Bài tập về phương trình mũ logarit có lời giải
|
Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,10,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,75,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,41,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,129,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,congthuctoan,9,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,112,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,279,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá năng lực,1,Đạo hàm,17,Đề cương ôn tập,39,Đề kiểm tra 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,983,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,159,Đề thi giữa kì,20,Đề thi học kì,134,Đề thi học sinh giỏi,126,Đề thi THỬ Đại học,399,Đề thi thử môn Toán,64,Đề thi Tốt nghiệp,45,Đề tuyển sinh lớp 10,100,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,221,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,9,File word Toán,35,Giải bài tập SGK,16,Giải chi tiết,196,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,24,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,4,Giải thưởng Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,18,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,363,Giáo trình - Sách,81,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,206,Hằng số Toán học,19,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,108,Hình học phẳng,91,Học bổng - du học,12,IMO,12,Khái niệm Toán học,66,Khảo sát hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,LaTex,12,Lịch sử Toán học,81,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,57,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,11,MTBT Casio,28,Mũ và Logarit,38,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,49,Nhiều cách giải,36,Những câu chuyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,304,Ôn thi vào lớp 10,3,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,8,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,15,Sách Giấy,11,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến kinh nghiệm,8,SGK Mới,24,Số học,57,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,38,TestPro Font,1,Thiên tài,95,Thống kê,2,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,79,Tính chất cơ bản,15,Toán 10,149,Toán 11,179,Toán 12,391,Toán 9,67,Toán Cao cấp,26,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,100,Toán học Việt Nam,29,Toán THCS,22,Toán Tiểu học,5,toanthcs,6,Tổ hợp,39,Trắc nghiệm Toán,222,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,272,Tuyển sinh lớp 6,8,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp Toán học,109,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28, Show CHỦ ĐỀ MŨ LÔGARIT CHỌN LỌC VD - VDC HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT VÀ BÌNH LUẬN
Câu 1: ( BGD - Đề thi thử nghiệm THPTQG 2017 C20 ) Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ( ) 6 3 .2 0 x x
nghiệm thuộc khoảng (0; 1).
C. ( ) 2;4 D. ( ) 3;. Hướng dẫn. Biến đổi phương trình ( ) ( )6 3. 1 2 6 3. 1 2 x x x x x x m m f x
là hàm số liên tục trên khoảng (0; 1); ( )( ) ( )2 12 ln6 ln 3 6 ln6 3 ln ' 0 1 2 x x x x f x − + + \= > và ( ) () f 0 2, 1 4= = f. Chọn C. Lời bình. Nhìn chung: các bài toán có tham số m nếu "cô lập được m " thì nên giải theo phương pháp trên. Trong nhiều trường hợp ta đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai (hay phương trình đa thức), từ đó biện luận phương trình theo m. Bằng máy tính Casio, ta vào Mode 7 và nhập hàm ( ) f x trên đoạn 0; ta cũng khảo sát được các giá trị của ( ) f x. Câu 2: ( BGD - Đề thi thử nghiệm THPTQG 2017 C21 ) Xét các số thực a b , thỏa mãn a b > > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )2 2 log 3log a b b a P a b \= + bằng
Hướng dẫn. Đặt ( )( ) 2 2 2 1 4 3 log 0;1 3 1 3 1 1 a b t P t t t t = ∈ ⇒ = + − = + − − − . Ta có: ( ) 2 4 3 12 3 1 1 1 12 9 12 12 6 1 1 1 2 1 P t t t t t t t = − + + + ≥− + + = − + + + − − − − 9 12 6. 15 1 1 2 P t t t ≥− + = − + − + . Dấu bằng có 1 3 ⇔ = t ⇒ =min P 15. Chọn D. Lời bình. Trong bài toán có cơ số là phân số thì ta tìm cách khử phân số này đi, bằng công thức đổi cơ số: ( ) ( )( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 log log 2log 1 log log a a a b b b a a a a a a b b \= = = = − . Cần chú ý đến bình phương của logarit mà nhiều học sinh dễ mắc sai lầm. Ở đây ta dùng bất đẳng thức để giải toán, tuy nhiên ta có thể khảo sát hàm số ẩn t ( )( )( ) 2 3 1 4 1 t P t t t − \= + − có dạng bậc hai trên bậc ba, đối với một số học sinh đạo hàm cũng tương đối phức tạp, ngoài ra còn phải tìm nghiệm của đạo hàm, lập bảng biến thiên.. .Như vậy xem như đây bài toán khó nằm ở độ phức tạp và kỹ năng đạo hàm và biến đổi logarit. Câu 3: ( BGD - Đề thi tham khảo THPTQG 2017 C33 ) Cho các số thực a b , 0> thỏa mãn log 3 a b =. Tính log b a a P b \= bằng
Hướng dẫn. Từ giả thiết 3 log 3 a b = ⇒ = b a , khi đó: 3 2 3 2 1 3 log log. 1 3 2 3 2 b a a a a a P b a − \= = = = + − . Chọn B. Lời bình. Cách giải trên khá cơ bản, tức là dùng phép thế để biến đổi logarit theo a , kết quả không phụ thuộc vào a b , 0>. Bằng máy tính Casio ta có thể chọn cặp a b , 0, 1> ≠ a tùy ý để tính. Ở đây cần đòi hỏi kỹ năng biên đổi cơ số, hay là công thức ( )log log a a b b β α α β \=. Bài toán ở mức VD. Câu 4: ( BGD - Đề thi tham khảo THPTQG 2017 C45 ) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc 2017; − để phương trình ( ) ( ) log mx =2log x + 1 có nghiệm duy nhất?
