Bài tập về rút gọn giá trị lượng giác năm 2024
|
VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh Bài tập công thức lượng giác lớp 10 để bạn đọc cùng tham khảo. Các bài tập công thức lượng giác lớp 10 này sẽ giúp các bạn ôn tập và luyện các dạng bài tập về công thức lượng giác, hàm số lượng giác, phương trình lượng giác... Mời quý thầy cô và các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây nhé. Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 10, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 10 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn. Bảng công thức lượng giác dùng cho lớp 10 - 11 - 12 Các công thức lượng giác cần ghi nhớ Phần 1: Hàm số lượng giác
1. Các hằng đẳng thức cơ bản 2. Giá trị của các hàm lượng giác cung liên quan đặc biệt
cos(-x) = cosx sin(-x) = -sinx tan(-x) = -tanx cot(-x) = -cotx
sin(π - x) = sinx cos(π - x) = -cosx tan(π - x) = -tanx cot(π - x) = -cotx
sin(x + 2π) = sin x cos(x + 2π) = cosx tan(x + 2π) = tanx cot(x + 2π) = cotx
sin(x + π) = -sinx cos(x + π) = -cosx tan(x + π) = tanx cot(x + π) = cotx
1. Tìm các giá trị của để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. 2. Xét dấu của các biểu thức sau:
3. Rút gọn các biểu thức sau:
Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn bài Bài tập công thức lượng giác lớp 10. Chắc hẳn qua bài viết bạn đọc đã nắm được những ý chính cũng như trau dồi được nội dung kiến thức của bài học rồi đúng không ạ? Hy vọng với tài liệu này các bạn học sinh sẽ nắm chắc kiến thức vận dụng tốt vào giải bài tập từ đó học tốt môn Toán lớp 10. Chúc các bạn học tốt và nhớ thường xuyên tương tác để cập nhật được nhiều bài tập hay bổ ích nhé
......................................... Ngoài Bài tập công thức lượng giác lớp 10, để giúp bạn đọc có thêm nhiều tài liệu học tập hơn nữa, VnDoc.com mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo thêm tài liệu học tập các môn tại các mục sau đề thi học kì 1 lớp 10, đề thi học kì 2 lớp 10 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu lớp 10 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt Để giúp bạn đọc có thể giải đáp được những thắc mắc và trả lời được những câu hỏi khó trong quá trình học tập. VnDoc.com mời bạn đọc cùng đặt câu hỏi tại mục hỏi đáp học tập của VnDoc. Chúng tôi sẽ hỗ trợ trả lời giải đáp thắc mắc của các bạn trong thời gian sớm nhất có thể nhé. Các dạng toán bài Giá trị góc lượng giác từ 00 đến 1800 giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới. DẠNG 1: TÍNH CÁC GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC • Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc • Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt • Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:
Lời giải
* $\sin \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = \sin \alpha $ * $cos\left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = – cos\alpha $ Ta có: $A = 2\sin ({180^0} – \alpha ) + \sin \alpha + cos({180^0} – \alpha ) + cos\alpha $ $ = 2\sin \alpha + \sin \alpha – cos\alpha + cos\alpha = 3\sin \alpha $
* $\tan \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = – \tan \alpha $ * $\cot \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = – \cot \alpha $ Ta có: $B = 5\tan ({180^0} – \alpha ) + 5\tan \alpha + 3\cot ({180^0} – \alpha ) + \cot \alpha $ $ = – 5\tan \alpha + 5\tan \alpha – 3\cot \alpha + \cot \alpha = – 2\cot \alpha $ Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:
