

Câu 31. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x .

 

  

   

   

      

 

 

   

   

2 2 2

2 2

cos cos cos

3 3

.............................................................. ........................................................................

Câu 32. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x .

   

   

       

       

         

   

       

       

cos .cos cos .cos

3 4 6 4

.............................................................. ........................................................................

Câu 33. Đơn giản biểu thức sau:

cos 2cos 2 cos3

sin sin 2 sin 3

a a a

 



 

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 126

.............................................................. ........................................................................

Câu 34. Đơn giản biểu thức sau:

cos cos

3 3

cot cot

a a

     

  

   

   





.............................................................. ........................................................................

Câu 35. Đơn giản biểu thức sau: cos cos[ ] cos[ 2 ] ... cos[ ] [n N] C a a b a b a nb         

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 127

.............................................................. ........................................................................

Câu 36. Cho     sin 2cos a b a b    . Chứng minh rằng biểu thức

1 1

2 sin 2 2 sin 2

a b

 

 

không phụ thuộc vào , a b .

.............................................................. ........................................................................

Câu 37. Chứng minh rằng

sin 3 3sin 4sin 4sin .sin .sin

3 3

 

     

   

   

      

 

 

   

   

.............................................................. ........................................................................

Câu 38. Chứng minh rằng

3 3 1 3

sin 3sin ... 3 sin 3 sin sin .

3 4 3 3 3

n n

   





 

 

     



 

 

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 128

.............................................................. ........................................................................

3. Các bài tập luyện tập.

Bài 6.40: Chứng minh rằng

3 1 1

sin cos2 cos4

8 2 8

     

4 4 4 4

3 5 7 3

sin sin sin sin

16 16 16 16 2

   

   

Bài 6.41: Cho   sin 2sin ,

x x y x y k



      . Chứng minh

 

sin

tan

cos 2

x y

 



Bài 6.42: Chứng minh các hệ thức sau:

 

3 3

4 cos sin sin cos sin 4       

2sin[ ]

tan tan

cos[ ] cos[ ]

x y

x y x y



 

  

2 2

tan 2 tan

tan .tan3

1 tan 2 .tan

x x







Bài 6.43: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x :

4 2 2

4sin sin 2 4cos

4 2

A x x

  

   

 

 

với

3 

   x

4 2 2

4cos cos 2 4cos cos2 B x x x x   

2 2 2

cos cos cos

3 3

C x x x

     

    

   

   

Bài 6.44: Đơn giản biểu thức sau:

1 cos cos 2

sin 2 sin

 

 





1 1 1 1

cos

2 2 2 2

B     ] 0 [    

cos cos3 cos5 cos7

sin sin 3 sin 5 sin 7

a a a a

  



  

cos 2 cos 2

6 6

cos

2cos

a a

D a

     

  

   

   

 

Bài 6.45: Chứng minh các hệ thức sau:

a] Nếu 2tan tan[ ] a a b   thì sin sin .cos[ ] b a a b  

b] Nếu 2tan tan[ ] a a b   thì 3sin sin[2 ] b a b  

c] Nếu tan[ ].tan 3 a b b    thì cos[ 2 ] 2cos 0 a b a   

d] Nếu     3sin cos a b a b    thì  

8sin cos 2 cos 2 a b a b  

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 129

Bài 6.46: Chứng minh rằng

2 4 5 7 3

sin sin sin cos cos cos

9 9 9 18 18 18 8

     

 

Bài 6.47: Chứng minh rằng

sin2

cos

2sin

 .

sin

cos cos ... cos .

2 2 2

2 sin

x x x x



Bài 6.48: Chứng minh rằng: a]

cot cot

sin 2

  .

1 1

1 1 1

... cot cot2 [2 ]

sin sin2 2 sin2

n n



  

  

 



     

Bài 6.49: Chứng minh rằng a] tan cot 2cot2 x x x  

2 2

1 1 1 1

.tan .tan ... .tan .cot cot

2 2 2 2 2 2 2 2

n n n n

a a a a

a     

Bài 6.50: Chứng minh rằng nếu ,

x k Z



  thì

tan3

tan tan

tan 3 3

x x

 

   

   

    

 

 

   

   

Áp dụng tính tan6 tan54 tan66

o o o

A  .

Bài 6.51: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng

0 0

0 0 0 0 0 0

1 1 1

... cot1 cot

sin1 sin2 sin2 sin3 sin[ 1] sin

n n

    



Bài 6.52: Chứng minh rằng

0 0 0 0

2sin2 4 sin 4 ... 178 sin178 90cot1    

DẠNG TOÁN 4: BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ

NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.

Câu 39. Chứng minh rằng với 0



   thì

2cot 1 cos2    

.............................................................. ........................................................................

Câu 40. Chứng minh rằng với 0



   thì cot 1 cot2    

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 130

.............................................................. ........................................................................

Câu 41. Cho 0



   . Chứng minh rằng

1 1

sin cos 2

2cos 2sin

 

   

   

    

 

 

   

   

.............................................................. ........................................................................

Câu 42. Chứng minh rằng với 0     thì

     

2cos2 1 4sin 2sin 2 3 2cos2

2 4

 

  

 

 

      





 

 

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 131

.............................................................. ........................................................................

Câu 43. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức sin cos A x x  

.............................................................. ........................................................................

Câu 44. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức

4 4

sin cos B x x  

.............................................................. ........................................................................

Câu 45. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức 2 2sin cos2 A x x   

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 132

.............................................................. ........................................................................

3. Bài tập luyện tập.

Bài 6.53: Cho 0



  . Chứng minh rằng tan cot 2 x x  

Bài 6.54: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức

cos2 1 2sin B x x   

Bài 6.55: Chứng minh rằng   

cos [sin sin 2] 3 x x x

Bài 6.56: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 sin sin 2 P x x   .

Bài 6.57: Cho tam giác ABC . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sin sin sin

2 2 2

A B C

P  .

DẠNG TOÁN 5: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC.

Câu 46. Chứng minh trong mọi tam giác AB C ta đều có

sin sin sin 4cos cos cos

2 2 2

A B C

A B C   

.............................................................. ........................................................................

Câu 47. Chứng minh trong mọi tam giác AB C ta đều có

2 2 2

sin sin sin 2[1 cos cos cos ] A B C A B C    

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 133

.............................................................. ........................................................................

Câu 48. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có

sin 2 sin 2 sin 2 4 sin sin sin A B C A B C   

.............................................................. ........................................................................

Câu 49. Chứng minh trong mọi tam giác AB C không vuông ta đều có:

tan tan tan tan .tan .tan A B C A B C   

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 134

.............................................................. ........................................................................

Câu 50. Chứng minh trong mọi tam giác AB C không vuông ta đều có:

cot .cot cot .cot cot .cot 1 A B B C C A   

.............................................................. ........................................................................

Câu 51. Chứng minh trong mọi tam giác AB C ta đều có:

cos cos cos

A B C   

.............................................................. ........................................................................

Câu 52. Chứng minh trong mọi tam giác AB C ta đều có:

3 3

sin sin sin

A B C   

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 135

.............................................................. ........................................................................

Câu 53. Chứng minh tan tan tan 3 3 A B C  với ABC là tam giác nhọn.

.............................................................. ........................................................................

Câu 54. Chứng minh trong mọi tam giác AB C ta đều có:

sin sin sin cos cos cos

2 2 2

A B C

A B C     

.............................................................. ........................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 136

.............................................................. ........................................................................

Câu 55. Chứng minh trong mọi tam giác AB C ta đều có: cos cos cos sin sin sin

2 2 2

A B C

A B C 

.............................................................. ........................................................................

Câu 56. Chứng minh trong mọi tam giác AB C không vuông ta đều có:

tan tan tan cot cot cot

2 2 2

A B C

A B C     

.............................................................. ........................................................................

Bài 6.58: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng:

a] sin sin .cos sin .cos C A B B A  

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 137

sin

tan tan [ , 90 ]

cos .cos

A B A B

A B

  

cos cos

cot cot [ 90 ]

sin .cos sin .cos

C B

B C A

B A C A

   

d] cos .cos .cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

A B C A B C A B C A B C

  

2 2 2

sin sin sin 1 2sin sin sin

2 2 2 2 2 2

A B C A B C

   

Bài 6.59: Cho tam giác ABC . Chứng minh:

a]      tan tan tan 3 3, A B C A BC nhọn

b]     

2 2 2

tan tan tan 9, A B C A B C nhọn

c]     

6 6 6

tan tan tan 81, A B C A BC nhọn

2 2 2

tan tan tan 1

2 2 2

A B C

  

e] tan tan tan 3

2 2 2

A B C

  

Bài 6.70: Chứng minh rằng trong mọi tam giác AB C ta đều có

1 cos cos cos 3 sin sin sin A B C A B C  

Bài 6.71: Cho A B C  . Chứng minh rằng 2sin 3sin 4sin 5cos 3cos cos

2 2 2

A B C

A B C      .

Bài 6.72: Cho A B C  . Chứng minh rằng

2[cos cos ] 2 2cos 0 x B C x A x       .

Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Bài 6.73: Cho A B C  nhọn. Chứng minh bất đẳng thức sau:

[tan tan ] 4 2tan 0

B C x x x      . Đẳng thức xảy ra khi nào ?

ÔN TẬP CHƯƠNG VI

Bài 6.74: Cho sin  =

3 3

[ ]

5 2



     .Tính cos ,tan ,cot ,sin2  ,cos2  .

Bài 6.75: Không sử dụng máy tính hãy tính

tan 75 b]

tan15

2 2

sin sin 3 sin sin

9 18 9 18

   

  

   

2 0 2 0

4cos 9 3 4cos 27 3

tan9

 



Bài 6.76: Tính giá trị các biểu thức sau:

2 0 2 0 2 0 2 0

sin 1 sin 2 ... sin 89 sin 90 A     

2 0 2 0 2 0 2 0 0 0

sin 45 2sin 50 3cos 45 2sin 40 4 tan55 .tan 35 B     

2 2 2 2

3 9 11

cos cos ...... cos cos

12 12 12 12

   

     .

2 4 6 8

cos cos cos cos

5 5 5 5

   

   

3 5 7 9

cos cos cos cos cos

11 11 11 11 11

    

    

0 0 0 0 0

cos10 .cos20 .cos30 ...cos70 .cos80 F 

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 138

2 3 4 5 6 7

cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos

15 15 15 15 15 15 15

      



Bài 6.77: Rút gọn các biểu thức sau:

6 6 4 4 2

15 15

cos [5 ] sin [5 ] 2sin [12 ] sin [ ] 3cos [ ]

2 2

A x x x x x                .

0 0 0 0

2sin[790 ] cos[1260 ] tan[630 ].tan[1260 ] B x x x x       

Bài 6.78: Chứng minh các đẳng thức sau

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 2

[ ]

sin tan cos cot 1 sin cos sin cos x x x x x x x x

   



4 2 2

sin sin cos sin 0 x x x x    [ 2 x     ].

2 2

sin [0 ]

sin cot cos

x x

x x x

   

 

tan cos tan cos

[ ]

1 cot cos 1 cot cos

n n

x x x x

n Z

x x x x



 

 

 

  





 

   

Bài 6.79: Chứng minh đẳng thức:

a] 3 sin cos 2sin[ ]

x x x



   b] 3 cos sin 2cos[ ]

x x x



  

c] sin cos 2 sin

x x x

  

  

 

 

d] sin cos 2 sin

x x x

  

  

 

 

Bài 6.80: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào .

4 4

6 6 4

sin 3cos 1

sin cos 3cos 1

 

  

 

  

2 2 2 2 2 4 4

sin tan 2sin tan 3cos sin cos            

2 2

tan .tan tan .tan tan .tan

3 3 3 3

   

     

       

       

         

   

       

       

Bài 6.81: Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:

1 1

cos[ ].cos[ ] cos , cos

3 4

a b a b k h i a b    

b] tan tan , tan , tan a b a b  khi 0 , ,

2 4

a b a b

 

    và tan .tan 3 2 2 a b   .

Từ đó suy ra , a b .

Bài 6.82: Chứng minh rằng: a]

tan .tan2 tan2 2tan x x x x   .