Hướng dẫn. Điều kiện x > − ≠1, x 0. Phương trình trở thành ####### ( ) ( ) 2 1 mx x 1 m x 2 f x x \= + ⇒ = + + = ( ) 2 2 1 ' 0 1 x f x x x − ⇒ = = ⇔ = ±. Ta có bảng biến thiên: Câu 6: ( Đề thi chính thức THPTQG 2017 M101 C42 ) Cho log 3,log 4 a b x = x = với a b , các số thực lớn hơn 1. Tính log ab P = x bằng A. 7 . 12 P = B. 1 . 12 P = C. P =12. D. 12 . 7 P = Hướng dẫn. Biến đổi P theo giả thiết, ta có: 1 1 1 1 12 log log log log 1 1 1 1 7 log log 3 4 ab x x x a b P x ab a b x x \= = = = = = . Chọn D. Lời bình. Trên đây là bài toán dễ, tương tự câu 3 , chủ yếu là công thức đổi cơ số. Ta cũng có thể giải theo phương pháp thế theo a , chẳng hạn: 3 3 4 4 log 3,log 4 a b x = x = ⇒ = = ⇒ = x a b b a , khi đó ( )3 7 4 4 3 3 . 4 12 log log log 3. 7 7 ab a a a P = = x a = a = =. Mặt khác để không phải biến đổi nhiều thì ta cho 4 3 12 a m b m = = ⇒ =, x m (lấy các giá trị đổi làm số mũ cho nhau, 0 < ≠ m 1 ), khi đó 7 ab m = và dễ dàng có 12 7 P = . Câu 7: ( Đề thi chính thức THPTQG 2017 M101 C47 ) Xét các số thực dương x y , thỏa mãn 3 1 log 3 2 4 2 xy xy x y x y − \= + + − . Tìm giá trị nhỏ nhất min P của P x y = +. A. min 9 11 19 . 9 P − \= B. min 9 11 19 . 9 P \= C. min 18 11 29 . 21 P − \= D. min 2 11 3 . 3 P − \= Hướng dẫn. Biến đổi ( ) 3 3 3 3 1 log 1 3 3 2 log log log 2 xy u xy x y u v u u v v x y v −
Hàm số () 3 f t t = +log t đồng biến nên suy ra u v = ⇔ − = +3 3 xy x y 2 , dùng phép thế, ta có: ( ) ( ) ( ) 2 3 3− − = + − ⇒ − − + − = x P x x 2 P x 3 x 3 1 P x 3 2 P 0. Sử dụng điều kiện có nghiệm ( ) ( ) 2 2 2 11 3 3 1 12 3 2 0 9 18 35 0 3 P P P P P − − − − ≥ ⇒ + − ≥ ⇒ ≥. Chọn D. Lời bình. Trên đây ta bỏ qua các điều kiện của x y , , nghiễm nhiên xem như chúng tồn tại và giải để có đáp số đúng là được. Nếu đáp án đưa ra một phương án lựa chọn khó hơn là: Không tồn tại , khi đó ta cần lập luận chặt chẽ để có kết luận đúng. Chẳng hạn cần có điều kiện , 0 1 x y xy > < và kiểm tra xem dấu bằng xảy ra khi nào? Có thỏa mãn điều kiện hay không? Mặt khác: các bài toán cho 1 phương trình hai ẩn thì thường xuyên giải theo PP đánh giá hay PP hàm số. Cách khác là đưa về một biến để đánh giá hay khảo sát, chẳng hạn: 3 3 2 x y x − \= thế vào P, ta có ####### ( ) 11 3 2 3 11 3 3 3 2 3 2 11 3 3 2 3 2 3 2 x x P x P x x x x x − + − \= + ⇒ = + = + + − ≥ − , từ đó suy ra min 2 11 3 11 2 11 1 3 2 11 , 3 3 3 P x x y − − − \= ⇔ + = ⇔ = = (thỏa mãn xy < 1 ) Chọn D. Câu hỏi đặt ra là: Có thể giải bài toán trên bằng máy tính Casio được không? Câu trả lời là được. Vì yêu cầu tìm GTNN nên đầu tiên ta kiểm tra xem trong 4 phương án thì số nào nhỏ nhất? Và ta thử từ đáp án nhỏ nhất trước tiên, lần lượt là A ≈ < ≈ < ≈1,2 D 1,22 C 1,46, nhập phương trình như sau: ( )( )( ) ( ) ( )3 1 1. log 3 1 2 1 4 2 1. X X X X X X X X − − − − + + − −