Lời giải
Bài 3. Đơn giản biểu thức sau:
Lời giải
* $\sin \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = \sin \alpha $ hay $\sin \alpha = \sin \left( {{{180}^0} – \alpha } \right)$ * $cos\left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = – cos\alpha $ hay $cos\alpha = – cos\left( {{{180}^0} – \alpha } \right)$ Ta có: $A = sin{100^ \circ } + sin{80^ \circ } + cos{16^ \circ } + cos{164^ \circ }$ $ = sin\left( {{{180} \circ } – {{80} \circ }} \right) + sin{80^ \circ } + cos{16^ \circ } + cos\left( {{{180} \circ } – {{16} \circ }} \right)$ $ = sin{80^ \circ } + sin{80^ \circ } + cos{16^ \circ } – cos{16^ \circ }$$ = 2sin{80^ \circ }$
* $\sin \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = \sin \alpha $ * $cos\left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = – cos\alpha $ * $\cot \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = – \cot \alpha $ Ta có: $B = 2sin\left( {{{180} \circ } – \alpha } \right) \cdot cot\alpha + cos\left( {{{180} \circ } – \alpha } \right) \cdot tan\alpha \cdot cot\left( {{{180}^ \circ } – \alpha } \right)$ $ = 2sin\alpha \cdot cot\alpha + cos\alpha \cdot tan\alpha \cdot cot\alpha $ $ = 2sin\alpha \cdot \frac{{cos\alpha }}{{sin\alpha }} + cos\alpha $$ = 3cos\alpha $ Bài 4. Tính giá trị các biểu thức sau:
Lời giải
$cos17{7^ \circ } = – co\operatorname{s} ({180^0} – {177^0}) = – cos{3^0}$ $cos17{9^ \circ } = – co\operatorname{s} ({180^0} – {179^0}) = – cos{1^0}$ Nên $A = si{n^2}{3^ \circ } + co{s^2}{177^ \circ } + si{n^2}{1^ \circ } + co{s^2}{179^ \circ }$ $ = \left( {si{n^2}{3^ \circ } + co{s^2}{3^ \circ }} \right) + \left( {si{n^2}{1^ \circ } + co{s^2}{1^ \circ }} \right) = 1 + 1 = 2$
$cos\left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = – cos\alpha $ Ta có: $B = \left( {cos{0^ \circ } + cos{{180} \circ }} \right) + \left( {cos{{20} \circ } + cos{{160} \circ }} \right) + \ldots + \left( {cos{{80} \circ } + cos{{100}^ \circ }} \right)$ $ = \left( {cos{0^ \circ } – cos{0^ \circ }} \right) + \left( {cos{{20} \circ } – cos{{20} \circ }} \right) + \ldots + \left( {cos{{80} \circ } – cos{{80} \circ }} \right) = 0$
$\cot ({90^0} – \alpha ) = \tan \alpha $ hay $\tan \alpha = \cot ({90^0} – \alpha )$ Ta có: $C = \left( {tan{5^ \circ }tan{{85} \circ }} \right)\left( {tan1{0 \circ }tan8{0^ \circ }} \right)….\left( {tan4{0^ \circ }tan5{0^ \circ }} \right).\tan {45^0}$ $ = \left( {tan{5^ \circ }cot(9{0^0} – {{85} \circ })} \right)\left( {tan{{10} \circ }cot(9{0^0} – {{80} \circ })} \right) \ldots \left( {tan{{40} \circ }cot(9{0^0} – {{50}^ \circ })} \right).\tan {45^0}$ $ = \left( {tan{5^ \circ }cot{5^ \circ }} \right)\left( {tan1{0^ \circ }cot1{0^ \circ }} \right) \ldots \left( {tan{{40} \circ }cot4{0 \circ }} \right).\tan {45^0} = 1.1…1.1 = 1$ ( Do$\tan \alpha .\cot \alpha = 1$ ) DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC KHI BIẾT TRƯỚC MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC • Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc • Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt • Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản Bài 1. Cho $cos\alpha = – \frac{2}{3}$ và $sin\alpha > 0$. Tính giá trị lượng giác còn lại. Lời giải Ta có $si{n^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1 \Rightarrow si{n^2}\alpha = 1 – co{s^2}\alpha $ $ \Rightarrow sin\alpha = \sqrt {1 – co{s^2}\alpha } = \sqrt {1 – \frac{4}{9}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}$(Do $sin\alpha > 0$) $cot\alpha = \frac{{cos\alpha }}{{sin\alpha }} = \frac{{ – \frac{2}{3}}}{{\frac{{\sqrt 5 }}{3}}} = – \frac{2}{{\sqrt 5 }}$ $tan\alpha cot\alpha = 1 \Rightarrow cot\alpha = \frac{1}{{tan\alpha }} = – \frac{{\sqrt 5 }}{2}$ Bài 2. Cho $sin\alpha = \frac{1}{3}$ với ${90^ \circ } < \alpha < {180^ \circ }$. Tính giá trị lượng giác còn lại. Lời giải Vì ${90^ \circ } < \alpha < {180^ \circ }$ nên $cos\alpha < 0$ Mặt khác $si{n^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1 \Rightarrow co{s^2}\alpha = 1 – si{n^2}\alpha $ suy ra $cos\alpha = – \sqrt {1 – si{n^2}\alpha } = – \sqrt {1 – \frac{1}{9}} = – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$ Do đó: $tan\alpha = \frac{{sin\alpha }}{{cos\alpha }} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{ – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}$ $tan\alpha cot\alpha = 1 \Rightarrow cot\alpha = \frac{1}{{tan\alpha }} = – 2\sqrt 2 $ Bài 3. Cho $tan\alpha = – 2\sqrt 2 $. Tính giá trị lượng giác còn lại. Lời giải Ta có $tan\alpha cot\alpha = 1 \Rightarrow cot\alpha = \frac{1}{{tan\alpha }} = – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}$ Vì $tan\alpha = – 2\sqrt 2 < 0 \Rightarrow cos\alpha < 0$ mặt khác $ta{n^2}\alpha + 1 = \frac{1}{{co{s^2}\alpha }}$ Nên $cos\alpha = – \sqrt {\frac{1}{{ta{n^2} + 1}}} = – \sqrt {\frac{1}{{8 + 1}}} = – \frac{1}{3}$ Ta có $tan\alpha = \frac{{sin\alpha }}{{cos\alpha }} \Rightarrow sin\alpha = tan\alpha \cdot cos\alpha = – 2\sqrt 2 \cdot \left( { – \frac{1}{3}} \right) = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$ Bài 4. Cho $cos\alpha = \frac{3}{4}$ với ${0^ \circ } < \alpha < {90^ \circ }$. Tính $A = \frac{{tan\alpha + 3cot\alpha }}{{tan\alpha + cot\alpha }}$. Lời giải Ta có $A = \frac{{tan\alpha + 3\frac{1}{{tan\alpha }}}}{{tan\alpha + \frac{1}{{tan\alpha }}}} = \frac{{ta{n^2}\alpha + 3}}{{ta{n^2}\alpha + 1}} = \frac{{\frac{1}{{co{s^2}\alpha }} + 2}}{{\frac{1}{{co{s^2}\alpha }}}} = 1 + 2co{s^2}\alpha $ Suy ra $A = 1 + 2 \cdot \frac{9}{{16}} = \frac{{17}}{8}$ Bài 5. Cho góc $\alpha \left( {{0^ \circ } < \alpha < {{180}^ \circ }} \right)$ thỏa mãn $tan\alpha = 3$. Tính giá trị của biểu thức $P = \frac{{2sin\alpha – 3cos\alpha }}{{3sin\alpha + 2cos\alpha }}$. Lời giải Ta có $tan\alpha = 3 \Rightarrow cos\alpha \ne 0$ nên chia cả tử và mẫu của biểu thức $P$ cho $cos\alpha $ ta được $P = \frac{{2sin\alpha – 3cos\alpha }}{{3sin\alpha + 2cos\alpha }} = \frac{{2tan\alpha – 3}}{{3tan\alpha + 2}} = \frac{3}{{11}}.$ Bài 6. Cho $tan\alpha = \sqrt 2 $. Tính $B = \frac{{sin\alpha – cos\alpha }}{{si{n^3}\alpha + 3co{s^3}\alpha + 2sin\alpha }}$ Lời giải Ta có $tan\alpha = 3 \Rightarrow cos\alpha \ne 0$ nên chia cả tử và mẫu của biểu thức $P$ cho $co{s^3}\alpha $ ta $B = \frac{{\frac{{sin\alpha }}{{co{s^3}\alpha }} – \frac{{cos\alpha }}{{co{s^3}\alpha }}}}{{\frac{{si{n^3}\alpha }}{{co{s^3}\alpha }} + \frac{{3co{s^3}\alpha }}{{co{s^3}\alpha }} + \frac{{2sin\alpha }}{{co{s^3}\alpha }}}}$ $ = \frac{{tan\alpha \left( {ta{n^2}\alpha + 1} \right) – \left( {ta{n^2}\alpha + 1} \right)}}{{ta{n^3}\alpha + 3 + 2tan\alpha \left( {ta{n^2}\alpha + 1} \right)}}$ Suy ra $B = \frac{{\sqrt 2 \left( {2 + 1} \right) – \left( {2 + 1} \right)}}{{2\sqrt 2 + 3 + 2\sqrt 2 \left( {2 + 1} \right)}} = \frac{{3\left( {\sqrt 2 – 1} \right)}}{{3 + 8\sqrt 2 }}$. Bài 7. Biết $sinx + cosx = m$
Lời giải