2 2 1 2

2 1

tan .tan 2tan .tan ... 2 tan .tan tan 2 tan

2 2 2 2 2 2

n n

n n n

a a a a a a

a a



    

Bài 6.83: Chứng minh rằng a]

2 2

1 1 1

sin

4.cos 4.sin

2 2

x x x



 

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

...

sin

4.cos 4 .cos 4 .cos 4 .sin

2 2 2 2

n n

a a a a a

    

Bài 6.84: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng:

     

3 3 3

sin os sin os sin os 3sin sin sin A c B C B c C A C c A B A B C      

Bài 6.85: Gọi A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh rằng để tam giác ABC đều thì điều kiện

cần và đủ là:

2 2 2

cos cos cos 2 cos cos cos

2 2 2 4 2 2 2

A B C A B B C C A   

   

Bài 6.86: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là BC = a, CA = b, AB = c. Tính diện tích tam giác

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 139

ABC, biết rằng: sin [ .cos .cos ] 20 b C b C c B   .

Bài 6.87: Cho cos cos cos 0 x y z    và cos3 cos3 cos3 0 x y z    .

Chứng minh rằng: cos2 cos2 cos2 0 x y z  .

Bài 6.88: Cho cos cos cos 0 x y z    , sin sin sin 0 x y z    . Chứng minh rằng:

a] sin2 sin2 sin2 cos2 cos2 cos2 0 x y z x y z      

b]  

sin3 sin3 sin3

sin

x y z

 

   và  

cos3 cos3 cos3

cos

x y z

 

  

Bài 6.89: Cho

   

sin sin sin cos cos cos

sin cos

x y z x y z

   

 

   

Chứng minh rằng       cos cos cos x y y z z x a       .

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 140

CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

§1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng :

a. Định nghĩa : Cho đường thẳng  . Vectơ 0 n 

  

gọi là vectơ pháp tuyến [VTPT] của  nếu giá của

 

vuông góc với  .

Nhận xét :

- Nếu n

 

là VTPT của  thì   0 k n k 

 

cũng là VTPT của  .

b. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Cho đường thẳng  đi qua

0 0 0

[ ; ] M x y và có VTPT [ ; ] n a b 

 

Khi đó [ ; ] M x y  

0 0 0 0

. 0 [ ] [ ] 0 M M n M M n a x x b y y         

             

0 0

0 [ ] ax b y c c ax b y        [1]

[1] gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng  .

Chú ý :

- Nếu đường thẳng  : 0 a x b y c    thì [ ; ] n a b 

 

là VTPT của  .

c] Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát

 song song hoặc trùng với trục : 0 O x b y c    

 song song hoặc trùng với trục : 0 O y a x c    

 đi qua gốc tọa độ : 0 a x b y    

 đi qua hai điểm    

;0 , 0; : 1

x y

A a B b

a b

    với  

0 ab 

Phương trình đường thẳng có hệ số góc k là y k x m   với tan k   ,  là góc hợp bởi tia M t

của  ở phía trên trục O x và tia M x

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Cho hai đường thẳng

1 1 1 1 2 2 2 2

: 0; : 0 d a x b y c d a x b y c      

d cắt

d khi và chỉ khi

1 1

2 2

a b



1 2

/ / d d khi và chỉ khi

1 1

2 2

a b

 và

1 1

2 2

b c

 , hoặc

1 1

2 2

a b

 và

1 1

2 2

c a



1 2

d d  khi và chỉ khi

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

a b b c c a

  

Chú ý: Với trường hợp

2 2 2

. . 0 a b c  khi đó

+ Nếu

1 2

a a

b b

 thì hai đường thẳng cắt nhau.

+ Nếu

1 2 1

1 2 2

a a c

b b c

  thì hai đường thẳng song song nhau.

+ Nếu

1 2 1

1 2 2

a a c

b b c

  thì hai đường thẳng trùng nhau.

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng.

Câu 1. Cho tam giác AB C biết

    2;0 , 0;4 , [1;3] A B C . Viết phương trình tổng quát của

a] Đường cao A H

b] Đường trung trực của đoạn thẳng B C .

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 141

........................................................... .......................................................................

Câu 2. Cho tam giác AB C biết

    2;0 , 0;4 , [1;3] A B C . Viết phương trình tổng quát của

a] Đường thẳng A B .

b] Đường thẳng qua C và song song với đường thẳng A B .

........................................................... .......................................................................

Câu 3. Cho đường thẳng : 2 3 0 d x y    và điểm   1;2 M  . Viết phương trình tổng quát của

đường thẳng  biết:

a]  đi qua điểm M và có hệ số góc 3 k 

b]  đi qua M và vuông góc với đường thẳng d

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 142

........................................................... .......................................................................

Câu 4. Cho đường thẳng : 2 3 0 d x y    và điểm   1;2 M  . Viết phương trình tổng quát của

đường thẳng  biết  đối xứng với đường thẳng d qua M

........................................................... .......................................................................

Câu 5. Biết hai cạnh của một hình bình hành có phương trình 0 x y   và 3 8 0 x y    , tọa độ một

đỉnh của hình bình hành là  

2;2  . Viết phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành.

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 143

Câu 6. Cho điểm   1;4 M . Viết phương trình đường thẳng qua M lần lượt cắt hai tia O x , tia O y tại A và

B sao cho tam giác O AB có diện tích nhỏ nhất.

........................................................... .......................................................................

Câu 7. Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau

1 2

: 2 0; : 2 3 0 x y x y        

1 2

: 2 5 0; : 2 4 10 0 x y x y         

1 2

: 2 3 5 0; : 5 0 x y x       

1 2

: 2 3 4 0; : 4 6 0 x y x y        

........................................................... .......................................................................

3. Bài tập luyện tập.

Bài 3.1: Cho điểm   1; 3 A  . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng  đi qua A và

a] Vuông góc với trục tung

b] song song với đường thẳng : 2 3 0 d x y   

Bài 3.2: Cho tam giác ABC biết

    2;1 , 1;0 , [0;3] A B C  .

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 144

a] Viết phương trình tổng quát của đường cao A H

b] Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng A B .

c] Viết phương trình tổng quát đường thẳng B C .

d] Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua A và song song với đường thẳng B C .

Bài 3.3: Viết phương trình tổng quátcủa đường thẳng  trong mỗi trường hợp sau:

a]  đi qua điểm   2;5 M và song song với đường thẳng : 4 7 3 0 d x y   

b]  đi qua   2; 5 P  và có hệ số góc 11 k  .

Bài 3.4: Cho   8;6 M . Viết phương trình đường thẳng qua M cắt chiều dương hai trục toạ độ tại A, B

sao cho O A O B  đạt giá trị nhỏ nhất.

DẠNG 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Câu 8. Cho tam giác AB C có phương trình các đường thẳng , , A B B C CA là

: 2 2 0 ; : 3 2 1 0 ; : 3 3 0 A B x y B C x y C A x y          .

Xác định vị trí tương đối của đường cao kẻ từ đỉnh A và đường thẳng : 3 2 0 x y    

........................................................... .......................................................................

Câu 9. Cho hai đường thẳng

: [ 3] 2 1 0 m x y m       và

: [ 1] 0 x m y m       .

Xác định vị trí tương đối và xác định giao điểm [nếu có] của

 và

 trong các trường hợp

0, 1 m m  

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 145

........................................................... .......................................................................

Câu 10. Cho hai đường thẳng

: [ 3] 2 1 0 m x y m       và

: [ 1] 0 x m y m       . Tìm m để hai đường thẳng song song với nhau.

........................................................... .......................................................................

Câu 11. Cho tam giác AB C , biết   2;2 A và hai đường cao có phương trình

: 2 0 d x y   

; : 9 3 4 0 d x y    . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác

........................................................... .......................................................................

Câu 12. Cho tam giác AB C , biết [4; 1] A  , phương trình đường cao kẻ từ B là : 2 3 0 x y    ;

phương trình trung tuyến đi qua đỉnh C là ' : 2 3 0. x y    Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 146

........................................................... .......................................................................

3. Bài tập luyện tập:

Bài 3.5: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

1 2

] : 3 0; : 2 2 0 a d x y d x y     

1 2

] : 4 6 2 0; : 2 3 1 0 b d x y d x y       

1 2

] : 3 2 1 0; : 3 4 0 c d x y d x y      

Bài 3.6: Cho hai đường thẳng

1 2

: 3 3 0, : 2 0 x y x y         và điểm [0;2] M

a] Tìm tọa độ giao điểm của

 và

 .

b] Viết phương trình đường thẳng  đi qua M và cắt

 và

 lần lượt tại A và B sao cho B là trung

điểm của đoạn thẳng AM

Bài 3.7: Cho hai đường thẳng có phương trình:

2 2

1 2

: [ ] 1; : [ ] a b x y a b x a y b         với

2 2

0 a b  

a] Tìm quan hệ giữa a và b để

 và

 cắt nhau

b] Tìm điều kiện giữa a và b để

 và

 cắt nhau tại điểm thuộc trục hoành.

Bài 3.8: Cho 2 đường thẳng

2 2

1 2

: 0; : [1 ] 2 1 0 kx y k k x ky k           .

Chứng minh rằng:

a] Đường thẳng

 luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi k .

 luôn cắt

 . Xác định toạ độ giao điểm của chúng.

Bài 3.9: Cho hai đường thẳng

1 2

: 1 0; : 2 0 m x y m x m y          

Biện luận theo m vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Bài 3.10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y , cho các điểm

    0;1 , 2; 1 A B  và các đường thẳng

: [ 1] [ 2] 2 0 d m x m y m       ,

: [2 ] [ 1] 3 5 0 d m x m y m      

a] Chứng minh

d và

d luôn cắt nhau.

b] Gọi P là giao điểm của

d và

d . Tìm m sao cho P A P B  lớn nhất.

Bài 3.11: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y cho hai đường thẳng

: 1 0, : 3 0

m m

m x y m x m y m           , [với m là tham số thực]. Chứng minh rằng với

mọi m R  thì hai đường thẳng đó luôn cắt nhau tại 1 điểm nằm trên một đường tròn cố định.

Bài 3.12: Tam giác AB C biết : 5 2 6 0 A B x y    và : 4 7 21 0 A C x y    và [0;0] H là trực

tâm của tam giác. Tìm tọa độ điểm , A B .

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 147

Bài 3.13: Cho điểm   2;1 A và đường thẳng : 3 3 0 d x y    . Tìm hình chiếu của A lên d .

Bài 3.14: Cho tam giác AB C biết

    4;6 , 1;2 A B   và đường phân giác trong CK có phương trình là

3 9 22 0 x y    . Tính toạ độ đỉnh C của tam giác.

§2. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

1. Vectơ chỉ phương và phương trình tham số của đường thẳng :

a. Định nghĩa vectơ chỉ phương :

Cho đường thẳng  . Vectơ 0 u 

 

gọi là vectơ chỉ phương [VTCP] của đường thẳng  nếu giá của

nó song song hoặc trùng với  .

Nhận xét :

- Nếu u



là VTCP của  thì   0 k u k 



cũng là VTCP của  .

- VTPT và VTCP vuông góc với nhau. Do vậy nếu  có VTCP [ ; ] u a b 



thì [ ; ] n b a  

 

là một VTPT

của  .

b. Phương trình tham số của đường thẳng :

Cho đường thẳng  đi qua

0 0 0

[ ; ] M x y và [ ; ] u a b 



là VTCP.

Khi đó [ ; ] M x y  .

x x at

M M t u t R

y y b t



  



   



  





    

. [1]

Hệ [1] gọi là phương trình tham số của đường thẳng  , t gọi là tham số

Nhận xét : Nếu  có phương trình tham số là [1] khi đó

0 0

[ ; ] A A x at y b t     

2. Phương trình chính tắc của đường thẳng.

Cho đường thẳng  đi qua

0 0 0

[ ; ] M x y và [ ; ] u a b 



[với 0, 0 a b   ] là vectơ chỉ phương thì phương

trình

0 0

x x y y

a b

 

 được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng  .

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG 1: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng.

Câu 1. Cho điểm   1; 3 A  và   2;3 B  . Viết phương trình tham số của đường thẳng  trong mỗi

trường hợp sau:

a]  đi qua A và nhận vectơ   1;2 n

 

làm vectơ pháp tuyến

b]  đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng A B

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 148

Câu 2. Cho điểm   1; 3 A  và   2;3 B  . Viết phương trình tham số của đường thẳng  là đường trung

trực của đoạn thẳng A B

........................................................... .......................................................................