rồi bấm Shift Solve, máy hỏi X ta nhập 0 và bấm Shift Solve máy báo lỗi. Sửa thành 1 rồi giải lại máy cho đáp số X ≈0. Vậy chọn D. Tuy nhiên nếu có phương án Không tồn tại thì coi chừng! Câu 8: ( Đề thi chính thức THPTQG 2017 M102 C31 ) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 1 4 2 0 x x m − + = có hai nghiệm thực phân biệt. A. ( ) m ∈ −∞;1. B. ( ) m ∈ +∞0;. C. ( m 0;. ∈ D. ( ) m ∈ 0;. Hướng dẫn. Đặt 2 0 x \= > t ta có phương trình 2 t − + = 2 t m 0 . Để phương trình có hai nghiệm phân biệt và dương thì ####### ( ) 1 2 ' 1 0 0; 0 m m t t m ∆ = − > ⇔ ∈ = > . Chọn D. Lời bình. Bài toán bậc hai khá đơn giản, bởi vậy không cần thiết "cô lập m " là 2 m = − + t 2 t rồi khảo sát hàm số () f t , như thế lại trở nên phức tạp hơn. Nói cách khác: chúng ta có thể cô lập m để khảo sát hàm số nhưng không nhất định phải áp dụng "cứng nhắc" để làm cho vấn đề phức tạp hay rắc rối hơn. Đây là điều mà chúng ta có thể nhắc nhở cho học sinh về "sự linh hoạt" trong giải toán thông qua các ví dụ đơn giản, quan trọng hơn là: GV cần làm cho HS tự nhận xét và rút ra kinh nghiệm cho mình. Không phải cả thầy và trò giải xong bài toán là xong! Như thế giờ học có lẽ thành công hơn chăng? Để giải ta cũng "đặc biệt" cho x = 1 là được đáp án. Nói cách khái quát hơn: khi mà giả thiết đặc biệt hóa thì ta cũng đặc biệt hóa theo giả thiết để giải toán. Câu 12: ( Đề thi chính thức THPTQG 2017 M103 C42 ) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2 2 2 log x − + − <2log x m 3 2 0 có nghiệm thực.
2 . 3 m < C. m <0. D. m ≤1. Hướng dẫn. Đặt ( ) 2 2 2 log x t t = ⇒ − + − < ⇒ − < −2 3 2 0 t m t 1 3 3 m. Để bất phương trình có nghiệm thì ta có 3 3− > ⇔ < m 0 m 1. Chọn A. Lời bình. Đây là minh chứng cho nhận xét trong câu 11 , khi cho t = 1 ta sẽ có đáp án đúng. Ngoài ra ta cũng lưu ý là: hàm số logarit có tập giá trị ℝ nên không cần điều kiện cho t trong trường hợp này, khi mà không có các điều kiện khác như mẫu thức, căn bậc chẵn, ... vì 2 log x t = 2 0 t ⇔ = > x , miễn sao tồn tại t sẽ cho ta x tương ứng và dương. Một số học sinh có thể sẽ đặt điều kiện cho x trước tiên x > 0 là đúng nhưng không cần thiết. Câu 13: ( Đề thi chính thức THPTQG 2017 M103 C50 ) Xét hàm số ####### ( ) 2 9 9 t t f t m \= với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho ( ) ( ) f x f y + = 1 với mọi số thực x y , thỏa mãn ( ) x y e e x y ≤ +. Tìm số phần tử của S.