Mặt khác $sinx + cosx = m$ nên ${m^2} = 1 + 2sin\alpha cos\alpha $ hay $sin\alpha cos\alpha = \frac{{{m^2} – 1}}{2}$ Đặt $A = \left| {si{n^4}x – co{s^4}x} \right|$. Ta có $A = \left| {\left( {si{n^2}x + co{s^2}x} \right)\left( {si{n^2}x – co{s^2}x} \right)} \right| = \left| {\left( {sinx + cosx} \right)\left( {sinx – cosx} \right)} \right|$ $ \Rightarrow {A^2} = {(sinx + cosx)^2}{(sinx – cosx)^2} = \left( {1 + 2sinxcosx} \right)\left( {1 – 2sinxcosx} \right)$ $ \Rightarrow {A^2} = \left( {1 + \frac{{{m^2} – 1}}{2}} \right)\left( {1 – \frac{{{m^2} – 1}}{2}} \right) = \frac{{3 + 2{m^2} – {m^4}}}{4}$. Vậy $A = \frac{{\sqrt {3 + 2{m^2} – {m^4}} }}{2}$
Kết hợp với (*) suy ra ${(sinx + cosx)^2} \leqslant 2 \Rightarrow \left| {sinx + cosx} \right| \leqslant \sqrt 2 $ DẠNG 3: RÚT GỌN ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC-CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 1. Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) $A = sin\left( {{{90} \circ } – x} \right) + cos\left( {{{180} \circ } – x} \right) + si{n^2}x\left( {1 + ta{n^2}x} \right) – ta{n^2}x$ Lời giải $A = sin\left( {{{90} \circ } – x} \right) + cos\left( {{{180} \circ } – x} \right) + si{n^2}x\left( {1 + ta{n^2}x} \right) – ta{n^2}x$ $ = cosx – cosx + si{n^2}x \cdot \frac{1}{{co{s^2}x}} – ta{n^2}x = 0$ Bài 2. Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) $B = \frac{1}{{sinx}} \cdot \sqrt {\frac{1}{{1 + cosx}} + \frac{1}{{1 – cosx}}} – \sqrt 2 $ Lời giải $B = \frac{1}{{sinx}} \cdot \sqrt {\frac{{1 – cosx + 1 + cosx}}{{\left( {1 – cosx} \right)\left( {1 + cosx} \right)}}} – \sqrt 2 $ $ = \frac{1}{{sinx}} \cdot \sqrt {\frac{2}{{1 – co{s^2}x}}} – \sqrt 2 = \frac{1}{{sinx}} \cdot \sqrt {\frac{2}{{si{n^2}x}}} – \sqrt 2 $ $ = \sqrt 2 \left( {\frac{1}{{si{n^2}x}} – 1} \right) = \sqrt 2 co{t^2}x$ Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
Lời giải
$\begin{array}{*{20}{r}} {}&{\; = {{\left( {si{n^2}x + co{s^2}x} \right)}^2} – 2si{n^2}xco{s^2}x} \\ {}&{\; = 1 – 2si{n^2}xco{s^2}x} \end{array}$
$ = ta{n^3}x + ta{n^2}x + tanx + 1$ Bài 4. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào $x$.
Lời giải
$A = ta{n^2}x\left( {si{n^2}x – 1} \right) + si{n^2}x$ $ = \frac{{si{n^2}x}}{{co{s^2}x}}\left( { – co{s^2}x} \right) + si{n^2}x = 0$ Vậy $A$ không phụ thuộc vào $x$.
$B = \sqrt {{{\left( {1 – co{s^2}x} \right)}^2} + 6co{s^2}x + 3co{s^4}x} + \sqrt {{{\left( {1 – si{n^2}x} \right)}^2} + 6si{n^2}x + 3si{n^4}x} $ $ = \sqrt {4co{s^4}x + 4co{s^2}x + 1} + \sqrt {4si{n^4}x + 4si{n^2}x + 1} $ $ = \sqrt {{{\left( {2co{s^2}x + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {2si{n^2}x + 1} \right)}^2}} $ $ = 2co{s^2}x + 1 + 2si{n^2}x + 1 = 3$ Vậy $B$ không phụ thuộc vào $x$. Bài 5. Cho tam giác $ABC$. Chứng minh $\frac{{si{n^3}\frac{B}{2}}}{{cos\left( {\frac{{A + C}}{2}} \right)}} + \frac{{co{s^3}\frac{B}{2}}}{{sin\left( {\frac{{A + C}}{2}} \right)}} – \frac{{cos\left( {A + C} \right)}}{{sinB}} \cdot tanB = 2$ Lời giải Vì $A + B + C = {180^ \circ }$ nên $VT = \frac{{si{n^3}\frac{B}{2}}}{{cos\left( {\frac{{{{180}0} – B}}{2}} \right)}} + \frac{{co{s^3}\frac{B}{2}}}{{sin\left( {\frac{{{{180} \circ } – B}}{2}} \right)}} – \frac{{cos\left( {{{180}^ \circ } – B} \right)}}{{sinB}} \cdot tanB$ $ = \frac{{si{n^3}\frac{B}{2}}}{{sin\frac{B}{2}}} + \frac{{co{s^3}\frac{B}{2}}}{{cos\frac{B}{2}}} – \frac{{ – cosB}}{{sinB}} \cdot tanB = si{n^2}\frac{B}{2} + co{s^2}\frac{B}{2} + 1 = 2 = VP$ |