Câu 3. Viết phương trình tổng quát, tham số, chính tắc [nếu có] của đường thẳng  đi qua điểm   3;0 A

và   1;3 B

........................................................... .......................................................................

Câu 4. Viết phương trình tổng quát, tham số, chính tắc [nếu có] của đường thẳng   đi qua   3;4 N và

vuông góc với đường thẳng

1 3

' :

4 5

x t

y t



  





  





........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 149

........................................................... .......................................................................

Câu 5. Cho tam giác AB C có

    2;1 , 2;3 A B  và  

1; 5 C  .

a] Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác.

b] Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM.

........................................................... .......................................................................

Câu 6. Cho tam giác AB C có

    2;1 , 2;3 A B  và   1; 5 C  .

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm D, G với D là chân đường phân giác trong góc A và G

là trọng tâm của A B C  .

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 150

........................................................... .......................................................................

Câu 7. Cho tam giác AB C biết : 1 0 A B x y    , : 3 0 A C x y    và trọng tâm  

1;2 G . Viết

phương trình đường thẳng chứa cạnh BC.

........................................................... .......................................................................

3. Bài tập luyện tập.

Bài 3.15. Cho điểm  

2; 2 A  và  

0;1 B . Viết phương trình tham số của đường thẳng  trong mỗi

trường hợp sau:

a]  đi qua A và nhận vectơ   1;2 u



làm vectơ chỉ phương

b]  đi qua A và nhận vectơ   4;2 n

 

làm vectơ pháp tuyến

c]  đi qua   1;1 C và song song với đường thẳng A B

d]  là đường trung trực của đoạn thẳng A B

Bài 3.16: Viết phương trình tổng quát, tham số, chính tắc [nếu có] của đường thẳng  trong mỗi trường

hợp sau:

a]  đi qua điểm   3;0 A và   1;0 B 

b]  đi qua   1;2 M và vuông góc với đường thẳng : 3 1 0 d x y    .

c]  đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng

1 3

' :

x t

y t



  







 





Bài 3.17: Cho tam giác ABC có

    2; 1 , 2; 3 A B    và   1;5 C  .

a] Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh của tam giác.

b] Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM .

c] Viết phương trình đường thẳng đi qua trung điểm A B và trọng tâm của tam giác AB C

Bài 3.18. Cho tam giác ABC biết

    1;4 , 3; 1 A B  và   6; 2 C  .

a] Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh AB.

b] Viết phương trình đường cao AH.

c] Viết phương trình đường trung tuyến của tam giác đó AM.

d] Viết phương trình đường trung trực cạnh BC.

e] Viết phương trình đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác và song song với trục hoành.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 151

f] Viết phương trình đường thẳng đi qua trung điểm BC và vuông góc với trục tung.

g] Viết phương trình đường thẳng đi qua A và tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân đỉnh là gốc tọa

độ.

h] Đường thẳng qua C và chia tam giác thành hai phần, phần chứa điểm A có diện tích gấp đối phần

chứa điểm B.

Bài 3.19. Viết phương trình đường thẳng qua  

3;2 M và cắt tia Ox tại A, tia Oy tại B sao cho:

a] 12 O A O B  

b] Diện tích tam giác O AB bằng 12

Bài 3.20. Cho hình chữ nhật A B C D có phương trình của : 2 5 0 A B x y    , đường thẳng AD qua

gốc tọa độ O, và tâm hình chữ nhật là   4;5 I . Viết phương trình các cạnh còn lại của hình chữ nhật.

Bài 3.21. Cho hình bình hành hai cạnh có phương trình 3 2 0 x y    và 2 0 x y    .

Viết phương trình hai cạnh còn lại biết tâm hình bình hành là   3;1 I .

Bài 3.22. Cho tam giác ABC có trung điểm của AB là   1;3 I , trung điểm AC là   3;1 J  . Điểm A

thuộc O y và đường BC qua gốc tọa độ O. Tìm tọa độ điểm A, phương trình BC và đường cao vẽ từ

Bài 3.23. Cho tam giác ABC biết

      2;1 , 5;3 , 3; 4 M N P  lần lựợt là trung điểm của ba cạnh.

Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.

DẠNG 2. Xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng.

Câu 8. Cho đường thẳng : 3 4 12 0 x y    

a] Tìm tọa độ điểm A thuộc  và cách gốc tọa độ một khoảng bằng bốn

b] Tìm điểm B thuộc  và cách đều hai điểm   5;0 E ,   3; 2 F 

........................................................... .......................................................................

Câu 9. Cho đường thẳng : 3 4 12 0 x y    

Tìm tọa độ hình chiếu của điểm   1;2 M lên đường thẳng 

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 152

........................................................... .......................................................................

Câu 10. Cho đường thẳng : 2 6 0 x y     . Xác định tọa độ điểm đối xứng với điểm

  1;0 A  qua đường thẳng 

........................................................... .......................................................................

Câu 11. Cho hai đường thẳng : 2 6 0 x y     và

' :

x t

y t



   







 





Viết phương trình đường thẳng đối xứng với '  qua 

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 153

........................................................... .......................................................................

Câu 12. Cho tam giác AB C vuông ở#A. Biết

    1;4 , 1; 4 A B   , đường thẳng BC đi qua điểm

 

 





 

 

. Tìm toạ độ đỉnh C.

........................................................... .......................................................................

Câu 13. Cho hình bình hành A BCD . Biết

7 5

;

2 2

 

 







 

 

là trung điểm của cạnh CD,

 

 







 

 

và đường

phân giác góc



B A C có phương trình là : 1 0 x y     . Xác định tọa độ đỉnh B.

........................................................... .......................................................................

Câu 14. Cho đường thẳng : 2 2 0 d x y    và 2 điểm   0;1 A và   3;4 B . Tìm tọa độ điểm M

trên d sao cho 2 M A M B 

       

là nhỏ nhất.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 154

........................................................... .......................................................................

3. Bài tập luyện tập.

Bài 3.24: Cho tam giác ABC có trọng tâm   2;0 G  , phương trình các cạnh AB: 4 14 0 x y    ,

AC: 2 5 2 0 x y    . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.

Bài 3.25: Cho hai đường thẳng

: 0 d x y   và

: 2 1 0 d x y    . Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông

A BCD biết rằng đỉnh A thuộc

d , đỉnh C thuộc

d và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.

Bài 3.26: Cho tam giác ABC có đỉnh  

2;1 A , đường cao qua đỉnh B có phương trình 3 7 0 x y   

và đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình 1 0 x y    . Xác định toạ độ các đỉnh B và C của

tam giác.

Bài 3.27: Cho điểm   2;2 A và các đường thẳng:

1 2

: 2 0, : 8 0 d x y d x y       . Tìm toạ độ

các điểm B và C lần lượt thuộc d 1 và d 2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại#A.

Bài 3.28: Tam giác ABC biết   2; 1 A  và phương trình hai đường phân giác trong của góc B và góc C

lần lượt là : 2 1 0, ' : 2 3 6 0 x y x y         . Xác định tọa độ , B C .

Bài 3.29: Cho điểm   2;1 A . Trên trục O x , lấy điểm B có hoành độ 0

x  , trên trục O y , lấy điểm C

có tung độ 0

y  sao cho tam giác AB C vuông tại#A. Tìm các điểm B, C sao cho diện tích tam giác

ABC lớn nhất.

Bài 3.30: Cho tam giác ABC cân tại B, với

    1; 1 ,C 3;5 A  . Điểm B nằm trên đường thẳng

: 2 0 d x y   . Viết phương trình các đường thẳng AB, BC.

Bài 3.31: Cho đường thẳng : 2 3 0 x y     và hai điểm  

2;5 A và  

4;5 B  . Tìm tọa độ điểm

M trên  sao cho

2 2

2 M A M B  đạt giá trị nhỏ nhất

b] M A M B  đạt giá trị nhỏ nhất

c] M A M B  đạt giá trị lớn nhất

Bài 3.32: Viết phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết  

1;1 A và phương trình các đường phân

giác trong góc B, C lần lượt là 2 2 0 x y    và 3 3 0 x y    .

Bài 3.33: Viết phương trình đường thẳng '  đối xứng với đường thẳng  qua điểm I biết

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 155

a] [ 3;1]; : 2 3 0 I x y      b]

[ 1;3]; :

1 2

x t

y t



  



 



   





Bài 3.34: Cho hình vuông tâm   2;3 I và : 2 1 0 A B x y    . Viết phương trình các cạnh còn lại và

các đường chéo.

Bài 3.35: Cho tam giác AB C vuông tại A biết phương trình cạnh BC là: 3 3 0 x y    ; điểm A,

B thuộc trục hoành. Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC biết bán kính đường tròn nội tiếp tam

giác AB C bằng 2

Bài 3.36: Cho tam giác AB C có [ 2,0] C  , đường phân giác trong góc A có phương trình là

5x 3 0 y    và thỏa mãn 2 A B O M 

     

với   2;3 M . Tìm tọa độ điểm A, B

Bài 3.37: Cho tam giác AB C cân tại A có đỉnh A[6; 6]; đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh

AB và AC có phương trình 4 0 x y    . Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm   1;3 E  nằm trên

đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.

Bài 3.38: Cho hình thoi A BC D có [1, 2]; [ 3,3] A B   và giao điểm của hai đường chéo nằm trên đường

thẳng : 2 0. d x y    Tìm toạ độ C và D.

Bài 3.39: Cho hình chữ nhật A B C D có phương trình đường thẳng : 1 0 A B x y    và phương

trình đường thẳng : 2 1 0 B D x y    ; đường thẳng A C đi qua   1;1 M  . Tìm toạ độ các đỉnh của

hình chữ nhật A BCD .

Bài 3.40: Cho tam giác AB C có diện tích

S  , tọa độ các đỉnh

    2; 3 , 3; 2 A B   và trọng tâm

G của tam giác nằm trên đường thẳng có phương trình 3 8 0 x y    . Tìm tọa độ đỉnh C

Bài 3.41: Cho điểm [1; 1] M và hai đường thẳng

1 2

: 3 5 0, : 4 0. d x y d x y      

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt

1 2

, d d lần lượt tại , A B sao cho

2 3 0. M A M B  

Bài 3.42. Viết phương trình các cạnh của tam giác AB C nếu biết đỉnh   4;1 C  ; phương trình các

đường trung tuyến AA', đường phân giác BB' của tam giác đó lần lượt là 2 3 0, 6 0 x y x y      

Bài 3.43. Cho tam giác AB C có   4; 1 A  và phương trình hai đường trung tuyến

' : 8 3 0, ' : 14 13 9 0 B B x y CC x y       . Tính tọa độ , B C

Bài 3.44: Cho tam giác ; A B C phương trình các đường thẳng chứa đường cao và đường trung tuyến kẻ

từ đỉnh A lần lượt là 2 13 0 x y    và 13 6 9 0. x y    Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết tâm đường

tròn ngoại tiếp tam giác AB C là [ 5; 1]. I 

Bài 3.45. Viết phương trình các cạnh của tam giác AB C nếu biết đỉnh   5;3 A , trực tâm   3;2 H và

trung điểm cạnh BC là

 

 







 

 

Bài 3.46: Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác AB C biết

    1;4 , 1;3 M N  là trung điểm của BC,

CA và

1 5

;

3 3

 

 

 





 

 

là trực tâm tam giác AB C .

§3. KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC

1. Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng:

a] Công thức tính khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng:

Cho đường thẳng : 0 a x b y c     và điểm  

0 0

; M x y . Khi đó khoảng cách từ M đến [ ]  được

tính bởi công thức:

0 0

2 2

[ ,[ ]]

ax b y c

d M

a b

 

 



b] Vị trí của hai điểm đối với đường thẳng.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 156

Cho đường thẳng : 0 ax b y c     và

    ; , ;

M M N N

M x y N x y     . Khi đó:

- M, N cùng phía với     0

M M N N

ax b y c ax b y c       

- M, N khác phía với     0

M M N N

ax b y c ax b y c       

Chú ý: Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng :

1 1 1 1

: 0 a x b y c     và

2 2 2 2

: 0 a x b y c     là:

1 1 1 2 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2

a x b y c a x b y c

a b a b

   

 

 

2. Góc giữa hai đường thẳng:

a] Định nghĩa: Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó

được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b , hay đơn giản là góc giữa a và b . Khi a song

song hoặc trùng với b , ta quy ước góc giữa chúng bằng

0 .

b] Công thức xác định góc giữa hai đường thẳng.