Hướng dẫn. Trước hết ta xét hàm số () () () ' 0 1; '' 0 t t t g t e et g t e e = − ⇒ = − = ⇔ = t g t e = >. Từ đó suy ra t = 1 là điểm cực tiểu của ####### () g t , hay ####### () () 1 0, , t g t g ≥ = ∀ ∈ ⇔ ≥ ∀ ∈ t ℝ e et t ℝ. Vậy giả thiết ( ) x y e e x y ≤ + xảy ra khi và chỉ khi x y + = 1. Tiếp theo ta có phương trình: ( ) ( ) f x f + − = ∀ ∈ 1 x 1, x ℝ 1 2 1 2 9 9 1, 9 9 x x x x x m m − − ⇔ + = ∀ ∈ ℝ. Đặc biệt cho x = 1 , ta được 2 2 9 1 1 9 m 1 m
2 2 4 2 2 2 1 9 3 1 9 m m m m m m m ⇒ = ⇒ + = + ⇒ = ± . Thử lại với 2 m = 3 thì 1 1 9 9 9 9 9 3 1, 9 3 9 3 9 3 9 3 9 3 3 9 x x x x x x x x x x x − −
ℝ Vậy { }S = −3; 3. Chọn D. Lời bình. Chúng ta chỉ có thể xuất phát từ giả thiết cuối ( ) x y e e x y ≤ + để giải toán, mong tìm mối liên hệ giữa x và y vì hệ thức ( ) ( ) f x f y + = 1 là một phương trình hai ẩn và còn có tham số. Trong quá trình giải toán có tham số thì nhiều khi ta đổi vài trò ngược lại: tham số là ẩn cần tìm, các ẩn chính lại xem như tham số thỏa mãn điều kiện nhất định. Câu hỏi là: Chúng ta có thể giải (hay mò) bài toán bằng máy tính Casio hay không? Câu trả lời là được. Xuất phát từ điều kiện đặc biệt khi cho dấu bằng xảy ra ( ) 0 X Y e e X Y − + = , dùng Shift Solve khi máy hỏi Y, ta cho Y tùy ý, chẳng hạn Y = 1, tìm được X = 0. Sau đó nhập điều kiện 2 2 9 9 1 , 9 9 X Y X Y M M M
Shift Solve nhập M = 0 tìm được M = 1,7320508..à Shift Solve nhập M = - 0 tìm được M = -1,7320508...(nhớ là để X, Y cố định). Vậy m = ± 3. Câu 14: ( Đề thi chính thức THPTQG 2017 M104 C31 ) Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 1 9 2 0 x x m − + = có hai nghiệm thực 1 2 x x , thỏa mãn 1 2 x x + = 1.
Câu 15: ( Đề thi chính thức THPTQG 2017 M104 C40 ) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ( )2 y = − + +log x 2 x m 1 có tập các định là ℝ.
1 . 0 m m <− \>
Câu 16: ( Đề thi chính thức THPTQG 2017 M104 C46 ) Xét các số nguyên dương a b , sao cho phương trình 2 a x b x ln + + =ln 5 0 có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x , và phương trình 2 5log x b x a + + =log 0 có hai nghiệm phân biệt 3 4 x x , thỏa mãn 1 2 3 4 x x x x > . Tìm giá trị nhỏ nhất min S của S a b = +2 3. A. min S =30. B. min S =25. C. min S =33. D. min S =17. Hướng dẫn. Điều kiện để cả hai phương trình có các nghiệm phân biệt là 2 2 ∆ = − > ⇔ > b 20 0 a b 20 a. Đến đây ta sử dụng định lý Viet và giả thiết: 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x > ⇒ + > +ln x ln x ln x ln x hay đổi cơ số vế phải là 3 4 1 2 log log 5 ln ln .ln10 2, log 5 ln x x b b x x a e a
. Vì a ∈ℕ nên min a = 3. Mà 2 b > =20 60 a nên min b = 8. Suy ra min S =30. Chọn A. Lời bình. Vì thi trắc nghiệm nên ta bỏ qua một số lập luận là a b , ∈ ∆>ℕ, 0 nên các nghiệm 1 2 x x , ####### ( ) ( )2 9 18 2 18 1 10 1 1 1 1 1 2 log u 2 log u 1 log 10 u log .2 u 0 10 u 2. u u 10. −
Suy ra 18 1 100 18 99 2 10 .2 5 2 5 18 99log 5 247, n n n u n − − − \= > ⇔ > ⇒ > + ≈. Vậy số n nhỏ nhất là 248. Chọn B. Lời bình. Đối với một số học sinh thấy "biểu thức cồng kềnh" có thể sinh ra tâm lí "e ngại" trong giải toán. Vì thế để tránh tâm lí này thì giáo viên có thể lấy bài trên hay các bài tương tự để rèn luyện cho các em, điều quan tâm hơn là: chúng ta nhấn mạnh các bước giải một cách " tường minh " thì các em không còn "đáng ngại" với dạng toán trên:
Trên đây cũng là các kiến thức và kỹ năng có liên quan được phối hợp trong bài toán. Để rèn luyện cho HS, ta có thể lấy các dãy đơn giản, phương trình vô tỉ nhẹ nhàng, giảm bớt điều kiện. Câu 20 (Đề thi chính thức THPTQG 2018 M101 C34). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình 1 2 16 .4 5 45 0 x x m m − + − = có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?