Góc xác định hai đường thẳng

 và

 có phương trình

1 1 1 1

: 0 a x b y c     và

2 2 2 2

: 0 a x b y c     được xác định bởi công thức  

1 2 1 2

1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

cos ;

a a b b

a b a b



  

 

DẠNG 1. Bài toán liên quan đến khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng.

Câu 1. Cho đường thẳng : 5 3 5 0 x y    

a] Tính khoảng cách từ điểm   1;3 A  đến đường thẳng 

b] Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song  và ': 5 3 8 0 x y    

........................................................... .......................................................................

Câu 2. Cho 3 đường thẳng có phương trình

1 2 3

: 3 0; : 4 0; : 2 0 x y x y x y            Tìm tọa độ điểm M nằm trên

 sao cho

khoảng cách từ M đến

 bằng 2 lần khoảng cách từ M đến

 .

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 157

........................................................... .......................................................................

Câu 3. Cho ba điểm

    2;0 , 3;4 A B và   1;1 P . Viết phương trình đường thẳng đi qua P đồng thời

cách đều A và B

........................................................... .......................................................................

Câu 4. Cho tam giác ABC có [1; 2], [5;4], [ 2,0] A B C   . Hãy viết phương trình đường phân giác trong

góc A

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 158

........................................................... .......................................................................

Câu 5. Cho điểm   2;5 C  và đường thẳng :3 4 4 0 x y     . Tìm trên  hai điểm , A B đối xứng với

nhau qua

 

 

 

và diện tích tam giác ABC bằng 15.

........................................................... .......................................................................

3. Bài tập luyện tập:

Bài 3.47: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a] [1; 1] M  và : 5 0 d x y    b]   3;2 M và d là trục O x .

c] [ 3;2];[ ] : 2 3 M d x   d]

2 2

[5; 2];[ ] :

x t

M d

y t



   







  





Bài 3.48: Cho hai đường thẳng

1 2

: 2 3 1 0; : 4 6 3 0 d x y d x y       

a] Chứng minh rằng

1 2

/ / d d

b] Tính diện tích hình vuông có 4 đỉnh nằm trên 2 đường thẳng

d và

d .

c] Viết phương trình đường thẳng  song song và cách đều

1 2

, d d .

Bài 3.49: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm   2; 1 E  và cách điểm   3; 1 F   một đoạn

bằng 3.

Bài 3.50: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm   2;3 I  và cách đều hai điểm

  5; 1 A  và   3;7 B .

Bài 3.51: a] Cho hai điểm

    2;2 , 5;1 A B . Tìm điểm C trên đường thẳng : 2 8 0 x y     sao cho

diện tích tam giác AB C bằng 17 .

b] Cho tam giác AB C có

    2; 4 , 0; 2 A B   và C nằm trên đường thẳng 3 1 0 x y    ; diện tích

tam giác AB C bằng 1 [đơn vị diện tích]. Hãy tìm toạ độ điểm C.

Bài 3.52: a] Cho hai đường thẳng

1 2

: 2 3 5 0; : 3 2 2 0 d x y d x y       . Tìm M nằm trên O x

cách đều

d và

d .

b] Cho 3 đường thẳng

1 2 3

1 2

: ; : 6 8 1 0; : 4 3 2 0

x t

d d x y d x y

y t



  



     



  





. Tìm M nằm trên

d cách đều

d và

d .

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 159

Bài 3.53: Cho 2 điểm

    2;1 , 3;2 A B  và đường thẳng : 4 3 5 0 d x y    . Tìm điểm M cách đều

A, B đồng thời khoảng cách từ M đến d bằng 2.

Bài 3.54: Cho điểm   3;1 A . Xác định hai điểm B và C sao cho O A B C là hình vuông và B nằm trong

góc phần tư thứ nhất. Viết phương trình 2 đường chéo của hình vuông đó.

Bài 3.55: Cho hai điểm

    1;1 , 4; 3 A B  . Tìm điểm C thuộc đường thẳng – 2 – 1 0 x y  sao cho

khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.

Bài 3.56: Cho tam giác AB C có diện tích bằng 4, hai đỉnh

    1; 2 , 2; 3 A B   và trọng tâm G của

tam giác AB C nằm trên đường thẳng : 2 0 d x y    . Tìm toạ độ điểm C.

Bài 3.57: Cho tam giác AB C có   0;1 A và phương trình các đường cao ' : 2 1 0 B B x y    ,

' : 3 1 0 C C x y    . Tính diện tích tam giác ABC .

Bài 3.58: Cho các điểm

        1;0 , 2;4 , 1;4 , 3;5 A B C D   . Tìm tập hợp điểm M sao cho diện tích

hai tam giác M A B và M C D bằng nhau.

Bài 3.59. Cho hình bình hành A B CD có diện tích bằng 4. Biết

    1;0 , 0;2 A B và giao điểm I của hai

đường chéo nằm trên đường thẳng y x  . Tìm tọa độ đỉnh C và D.

Bài 3.60. Cho các điểm

      2;3 , 5;2 , 8;6 A B C và một đường thẳng : 5 0 d x y    . Tìm trên

d một điểm D sao cho hình vuông M N P Q có các cạnh lần lượt đi qua các điểm , , , A B C D có diện tích

lớn nhất.

Bài 3.61. Cho ba điểm

      2;3 , 4; 1 , 4;5 A B C  . Viết phương trình đường thẳng  đi qua A sao

cho tổng khoảng cách từ các điểm B và C đến đường thẳng  đạt giá trị lớn nhất.

Bài 3.62: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy,cho tam giác ABC vuông tại C. Biết   3;0 A

, đỉnh C thuộc trục tung và có tung độ nhỏ hơn 1, điểm B nằm trên đường thẳng : 4 3 12 0 x y     .

Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC, biết tam giác ABC có diện tích bằng 6.

DẠNG 2: Bài toán liên quan đến góc giữa hai đường thẳng.

Câu 6. Xác định góc giữa hai đường thẳng trong các trường hợp sau:

a]  

1 2

: 3 2 1 0; :

7 5

x t

x y t R

y t



 



     



  





b]    

1 2

1 2 4 '

: : '

1 2 5 2 '

x t x t

t R t R

y t y t

 

     

 

   

 

     

 

 

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 160

Câu 7. Tìm m để góc hợp bởi hai đường thẳng

: 3 7 0 x y     và

: 1 0 m x y     một góc bằng

........................................................... .......................................................................

Câu 8. Cho đường thẳng : 3 2 1 0 d x y    và   1;2 M . Viết phương trình đường thẳng  đi qua M

và tạo với d một góc 45

........................................................... .......................................................................

Câu 9. Cho 2 đường thẳng

1 2

: 2 1 0; : 2 7 0 x y x y         . Viết phương trình đường thẳng

 qua gốc toạ độ sao cho  tạo với

 và

 tam giác cân có đỉnh là giao điểm

 và

 .

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 161

........................................................... .......................................................................

3. Bài tập luyện tập.

Bài 3.63: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng

d và

d trong các trường hợp sau:

1 2

1 3

] : ; : 3 2 2 0

x t

a d d x y

y t



  



  



  





1 2

] : 1 0; : 2 1 0 b d x m y d x y m       

Bài 3.64: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với  một góc  biết:

] [ 2; 1]; : 3 2 1 0; 30 a M x y        

] [4;1]; ; 60 b M O y    

Bài 3.65: Cho hình vuông có đỉnh   4;5 A  và một đường chéo nằm trên đường thẳng có phương trình

7 8 0 x y    . Lập phương trình các cạnh và đường chéo thứ hai của hình vuông.

Bài 3.66: Cho A B C  cân đỉnh A . Biết phương trình các đường thẳng AB, BC là

: 1 0; : 2 3 5 0 A B x y B C x y       .

Viết phương trình đường thẳng A C biết nó đi qua   1;1 M .

Bài 3.67: Cho A B C  đều biết:   2;6 A và : 3 3 6 0 B C x y    . Viết phương trình các cạnh còn

lại.

Bài 3.68. Cho tam giác AB C có cả ba góc đều nhọn. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AC của

tam giác, biết tọa độ chân các đường cao hạ từ các đỉnh , , A B C tương ứng là

      ' 1; 2 , ' 2;2 , ' 1;2 A B C   

Bài 3.69: Trong mặt phẳng với hệ trục , O x y cho các điểm [1; 2], [4; 3]. A B Tìm tọa độ điểm M sao cho



135 MA B  và khoảng cách từ M đến đường thẳng A B bằng

Bài 3.70: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình thang cân A B C D [AB//CD, AB

    0;2 , 2; 2 A D   và I nằm trên đường thẳng 4 0 x y    sao cho



A I D

= 4 5 [với I = AC  BD].

Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang.

§4. ĐƯỜNG TRÒN

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. Phương trình đường tròn.

Phương trình đường tròn [C] tâm   ; I a b , bán kính R là :

2 2 2

[ ] [ ] x a y b R    

Dạng khai triển của [C] là :

2 2

2 2 0 x y ax b y c      với

2 2 2

c a b R   

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 162

Phương trình

2 2

2 2 0 x y a x b y c      với điều kiện

2 2

0 a b c    , là phương trình đường

tròn tâm   ; I a b bán kính

2 2

R a b c   

2. Phương trình tiếp tuyến :

Cho đường tròn [C] :

2 2 2

[ ] [ ] x a y b R    

Tiếp tuyến  của [C] tại điểm  

0 0

; M x y là đường thẳng đi qua M và vuông góc với IM

nên phương trình:

0 0

: [ ][ ] [ ][ ] x a x a y a y a R       

 : 0 a x b y c    là tiếp tuyến của [C] [ , ] d I R   

Đường tròn [C] :

2 2 2

[ ] [ ] x a y b R     có hai tiếp tuyến cùng phương với Oy là

x a R   . Ngoài hai tiếp tuyến này các tiếp tuyến còn lại đều có dạng : y k x m  

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG 1: Nhận dạng phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính đường tròn.

Câu 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn? Tìm tâm và bán kính nếu có.

2 2

] 2 4 9 0 a x y x y      [1]

2 2

] 6 4 13 0 b x y x y      [2]

2 2

] 2 2 6 4 1 0 c x y x y      [3]

2 2

] 2 2 3 9 0 d x y x y      [4]

........................................................... .......................................................................

Câu 2. Cho phương trình  

2 2

2 4 2 6 0 x y m x m y m        [1]

a] Tìm điều kiện của m để [1] là phương trình đường tròn.

b] Nếu [1] là phương trình đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kính theo m

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 163

........................................................... .......................................................................

Câu 3. Cho phương trình đường cong [ ]

C :    

2 2

2 4 1 0 x y m x m y m         [2]

a] Chứng minh rằng [2] là phương trình một đường tròn

b] Tìm tập hợp tâm các đường tròn khi m thay đổi

........................................................... .......................................................................

Câu 4. Cho phương trình đường cong [ ]

C :    

2 2

2 4 1 0 x y m x m y m         [2]

Chứng minh rằng khi m thay đổi họ các đường tròn [ ]

C luôn đi qua hai điểm cố định.

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 164

3. Bài tập luyện tập.

Bài 3.71: Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình của một đường tròn. Xác

định tâm và tính bán kính của nó.

2 2

4 2 6 0 x y x y      . b]

2 2

6 8 16 0 x y x y      .

2 2

4 5 1 0 x y x y      . d]

2 2

2 2 3 2 0 x y x    

Bài 3.72: Cho phương trình:

2 2 2

6 2[ 1] 11 2 4 0 x y m x m y m m         .

a] Tìm điều kiện của m để pt trên là pt đường tròn.

b] Tìm quỹ tích tâm đường tròn.

Bài 3.73: Cho phương trình [ ]

C :

2 2

2[ 1] 2[ 3] 2 0 x y m x m y        .

a] Tìm m để [ ]

C là phương trình của một đường tròn.

b] Tìm m để [ ]

C là đường tròn tâm [1; 3]. I  Viết phương trình đường tròn này.

c] Tìm mđể[ ]

C làđường tròn có bán kính 5 2. R  Viết phương trình đường tròn đó

Bài 3.74: Cho

    1;0 , 2;4 A B  và   4;1 C . Chứng minh rằng tập hợp các điểm M thoả mãn

2 2 2

3 2 M A M B M C   là một đường tròn [C]. Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của [C].

DẠNG 2: Viết phương trình đường tròn

Câu 5. Viết phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:

a] Có tâm  

1; 5 I  và đi qua  

0;0 . O

b] Nhận A B làm đường kính với

    1;1 , 7;5 A B .

........................................................... .......................................................................

Câu 6. Viết phương trình đường tròn Đi qua ba điểm:

      2;4 , 5;5 , 6; 2 M N P  

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 165

........................................................... .......................................................................

Câu 7. Viết phương trình đường tròn [C] trong các trường hợp sau:

a] [C] có tâm   1;2 I  và tiếp xúc với đường thẳng : 2 7 0 x y    

b] [C] đi qua   2; 1 A  và tiếp xúc với hai trục toạ độ O x và O y

........................................................... .......................................................................

Câu 8. Viết phương trình đường tròn [C] [C] có tâm nằm trên đường thẳng : 6 10 0 d x y    và tiếp

xúc với hai đường thẳng có phương trình

: 3 4 5 0 d x y    và

: 4 3 5 0 d x y   

........................................................... .......................................................................

Câu 9. Cho hai điểm   8;0 A và   0;6 B . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác O AB

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 166

........................................................... .......................................................................

Câu 10. Cho hai điểm   8;0 A và   0;6 B . Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác O AB

........................................................... .......................................................................

Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ O x y , cho hai đường thẳng

: 3 0 d x y   . và

: 3 0 d x y   . Gọi [C] là đường tròn tiếp xúc với

d tại A, cắt

d tại hai điểm B, C sao cho tam giác

AB C vuông tại B. Viết phương trình của [C], biết tam giác AB C có diện tích bằng

và điểm

A có hoành độ dương.

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 167

........................................................... .......................................................................

3. Bài tập luyện tập.

Bài 3.75.Viết phương trình đường tròn [C] biết

a] [C] có đường kính A B với [1; 1] A  và [3;3] B .

b] [C] ngoại tiếp A B C  với [4;4], [1; 5] A B  và [ 3;3] C  .

c] [C] có tâm [1;2] I và tiếp xúc với đường thẳng : 3 4 7 0 x y     .

Bài 3.76: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y , cho tam giác AB C có   0;2 A ,

  2; 2 B   và   4; 2 C  . Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N.

Bài 3.77: Trong mặt phẳng O x y cho tam giác ABC , hai cạnh , A B A C theo thứ tự có phương trình

2 0 x y    và 2 6 3 0 x y    . Cạnh B C có trung điểm  

1;1 M  .

Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AB C .

Bài 3.78: Viết phương trình đường tròn [C] trong trường hợp sau:

a] Đi qua [ 4;2] A  và tiếp xúc với hai trục toạ độ.

b] Có tâm nằm trên đường thẳng 5 x  và tiếp xúc với hai đường thẳng:

1 2

: 3 3 0, : 3 9 0 d x y d x y       .

Bài 3.79: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y , cho đường tròn [C]:

2 2

[ 2]

x y    và hai đường

thẳng

1 2

: 0, : 7 0 x y x y       . Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn [C1]; biết

đường tròn [C1] tiếp xúc với các đường thẳng 1, 2 và tâm K thuộc [C].

Bài 3.80: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y , cho hai điểm

    2;0 , 6;4 A B

. Viết phương trình đường tròn [C] tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của [C] đến

điểm B bằng 5.

Bài 3.81: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác AB C tạo bởi ba đường thẳng

4 3 65 0, 7 24 55 0 x y x y       3 4 5 0 x y    .

Bài 3.82. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y , cho 2 điểm

    0;5 , 2;3 A B .

Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có bán kính 10 R  .

Bài 3.83: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y , cho điểm  

1;1 A  và đường thẳng

: 1 2 0 d x y     . Viết phương trình đường tròn [C] đi qua điểm A, gốc toạ độ O và tiếp xúc với

đường thẳng d .

Bài 3.84: Trong mặt phẳng O x y , cho ba điểm

    1;7 , 4; 3 A B   và   4;1 C  . Hãy viết phương

trình đường tròn nội tiếp tam giác AB C

Bài 3.85: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y , cho điểm   2;1 M và đường thẳng : 1 0 x y    

. Viết phương trình đường tròn đi qua M cắt  ở 2 điểm A, B phân biệt sao cho M A B  vuông tại M và

có diện tích bằng 2.

2 2

[ 1] [ 2] 2 x y    

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 168

DẠNG 3: Vị trí tương đối của điểm; đường thẳng; đường tròn với đường tròn

Câu 12. Cho đường thẳng : 1 0 x y     và đường tròn  

2 2

: 4 2 4 0 C x y x y     

a] Chứng minh điểm   2;1 M nằm trong đường tròn

b] Xét vị trí tương đối giữa  và   C

........................................................... .......................................................................

Câu 13. Cho đường thẳng : 1 0 x y     và đường tròn  

2 2

: 4 2 4 0 C x y x y     

Viết phương trình đường thẳng '  vuông góc với  và cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt sao cho

khoảng cách của chúng là lớn nhất.

........................................................... .......................................................................

Câu 14. Trong mặt phẳng O x y , cho hai đường tròn  

2 2

: 2 6 15 0 C x y x y      và

 

2 2

' : 6 2 3 0 C x y x y     

a] Chứng minh rằng hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B

b] Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 169

........................................................... .......................................................................

Câu 15. Cho đường tròn

2 2

[ ] : 2 4 4 0 C x y x y      có tâm I và đường thẳng

: 2 1 2 0 x m y     

a] Tìm m để đường thẳng  cắt đường tròn [C] tại hai điểm phân biệt A, B

b] Tìm m để diện tích tam giác I A B là lớn nhất

........................................................... .......................................................................

3. Bài tập luyện tập.

Bài 3.86: Cho : 5 2 0 d x y    và [C] có tâm   1;2 I  , bán kính 13 R 

a] Viết phương trình đường tròn [C].

b] Tìm toạ độ giao điểm của [C] và d

Bài 3.87: Biện luận số giao điểm của [C] và d trong đó:

 

2 2

: 3 2 0, : 4 2 0 d mx y m C x y x y        

Bài 3.88: Trong mặt phẳng toạ độ cho đường tròn      

2 2

: 1 2 4 C x y     và đường thẳng

: 1 0 d x y    . Viết phương trình đường tròn [C'] đối xứng với [C] qua d. Tìm toạ độ các giao điểm

của [C] và [C'].

Bài 3.89: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y , cho đường tròn [C] có phương trình

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 170

2 2

12 4 36 0 x y x y      . Viết phương trình đường tròn [C1] tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy

đồng thời tiếp xúc ngoài với đường tròn [C].

Bài 3.90: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y , cho đường tròn [C] và đường thẳng d lần lượt có phương

trình: [C]:

2 2

2 2 1 0 x y x y      , : 3 0 d x y    . Tìm toạ độ điểm M nằm trên d sao cho đường

tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn [C], tiếp xúc ngoài với đường tròn [C].

Bài 3.91: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y , cho đường tròn [C]:

2 2

1 x y   . Đường tròn [C ] tâm

  2;2 I cắt [C] tại các điểm A, B sao cho 2 A B  . Viết phương trình đường thẳng AB.

Bài 3.92: Cho hai đường tròn:  

2 2

: 1 C x y   và    

2 2

: 2 1 4 5 0

C x y m x m y      

Xác định m để  

C tiếp xúc với [C].

Bài 3.93. Trong mặt phẳng O x y , Viết phương trình đường thẳng qua điểm O và cắt đường tròn [C]:

2 2

2 6 15 0 x y x y      . tại hai điểm A, B sao cho O là trung điểm của AB.

Bài 3.94. Trong mặt phẳng O x y , cho đường tròn  

2 2

: 2 4 20 0 C x y x y      và điểm  

3;0 A

. Viết phương trình đường thẳng  đi qua A và cắt đường tròn [C] theo một dây cung MN sao cho

a] MN có độ dài lớn nhất b] MN có độ dài nhỏ nhất.

Bài 3.95. Trong mặt phẳng O x y , cho đường tròn  

2 2

: 2 4 4 0 C x y x y      có tâm I và điểm

  1; 3 M   . Viết phương trình đường thẳng  đi qua M và cắt [C] tại hai điểm phân biệt A và B sao cho

tam giác I A B có diện tích lớn nhất.

Bài 3.96. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y cho hai đường tròn:

2 2

[ ] : 4 6 0 C x y x y     và

2 2

[ '] : 4 0 C x y x    . Một đường thẳng  đi qua giao điểm của [C] và [C'] lần lượt cắt lại [C] và [C']

tại M và N. Viết phương trình đường thẳng  khi MN đạt giá trị lớn nhất.

Bài 3.97: Cho      

2 2

: 1 1 25 C x y     và  

7;3 M . Viếp phương trình đường thẳng qua M cắt

[C] tại , A B sao cho 3 M A M B  .

Bài 3.98: Cho đường tròn  

2 2

: 4 C x y   và điểm  

2;2 M . Viết phương trình đường thẳng qua M

và cắt [C] tai hai điểm phân biệt A, B sao cho 2 AB  .

Bài 3.99: Cho đường tròn

     

2 2

: 1 1 25 C x y     và hai điểm

    7;9 , 0;8 A B . Tìm M trên

đường tròn để 2 M A M B  đạt giá trị lớn nhất.

Bài 3.100: Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho đường tròn

2 2

[ ] : 4 2 15 0. C x y x y      Gọi I là

tâm đường tròn [ ]. C Đường thẳng  đi qua [1; 3] M  cắt [ ] C tại hai điểm A và B. Viết phương trình

đường thẳng  biết tam giác I A B có diện tích bằng 8 và cạnh AB là cạnh lớn nhất.

Bài 3.101: Cho tam giác ABC có trực tâm H. Biết đường tròn ngoại tiếp tam giác HB C là

2 2

5 4 0 x y x y      , H thuộc đường thẳng : 3 4 0 x y     , trung điểm AB là  

2;3 M . Xác

định toạ độ các đỉnh của tam giác.

Bài 3.102: Trong mặt phẳng O x y cho điểm   1;0 A và các đường tròn  

2 2

: 2 C x y   và

 

2 2

' : 5 C x y   . Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt nằm trên các đường tròn [C] và [C'] để tam giác

ABC có diện tích lớn nhất.

Bài 3.103: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ O x y cho đường thẳng : 2 0 x y     và đường tròn

 

2 2

: 2 2 7 0 C x y x y      . Chứng minh rằng  cắt [C] tại hai điểm phân biệt A,B và tìm toạ độ

điểm C trên [C] sao cho tam giác ABC có diện tích bằng

 

3 2 7  .

Bài 3.104: Trong mặt phẳng O x y , gọi [C] là đường tròn ngoại tiếp tam giác AB C với

     

2;1 , 4;0 , 3; 2 1 A B C  và đường thẳng : 4 4 0 d x y    . Tìm trên d điểm M sao cho tiếp

tuyến của [C] qua M tiếp xúc với [C] tại N sao cho diện tích tam giác NA B lớn nhất.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 171

Bài 3.105: Trong mặt phẳng hệ trục tọa độ O x y cho đường tròn  

2 2

: 2 3 0 C x y x     . Gọi B,C

là giao điểm của đường thẳng : 3 0 x y     với đường tròn [C]. Hãy tìm điểm A trên đường tròn [C]

sao cho tam giác AB C có chu vi lớn nhất.

DẠNG 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn

Câu 16. Cho đường tròn [C] có phương trình

2 2

6 2 6 0 x y x y      và điểm hai điểm

    1; 1 ; 1;3 A B 

a] Chứng minh rằng điểm A thuộc đường tròn, điểm B nằm ngoài đường tròn

b] Viết phương trình tiếp tuyến của [C] tại điểm A

........................................................... .......................................................................

Câu 17. Cho đường tròn [C] có phương trình

2 2

6 2 6 0 x y x y      và điểm hai điểm

    1; 1 ; 1;3 A B  . Viết phương trình tiếp tuyến của [C] kẻ từ B.

........................................................... .......................................................................

Câu 18. Viết phương trình tiếp tuyến  của đường tròn  

2 2

: 4 4 1 0 C x y x y      biết

Đường thẳng  vuông góc với đường thẳng ' : 2 3 4 0 x y    

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 172

........................................................... .......................................................................

Câu 19. Viết phương trình tiếp tuyến  của đường tròn  

2 2

: 4 4 1 0 C x y x y      biết

Đường thẳng  hợp với trục hoành một góc

........................................................... .......................................................................

Câu 20. Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau:

 

2 2

: 4 5 0 C x y y     và  

2 2

: 6 8 16 0 C x y x y     

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 173

........................................................... .......................................................................

3. Bài tập luyện tập

Bài 3.106: Cho đường tròn  

2 2

: 4 4 17 0 C x y x y      . Viết phương trình tiếp tuyến d của

đường tròn trong các trường hợp sau:

a] Điểm tiếp xúc là  

2;1 M

b] d đi qua A[3;6]

c] d song song với đường thẳng : 3 4 2008 0 x y    

d] d vuông góc với đường thẳng ' : 2 3 4 0 x y    

Bài 3.107: Cho đường tròn  

2 2

: 2 4 4 0 C x y x y      và điểm   2;5 A .Viết phương trình tiếp

tuyến kẻ từ A tới đường tròn. Giả sử tiếp tuyến này tiếp xúc với đường tròn tại hai điểm M, N. Hãy tính độ

dài MN.

Bài 3.108: Cho  

2 2

: 2 2 3 0 C x y x y      . Viết phương trình tiếp tuyến của [C] biết tiếp tuyến

cắt tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho A B C  có diện tích bằng 4.

Bài 3.109: Tìm toạ độ giao điểm của hai đường tròn:  

2 2

8 2 7 0 C x y x y      ,

 

2 2

: 3 7 12 0 C x y x y      và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn ấy.

Bài 3.110Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y , cho đường thẳng : 1 0 d x y    và đường tròn

 

2 2

: 2 4 0 C x y x y     . Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d mà qua đó ta kẻ được hai đường

thẳng tiếp xúc với [C] tại A và B sao cho



60 A M B  .

Bài 3.111Cho    

2 2

: 2 2 1 1 0

C x y m x m y      

a] Tìm m để  

C là đường tròn

b] Tìm m để  

C tiếp xúc với đường thẳng : 1 2 2 0 x y     

c] Tìm m để từ điểm   7;0 A có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với  

C vuông góc với nhau.

d] Tìm m để từ điểm   7;0 A có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với  

C và tạo với nhau góc 60

Bài 3.112Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y , cho hai đường tròn:

2 2 2 2

1 2

[ ] : 10 0, [ ] : 4 2 20 0 C x y x C x y x y        

a] Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của

1 2

[ ], [ ] C C và có tâm nằm trên đường thẳng

: 6 6 0 d x y    .

b] Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn

1 2

[ ], [ ] C C .

Bài 3.113Trong mặt phẳng tọa độ O x y , cho đường tròn [C] và đường thẳng d lần lượt có phương trình:

[C]:

2 2

8 6 21 0 x y x y      , : 1 0 d x y    . Xác định toạ độ các đỉnh hình vuông A BCD

ngoại tiếp đường tròn [C], biết A nằm trên d .

Bài 3.114Trong mặt phẳng toạ độ cho đường tròn  

2 2

: 2 6 6 0 C x y x y      và điểm

  3;1 M  . Gọi

1 2

, T T là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến [C]. Viết phương trình đường thẳng

1 2

T T .

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 174

Bài 3.115 Cho đường tròn [C] có phương trình:

 

3 4 x y   

Tìm trên O y điểm M mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến với [C] và 2 tiếp tuyến đó tạo thành góc

§5. ĐƯỜNG ELIP

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1]Định nghĩa: Cho hai điểm cố định

1 2

, F F với  

1 2

2 0 F F c c   và hằng số a c  . Elip[E] là tập

hợp các điểm M thỏa mãn

1 2

2 M F M F a   .

Các điểm

1 2

, F F là tiêu điểm của [E]. Khoảng cách

1 2

2 F F c  là tiêu cự của [E].

1 2

, M F M F được gọi

là bán kính qua tiêu.

2] Phương trình chính tắc của elip:

Với

   

1 2

;0 , ;0 F c F c  :

     

2 2

; 1 1

x y

M x y E

a b

    trong đó

2 2 2

b a c  

[1] được gọi là phương trình chính tắc của [E]

3] Hình dạng và tính chất của elip:

Elip có phương trình [1] nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái  

;0 F c  , tiêu điểm phải  

;0 F c

+ Các đỉnh:

       

1 2 1 2

;0 , ;0 , 0; , 0; A a A a B b B b  

+ Trục lớn:

1 2

2 A A a  , nằm trên trục Ox; trục nhỏ:

1 2

2 B B b  , nằm trên trục Oy

+ Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng , x a y b     gọi là hình chữ nhật cơ sở.

+ Tâm sai: 1

 

+ Bán kính qua tiêu điểm của điểm   ;

M M

M x y thuộc [E] là:

1 2

M M M M

c c

M F a e x a x M F a e x a x

a a

       

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG 1. Xác định các yếu tố của elip khi biết phương trình chính tắc của elip.

Câu 1. Xác định các đỉnh, độ dài trục, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai của elip có phương trình sau:

2 2

4 1

x y

  b]

2 2

4 25 100 x y  

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 175

........................................................... .......................................................................

3. Bài tập luyện tập.

Bài 3.116: Xác định các đỉnh, độ dài trục, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai của elip [E]:

2 2

2 18 x y   b]

2 2

16 9

x y

 

DẠNG 2. Viết phương trình chính tắc của đường elip.

Câu 2. Viết phương trình chính tắc của elip [E] trong mỗi trường hợp sau:

a] [E] có độ dài trục lớn là 6 và tâm sai

e 

b] [E]có tọa độ một đỉnh là

 

0; 5 và đi qua điểm

4 10

; 1

 

 



 







 

 

c] [E] có tiêu điểm thứ nhất

 

3;0  và đi qua điểm

4 33

[1; ]

M .

........................................................... .......................................................................

Câu 3. Viết phương trình chính tắc của elip [E] trong mỗi trường hợp sau:

a] Hình chữ nhật cơ sở của [E] có một cạnh nằm trên đường thẳng 2 0 y   và có diện tích bằng 48.

b] [E] có tâm sai bằng

và hình chữ nhật cơ sở của [E] có chu vi bằng 20.

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 176

........................................................... .......................................................................

3. Bài tập luyện tập.

Bài 3.117: Viết phương trình chính tắc của elip [E] trong mỗi trường hợp sau:

a] Tâm sai bằng

và đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của [E] có phương trình

2 2

34 x y  

b] Độ dài trục lớn bằng 15, [ E] đi qua M sao cho



1 2

90 F M F 



và diện tích tam giác

1 2

M F F bằng 26.

c] [E] đi qua

3 14 2

;

4 4

 

 



 







 

 

, tam giác

1 2

M F F vuông tại M.

d] Tiêu cự bằng 6 và đường tròn nội tiếp tam giác

2 2

O F B có bán kính bằng 1. [ Với F 2 là tiêu điểm phải

của [E] và B2 đỉnh của [E] có tung độ dương].

e] [E] có độ dài trục lớn bằng 4 2 , các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của [E] cùng nằm trên một

đường tròn.

f] [E] có một tiêu điểm  

7;0 F  và đi qua   2;12 M 

g] [E] đi qua điểm

 

 











 

 

và có tiêu cự 4 3

h] [E] đi qua hai điểm

 

 







 

 

 

 

 





 

 

k] [E] đi qua

 

 











 

 

và tâm sai

e 

DẠNG 3. Xác định điểm nằm trên đường elip thỏa mãn điều kiện cho trước.

Câu 4. Trong mặt phẳng O x y , cho elip [E]:

2 2

25 9

x y

  có tiêu điểm

F và

F . Tìm điểm M trên [E]

sao cho Điểm M có tung gấp ba lần hoành độ

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 177

........................................................... .......................................................................

Câu 5. Trong mặt phẳng O x y , cho elip [E]:

2 2

25 9

x y

  có tiêu điểm

F và

F . Tìm điểm M trên [E]

sao cho

1 2

2 M F M F 

........................................................... .......................................................................

Câu 6. Trong mặt phẳng O x y , cho elip [E]:

2 2

25 9

x y

  có tiêu điểm

F và

F . Tìm điểm M trên [E]

sao cho



1 2

60 F M F 

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 178

Câu 7. Trong mặt phẳng O x y , cho elip [E]:

2 2

25 9

x y

  có tiêu điểm

F và

F . Tìm điểm M trên [E]

sao cho Diện tích tam giác O A M  lớn nhất với   1;1 A

........................................................... .......................................................................

Câu 8. Cho elip [E]:

2 2

4 1

x y

  và   2;0 C . Tìm , A B thuộc [E] biết , A B đối xứng nhau qua trục

hoành và tam giác AB C đều.

........................................................... .......................................................................

3. Bài tập luyên tập.

Bài 3.118: Trong mặt phẳng O x y , cho elip:

2 2

9 25 225 x y   có tiêu điểm

F và

F . Tìm các điểm

M trên [E] sao cho

1 2 1 2

1 1 4

M F M F F F

 

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 179



1 2

60 F M F 

c] Diện tích tứ giác O HM K lớn nhất với H, K là hình chiếu của điểm M lên hai trục tọa độ.

Bài 3.119: Cho  

0;3 A . Tìm điểm , B C thuộc elip  

2 2

: 1

9 3

x y

E   sao cho B, C đối xứng qua trục

O x đồng thời thỏa mãn A B C  đều.

Bài 3.120: Cho [E]:

2 2

9 4

x y

  và đường thẳng : 3 4 24 0 x y     . Tìm M trên [E] có khoảng

cách đến  lớn nhất, nhỏ nhất.

Bài 3.121: Cho [E]:  

2 2

1 0

x y

a b

    có tiêu điểm  

;0 F c  .

a] Tìm   M E  trong trường hợp sau:

i] Đoạn thẳng

F M ngắn nhất ii] Đoạn thẳng

F M dài nhất

b] Tìm hai điểm , A B thuộc [E] thỏa mãn O A O B  và

O A B



nhỏ nhất.

Bài 3.122: Cho

       

2 2

: 5 441; ' : 5 25 C x y C x y       . Gọi M là tâm đường tròn

 

C di động tiếp xúc với

    , ' C C . Chứng minh rằng tập hợp điểm M là elip và hãy tìm tọa độ các tiêu

điểm của elip đó trong trường hợp sau:

a]  

C tiếp xúc trong với   C và tiếp xúc ngoài với   ' C

b]  

C tiếp xúc trong với  

C và  

' C

Bài 3.123: Cho

         

2 2

2 2 2 2

: ; ' : 0 C x y a b C x y a b b a         . Các điểm A, B di

động trên

    , ' C C sao cho O x là phân giác của góc



A O B . Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng

AB.

Bài 3.124. Cho hình thoi A BCD tâm I . Biết

    2; 2 , 0;2 A B   và tâm I thuộc đường Elip [E]:

2 2

4 4

x y

  . Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

Bài 3.125: Cho hình chữ nhật A B C D . Biết

    1; 1 , 1;3 A B   và B thuộc Elip

 

2 2

: 3 4 E x y   . Tính tọa độ hai đỉnh B và D của hình chữ nhật.

§6. ĐƯỜNG HYPEBOL

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1.Định nghĩa: Cho hai điểm cố định

1 2

, F F với  

1 2

2 0 F F c c   và hằng số a c  .Hypebol là tập

hợp các điểm M thỏa mãn

1 2

2 M F M F a   . Kí hiệu [H]

Ta gọi:

1 2

, F F là tiêu điểm của [H]. Khoảng cách

1 2

2 F F c  là tiêu cự của [H].

2.Phương trình chính tắc của hypebol:

Với

   

1 2

;0 , ;0 F c F c 

   

2 2

; 1

x y

M x y H

a b

    với

2 2 2

b c a   [2]

Phương trình [2] được gọi là phương trình chính tắc của hypebol

3.Hình dạng và tính chất của [H]:

+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái  

;0 F c  , tiêu điểm phải  

;0 F c

+ Các đỉnh:

   

1 2

;0 , ;0 A a A a 

+ Trục O x gọi là trục thực, Trục O y gọi là trục ảo của hypebol. Khoảng cách 2a giữa hai đỉnh gọi là

độ dài trục thực, 2b gọi là độ dài trục ảo.

+ Hypebol gồm hai phần nằm hai bên trục ảo, mỗi phần gọi là nhánh của hypebol

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 180

+ Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng , x a y b     gọi là hình chữ nhật cơ sở. Hai đường thẳng

chứa hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở gọi là hai đường tiệp cận của hypebol và có phương trình là

y x

 

+ Tâm sai: 1

 

+  

;

M M

M x y thuộc [H] thì:

1 2

M M M M

c c

MF a ex a x M F a ex a x

a a

       

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG 1. Xác định các yếu tố của hypebol khi biết phương trình chính tắc của chúng.

Câu 1. Xác định tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm; tính tâm sai, độ dài trục thực, độ dài trục ảo và viết

phương trình các đường tiệm cận của [H]

2 2

6 8

x y

  b]

2 2

5 4 20 x y  

........................................................... .......................................................................

3. Bài tập luyện tập.

Bài 3.126: Xác định tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm; tính tâm sai, độ dài trục thực, độ dài trục ảo và viết

phương trình các đường tiệm cận của hypebol [H]:

2 2

8 6

x y

  b]

2 2

9 12 108 x y  

DẠNG 2. Viết phương trình chính tắc của hypebol.

Câu 2. Viết phương trình chính tắc của hypebol [H] trong mỗi trường hợp sau:

a] [H] có một tiêu điểm tọa độ là   4;0  và độ dài trục ảo bằng 28

b] [H] có tiêu cự bằng 10 và đường tiệm cận là

y x  

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 181

........................................................... .......................................................................

Câu 3. Viết phương trình chính tắc của hypebol [H] trong mỗi trường hợp sau:

a] [H] có tâm sai bằng

và diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng 48

b] [H] đi qua hai điểm

 

2;2 2 M và

 

1; 3 N  

........................................................... .......................................................................

Câu 4. Viết phương trình chính tắc của hypebol [H] đi qua   2;1 M  và góc giữa hai đường tiệm cận

bằng

60 .

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 182

........................................................... .......................................................................

3. Bài tập luyện tập.

Bài 3.127: Viết phương trình chính tắc của hypebol [H] trong mỗi trường hợp sau:

a] [H] có tâm sai 2 e  , các tiêu điểm của [H] trùng với các tiêu điểm của elip

2 2

25 9

x y

  .

b] Độ dài trục ảo là 6 và phương trình một đường tiệm cận là 3 4 0 x y   .

c] [H] đi qua điểm điểm A

2 7

 

 



 







 

 

và phương trình 2 đường tiệm cận là 2 3 0 x y  

d] [H] đi qua điểm   6;3 M và góc giữa 2 đường tiệm cận bằng 60

e] Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là 5 0; y 4=0 x   

f] Độ dài trục ảo là 6 và hai tiệm cận vuông góc với nhau.

g] Đi qua M

 

 











 

 

và 2 đường chuẩn có phương trình: 3 4 0 x  

h] Khoảng cách giữa các đường chuẩn là

và phương trình 2 đường tiệm cận là 3 4 0 x y  

k] [H] đi qua A[ 1; 0] và

 

3;1 B

l] [H] có tiêu điểm  

7;0 F  và đi qua   2;12 M 

Bài 3.128: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip [E]:

2 2

12 2

x y

  . Viết phương trình hypebol

[H] có hai đường tiệm cận là 2 y x   và có hai tiêu điểm là hai tiêu điểm của elip [E].

DẠNG 3. Xác định điểm nằm trên hypebol thỏa mãn điều kiện cho trước.

Câu 5. Cho hypebol [H]:

2 2

9 6

x y

  có tiêu điểm

F và

F .

a] Tìm điểm M trên [H] có hoành độ là 4

b] Tìm điểm M trên [H] nhìn hai tiêu điểm của [H] dưới một góc vuông.

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 183

Câu 6. Cho hypebol [H]:

2 2

9 6

x y

  có tiêu điểm

F và

F .

Tìm điểm M trên [H] thỏa mãn Khoảng cách hai điểm M và

F bằng 3

........................................................... .......................................................................

Câu 7. Cho hypebol [H]:

2 2

9 6

x y

  có tiêu điểm

F và

F .

Tìm điểm M trên [H] thỏa mãn Tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận bằng

24 2

........................................................... .......................................................................

3. Bài tập luyện tập.

Bài 3.129: Cho [H]:

2 2

7 4

x y

  và

    3;2 , 0;1 A B . Tìm điểm  

C H  sao cho A B C  có diện

tích nhỏ nhất.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 184

Bài 3.130: Cho [H]:

2 2

4 12

x y

  . Có tiêu điểm là

F [trái] và

F [phải]

a] Tìm M trên [H] với

4 M F  .

b] Tìm trên [H] điểm M sao cho

1 2

2 MF M F 

c] Tìm trên một nhánh của [H] hai điểm A, B sao cho tam giác O A B là tam giác đều

§7. ĐƯỜNG PARABOL

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa: Cho điểm cố định F và đường thẳng cố định  không đi qua F. Parabol[P] là tập hợp

các điểm M cách đều điểm F và đường thẳng .

Điểm F gọi là tiêu điểm của parabol.

Đường thẳng  được gọi là đường chuẩn của parabol

  ; p d F   được gọi là tham số tiêu của parabol.

2.Phương trình chính tắc của parabol:

Với ;0

 

 







 

 

và   : 0

x p    

   

; 2 M x y P y px    [3]

[3] được gọi là phương trình chính tắc của parabol

3.Hình dạng và tính chất của parabol:

+ Tiêu điểm ;0

 

 







 

 

+ Phương trình đường chuẩn: :

x   

+ Gốc tọa độ O được gọi là đỉnh của parabol

+ O x được gọi là trục đối xứng

+  

;

M M

M x y thuộc [P] thì:   ;

M F d M x    

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG 1. Xác định các yếu tố của parabol khi biết phương trình chính tắc.

Câu 1. Cho parabol [P] có phương trình

4 y x 

Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của [P].

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 185

........................................................... .......................................................................

3. Bài tập luyện tập.

Bài 3.131: Cho parabol [P] có phương trình

4 y x 

Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của [P].

DẠNG 2. Viết phương trình chính tắc của [E], [H], [P].

Câu 2. Viết phương trình chính tắc của parabol [P]

a] [P] có tiêu điểm là   0;5 F

b] Khoảng cách từ tiêu điểm F đến đường thẳng : 12 0 x y     là 2 2

........................................................... .......................................................................

3. Bài tập luyện tập.

Bài 3.132: Viết phương trình chính tắc của parabol [P] trong các trường hợp sau:

a] Một dây cung của [P] vuông góc với trục O x có độ dài bằng 8 và khoảng cách từ đỉnh O của [P] đến

dây cung này bằng 1

b] [P] cắt đường thẳng : 3 0 x y    tại 2 điểm A, B sao cho 4 2 A B 

c] [P] cắt elip [E]:

2 2

4 6 24 x y   tại 2 điểm A, B sao cho 2 AB  .

d] [P] chắn trên đường thẳng 2 x  một đoạn có độ dài bằng 4.

DẠNG 3. Xác định điểm nằm trên parabol thỏa mãn điều kiện cho trước.

Câu 3. Trong mặt phẳng O x y , cho parabol [P]:

8 y x  có tiêu điểm F

a] Tìm trên [P] điểm M cách F một khoảng là 3

b] Tìm điểm M trên [P] sao cho 8

O M F





........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 186

........................................................... .......................................................................

Câu 4. Trong mặt phẳng O x y , cho parabol [P]:

8 y x  có tiêu điểm F

Tìm một điểm A nằm trên parabol và một điểm B nằm trên đường thẳng : 4 3 5 0 x y     sao cho

đoạn AB ngắn nhất

........................................................... .......................................................................

3. Bài tập luyện tập.

Bài 3.133: Cho [P]:

16 y x  và đường thẳng : 4 8 0 x y    

a] Chứng minh rằng  cắt [P] tại 2 điểm phân biệt A, B

b] Tìm điểm M trên cung AB của [P] sao cho diện tích tam giác M A B lớn nhất.

Bài 3.134: Cho [P]:

y x  và 2 điểm

    1; 1 , 9;3 A B  . Gọi M là một điểm thuộc cung AB của [P]

[ phần của [P] bị chắn bởi dây AB. Xác định vị trí của M trên cung AB sao cho diện tích tam giác M A B

lớn nhất.

Bài 3.135: Cho parabol [P]:

4 y x  và điểm   0;1 I .Tìm A, B trên [P] sao cho: 4 I A I B 

    

Bài 3.136. Cho hình thoi A BC D tâm I . Biết hai cạnh A B và A D lần lượt có phương trình là

2 1 0 x y    và 2 5 0 x y    , tâm I thuộc Parabol

y x  . Tính toạ độ các đỉnh của hình thoi.

§8. BA ĐƯỜNG CÔNIC

I. Đường chuẩn của elip và hypebol.

Không chỉ có parabol mới có đường chuẩn, elip và hypebol cũng có đường chuẩn được định nghĩa tương

tự như sau

1. Đường chuẩn của elip.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 187

a. Định nghĩa: Cho [E]:

2 2

x y

a b

  . Khi đó đường thẳng

: 0

   được gọi là đường chuẩn

của elip, ứng với tiêu điểm  

;0 F c  ; Đường thẳng

: 0

   được gọi là đường chuẩn của elip,

ứng với tiêu điểm  

;0 F c .

b. Tính chất: Với mọi điểm M thuộc [E] ta có

   

 

1 2

; ;

M F M F

e e

d M d M

  

 

2. Đường chuẩn của hypebol.

a. Định nghĩa: Cho [H]:

2 2

x y

a b

  . các đường thẳng

: 0

   và

: 0

   gọi là các

đường chuẩn của [H] lần lượt tương ứng với các tiêu điểm  

;0 F c  và  

;0 F c

b. Tính chất: Với mọi điểm M thuộc [E] ta có

   

 

1 2

; ;

M F M F

e e

d M d M

  

 

II. Định nghĩa ba đường cônic

Cho điểm F cố định và đường thẳng  cố định không đi qua F. Tập hợp các điểm M sao cho tỉ số

  ;

M F

d M 

bằng một số dương e cho trước được gọi là ba đường cônic

Điểm F gọi là tiêu điểm,  được gọi là đường chuẩn và e gọi là tâm sai của đường cônic.

Chú ý: Elip là đường cônic có tâm sai 1 e  ; parabol là đường cônic có tâm sai 1 e  ; hypebol là đường

cônic có tâm sai 1 e 

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG 1. Nhận dạng cônic và xác định tiêu điểm, đường chuẩn của các đường cônic.

Câu 1. Xác định tiêu điểm và đường chuẩn của các đường cônic sau

2 2

5 4

x y

  b]

2 2

7 10

x y

  c]

18 y x 

........................................................... .......................................................................

Câu 2. Cho cônic có tiêu điểm   1;1 F  , đi qua điểm   1;1 M và đường chuẩn : 3 4 5 0 x y     .

Cônic này là elip, hypebol hay là parabol?

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 188

........................................................... .......................................................................

3. Bài tập luyện tập.

Bài 3.137: Xác định tiêu điểm và đường chuẩn của các đường cônic sau

2 2

5 4

x y

  b]

2 2

10 3

x y

  c]

8 y x 

Bài 3.138. Cho cônic có tiêu điểm   1;1 F , đi qua điểm   1;3 M và đường chuẩn : 3 4 5 0 x y    

. Cônic này là elip, hypebol hay là parabol?

Bài 3.139. Cho cônic có tiêu điểm   1;2 F , đi qua điểm   0;1 M và đường chuẩn : 1 0 x y     .

Cônic này là elip, hypebol hay là parabol?

DẠNG 2. Viết phương trình đường cônic.

Câu 3. Cho đường thẳng : 1 0 x y     và điểm   1;0 F . Viết phương trình của đường cônic nhận

F làm tiêu điểm và  là đường chuẩn trong mỗi trường hợp sau

a] Tâm sai 3 e  b] Tâm sai

e 

........................................................... .......................................................................

Câu 4. Cho đường thẳng : 1 0 x y     và điểm   1;0 F . Viết phương trình của đường cônic nhận

F làm tiêu điểm;  là đường chuẩn và Tâm sai 1 e 

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 189

........................................................... .......................................................................

Câu 5. Cho điểm

 

0; 3 A và hai đường thẳng : 2 0 x    , ' : 3 0 x y    . Viết phương trình

chính tắc đường elip có A là một đỉnh và một đường chuẩn là 

........................................................... .......................................................................

Câu 6. Cho điểm

 

0; 3 A và hai đường thẳng : 2 0 x    , ' : 3 0 x y    . Viết phương trình

chính tắc đường hypebol có  là một đường chuẩn và '  là tiệm cận.

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 190

........................................................... .......................................................................

3. Bài tập luyện tập.

Bài 3.140. Cho đường thẳng : 2 1 0 x y     và điểm   0;0 F . Viết phương trình của đường cônic

nhận F làm tiêu điểm và  là đường chuẩn trong mỗi trường hợp sau

a] Tâm sai 2 e  b] Tâm sai

e  c] Tâm sai 1 e 

Bài 3.141. Cho điểm  

3;0 A và hai đường thẳng : 3 0 x    , ' : 2 0 x y   

a] Viết phương trình chính tắc đường elip có A là một đỉnh và một đường chuẩn là 

b] Viết phương trình chính tắc đường hypebol có  là một đường chuẩn và '  là tiệm cận.

DẠNG 3. Sự tương giao gữa các đường cônic và với các đường khác.

Câu 7. Cho đường thẳng : 2 0 x y m     , elip [E]:

2 2

6 3

x y

  và hypebol [H]:

2 2

1 8

x y

 

a] Với giá trị nào của m thì  cắt [E] tại hai điểm phân biệt ?

b] Chứng minh rằng với mọi m thì  cắt [H] tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau của [H]

........................................................... .......................................................................

Câu 8. Cho đường thẳng : 2 0 x y m     , elip [E]:

2 2

6 3

x y

  và hypebol [H]:

2 2

1 8

x y

 

Tìm tọa độ giao điểm của [E] và [H]. Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm đó.

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 191

........................................................... .......................................................................

Câu 9. Cho elip [E]:

2 2

16 9

x y

  và điểm I[1; 2]. Viết phương trình đường thẳng đi qua I biết rằng

đường thẳng đó cắt elip tại hai điểm A, B mà I là trung điểm của đoạn thẳng AB.

........................................................... .......................................................................

Câu 10. Cho hypebol [H]:

2 2

4 9

x y

  và hai đường thẳng : 0, ' : 0 x m y m x y       .

Tìm m để  và '  đều cắt [H] tại hai điểm phân biệt

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 192

........................................................... .......................................................................

Câu 11. Cho hypebol [H]:

2 2

4 9

x y

  và hai đường thẳng : 0, ' : 0 x m y m x y       .

Xác định m diện tích tứ giác tạo bởi bốn giao điểm của  , '  và [H] đạt giá trị nhỏ nhất.

........................................................... .......................................................................

Câu 12. Trong mặt phẳng O x y cho parabol [P]:

8 y x  . Đường thẳng  không trùng với trục

O x đi qua tiêu điểm F của [P] sao cho góc hợp bởi hai tia F x và F t là tia của  nằm phía trên trục

hoành một góc bằng

 

90    . Chứng minh rằng  Cắt [P] tại hai điểm phân biệt M, N và tìm tập

hợp trung điểm I của đoạn MN khi  thay đổi.

........................................................... .......................................................................

3. Bài tập luyện tập.

Bài 3.142: Cho [E]:

2 2

9 4

x y

 

a] Xác định m để đường thẳng : d y x m   và [E] có điểm chung

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 193

b] Viết phương trình đường thẳng đi qua   1;1 M và cắt [E] tại 2 điểm A, B sao cho M là trung điểm

của đoạn AB.

Bài 3.143: Cho [E]:

2 2

16 9

x y

  và đường thẳng : 3 4 12 0 x y    

a] Chứng minh rằng  cắt [E] tại 2 điểm phân biệt A, B. Tính độ dài AB

b] Tìm toạ độ C thuộc [E] sao cho A B C  cân tại A[biết hoành độ A bé hơn hoành độ B]

Bài 3.144: Cho [E]:

2 2

9 4

x y

  và hai đường thẳng

2 2

1 2

: 0, : 0, 0 m x n x n x m y m n        

a] Xác định giao điểm M, N của

 với [E] và P, Q của

 với [E]

b] Tính theo m, n diện tích tứ giác M P N Q

c] Tìm điều kiện m, n để diện tích tứ giác M P N Q nhỏ nhất

Bài 3.145: [KB 2010] Trong mặt phẳng tọa độ O x y , cho điểm

 

2; 3 A và elip [E]:

2 2

3 2

x y

  .

Gọi

1 2

, F F là các tiêu điểm của [E] [

F có hoành độ âm]; M là giao điểm có tung độ dương của đường

thẳng

A F với [E]; N là điểm đối xứng của

F qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABF .

Bài 3.146: Cho [H]:

2 2

4 20 x y   và đường thẳng : 3 0 x y   

a] Chứng minh rằng  cắt [H] tại 2 điểm phân biệt A, B. Tính độ dài của đoạn

AB.

b] Tìm toạ độ điểm C thuộc [H] sao cho tam giác AB C có diện tích bằng 4.

c] Lập phương trình đường thẳng d đi qua   0;2 M sao cho d cắt [H] tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho

3 5 0 M A M B  

    

Bài 3.147: Trong mặt phẳng với hệ trục O x y cho Hypebol  

2 2

: 1

4 12

x y

H   và đường thẳng

: 3 2007 0 d x y    . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng  biết rằng  vuông góc với d

và  cắt  

H tại hai điểm , M N thoả mãn 2 10 M N  .

Bài 3.148: Cho [H]:

2 2

x y

a b

  . Một đường thẳng  cắt [H] tại M, N cắt hai tiệm cận tại P,Q. Chứng

minh P M N Q  .

Bài 3.149: Trên mặt phẳng Oxy, cho [E] là một elip di động nhưng luôn nhận hai tiêu điểm của hypebol

[H]:

2 2

5 4

x y

  làm các tiêu điểm và luôn có điểm chung với đường thẳng : 6 0 x y     . Tìm giá

trị bé nhất của độ dài trục lớn của elip [E].

Bài 3.150: Cho [P]:

12 y x  và đường thẳng : 3 0 d m x y m      0 m 

a] Chứng minh rằng với mọi 0 m  , d luôn đi qua tiêu điểm của [P] và cắt [P] tại 2 điểm phân biệt A,

b] Chứng minh rằng đường tròn đường kính AB tiếp xúc với đường chuẩn của [P].

Bài 3.151: Cho [P]:

2 y p x  có tiêu điểm F. Các đường thẳng

1 2

,   qua F và vuông góc với nhau.

 cắt [P] tại , M N ;

 cắt [P] tại , P Q . Chứng minh rằng

M N P Q

S p 

Bài 3.152: Trong mặt phẳng , O x y cho parabol [P]:

2 y x x   và elip [E]:

y   .Chứng minh

rằng [P] cắt [E] tại bốn điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn.Viết phương trình đường tròn đó.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 194

Bài 3.153: Cho [E]:

2 2

9 4

x y

  và điểm   3;2 M . Đường thẳng  đi qua M cắt [E] tại hai điểm phân

biệt A, B sao cho 3 M A M B  , xác định tọa độ các điểm A, B.

Bài 3.154: Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho đường thẳng : 2 3 0 d x y    và elíp

2 2

[ ] : 1.

4 1

x y

E   Viết phương trình đường thẳng  vuông góc với d và cắt [E] tại hai điểm A, B sao

cho diện tích tam giác O AB bằng 1.

Dạng 4. Các bài toán định tính về ba đường cônic.

Câu 13. Trong mặt phẳng O x y cho [E]:

2 2

x y

a b

  và hai điểm M, N thuộc [E] sao cho OM

vuông góc với ON. Chứng minh rằng

2 2 2 2

1 1 1 1

O M O N a b

  

........................................................... .......................................................................

Câu 14. Trong mặt phẳng O x y cho [E]:

2 2

x y

a b

  và hai điểm M, N thuộc [E] sao cho OM

vuông góc với ON. Chứng minh rằng Đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

........................................................... .......................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 195

Câu 15. Cho hypebol [H]:

2 2

x y

a b

  có các tiêu điểm

1 2

, F F . Lấy M là điểm bất kì trên [H].

Chứng minh rằng tích khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là hằng số.

........................................................... .......................................................................

Câu 16. Cho parabol [P]:

2 y ax  . Đường thẳng  bất kỳ đi qua tiêu điểm F có hệ số góc

  0 k k  cắt [P] tại M và N. Chứng minh rằng tích khoảng cách từ M và N đến trục O x là hằng số.

........................................................... .......................................................................

3. Bài tập luyện tập.

Bài 3.155: Cho elip [E]:  

2 2

1 0

x y

a b

    với các tiêu điểm

1 2

, F F và

1 2

, A A là các đỉnh trên

trục lớn của [E]. M là điểm tùy ý trên [E] có hình chiếu trên O x là H. Chứng minh rằng

2 2 2

1 2

. O M M F M F a b   

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – BAN NÂNG CAO |Trang 196

   

2 2

1 2

4 M F M F O M b   

2 2 2

1 2

. 0 a H M b H A H A  

Bài 3.156: Cho elip [E]:  

2 2

1 0

x y

a b

    , tiêu điểm  

;0 F c , một đường thẳng  quay

quanh F, cắt [E] tại M, N. Chứng minh rằng

1 1

FM FN

 không đổi.

Bài 3.157: Cho elip [E]:  

2 2

1 0

x y

a b

    với các tiêu điểm

1 2

, F F . M là điểm chạy trên [E].

Phân giác góc



1 2

F M F cắt

1 2

F F tại N, H là hình chiếu của N trên

M F . Chứng minh rằng MH không đổi.

Bài 3.158: Cho hypebol [H]:

2 2

x y

a b

  với các tiêu điểm

1 2

, F F và

1 2

, A A là các đỉnh trên trục lớn

của [E]. M là điểm tùy ý trên [H] có hình chiếu trên O x là H. Chứng minh rằng

2 2 2

1 2

. O M M F M F a b   

b]    

2 2

1 2

4 M F M F OM b   

2 2 2

1 2

. a H M b H A H A 

Bài 3.159: Cho [H]:

2 2

x y

a b

  với các tiêu điểm

   

1 2

;0 , ;0 F c F c  và đường tròn [C]:

2 2 2

x y a   ,  là một trong hai tiệm cận của [H],  cắt [C] tại

 

1 2

, 0; 0

E E

E E x x   . Một đường

thẳng song song với trục tung cắt [H] tại M và cắt  tại N. Chứng minh rằng

1 1 2 2

; N E M F N E MF   .

Bài 3.160: Cho parabol [P]:  

2 0 y p x p   và đường thẳng  đi qua tiêu điểm F của [P] và cắt [P]

tại hai điểm M và N. Gọi

 

  ; 0 i F M      

   

a] Tính , F M F N theo p và 

b] Chứng minh rằng khi  quay quanh F thì

1 1

FM FN

 không đổi

c] Tìm giá trị nhỏ nhất của tích . F M F N khi  thay đổi

Bài 3.161: Cho parabol [P] có đường chuẩn  và tiêu điểm F. Gọi M, N là hai điểm trên [P] sao cho

đường tròn đường kính MN tiếp xúc với  . Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua F

Bài 3.162: [ĐH 2008D] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y , cho parabol [P]:

16 y x  và điểm

  1;4 A . hai điểm phân biệt B, C [B và C khác A] di động trên [P] sao cho góc



90 BA C  . Chứng minh

rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 3.163: Cho đường tròn đường kính AB tâm O. Một dây cung MN chuyển động và luôn vuông góc

với AB tại H, I là điểm thuộc đoạn HM sao cho . , 0 1 HI k H M k    . Tìm tập hợp điểm I.

Bài 3.164: Trong mặt phẳng toạ độ O x y cho parabol [P]:

4 y x  . M là một điểm di động trên [P].

M O  , T là một điểm trên [P] sao cho , T O O T  vuông góc với OM.

a. Chứng minh rằng khi M di động trên [P] thì đường thẳng MT luôn đi qua một điểm cố định.

b. Chứng minh rằng khi M di động trên [P] thì thì trung điểm I của MT chạy trên 1 parabol cố định.

Bài 3.165: Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho parabol

[ ] : 4 P y x  có tiêu điểm F. Gọi M là điểm thỏa

mãn điều kiện 3 FM FO  

    

; d là đường thẳng bất kì đi qua M, d cắt [P] tại hai điểm phân biệt A và

B. Chứng minh rằng tam giác O AB là tam giác vuông.

Video liên quan

Bài Viết Liên Quan

Toplist mới

Bài mới nhất

Chủ Đề