. B. 3 . C. 6 . D. 4 . Hướng dẫn. Đặt 4 0 x \= > t ta có phương trình bậc hai 2 2 t − + − = 4 mt 5 m 45 0, để có hai nghiệm dương phân biệt thì ta có thể sử dụng các điều kiện về tổng, tích và delta dương, tuy nhiên ta biến đổi tiếp: ####### ( ) 2 2 t m − = − 2 45 m suy ra điều kiện ####### { } 2 2 45 0 4;5; 5 45 0, 4 0 m m m m − > ⇒ ∈ − > > . Chọn B. Câu 21 (Đề thi chính thức THPTQG 2018 M101 C44). Cho a > 0 , b > 0 thỏa mãn ( ) ( )2 2 3 2 1 6 1 log 9 1 log 3 2 1 2 a b ab a b a b
a b + 2 bằng
7 2 . D. 5 2 . Hướng dẫn. Để cho gọn ta ký hiệu m a b = + + >3 2 1 1 và có ( )( ) 2 2 1 log 9 1 2 log 6 1 m m a b ab
. Đây là phương trình hai ẩn nên ta đánh giá: ( )2 2 9 a b + + ≥ +1 6 ab 1 từ đó ta có: ( )( )( )( ) 2 2 1 1 2 log 9 1 log 6 1 2 log 6 1 log 6 1 m m m m a b ab ab ab \= + + + ≥ + + ≥ , dấu bằng có khi và chỉ khi ####### ( ) 2 2 1 9 3 2 6 1 3 2 1 3 log 6 1 1 2 m a a b a b ab m a b ab b = = = ⇔ ⇔ + = = + + + = = . Chọn C. Câu 22 (Đề thi chính thức THPTQG 2018 M101 C46). Cho phương trình ( ) 5 5 log x
m ∈ −20;20 để phương trình đã cho có nghiệm?
Hướng dẫn. Nhận xét phương trình vừa chứa logarit, vừa chứa mũ nên ta chuyển về biến trung gian: Đặt ( ) 5 log 5 5 t t x m t x m − = ⇔ − = ⇔ = + x m. Thay vào phương trình ta có 5 x
ta được hệ phương trình 5 5 5 5 5 5 t t x x t x x m x t x t t m = + ⇒ − = − ⇒ + = + = + . Mà hàm số ( ) 5 x f x x = + đồng biến (vì ( ) ' 1 5 ln 5 0 x f x = + > ) suy ra 5 x x t x m = ⇒ = + hay ta có ( ) 5 x m x = − = g x. Ta có ( ) ( ) 5 ' 1 5 ln5 0 log ln x g x = − = ⇔ =− x = α , ( ) ( ) 2 '' 5 ln x g x =− nên α là điểm cực đại của ( ) g x. Từ đó ta có ( ) m g ≤ ≈ − α 0,9 suy ra { } m ∈ − − −19; 18;...; 1. Vậy chọn B. Lời bình Đây là bài toán khá dài, ta phải chuyển về hệ đối xứng loại II. Sau đó sử dụng PP hàm số để giải vòng quanh hai lần. Các câu khác của các mã đề thi năm 2018 giải tương tự. Câu 23 (Đề thi chính thức THPTQG 2018 M102 C35). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình 1 2 25 .5 7 7 0 x x m m − + − = có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?
Câu 24 (Đề thi chính thức THPTQG 2018 M102 C37). Cho a > 0 , b > 0 thỏa mãn ( ) ( )2 2 10 3 1 10 1 log 25 1 log 10 3 1 2 a b ab a b a b
a b + 2 bằng A. 5 2 . B. 6. C. 22. D. 11 2 . Câu 25 (Đề thi chính thức THPTQG 2018 M102 C45). Cho phương trình ( ) 3 3 log x
m ∈ −15;15 để phương trình đã cho có nghiệm?
Câu 26 (Đề thi chính thức THPTQG 2018 M103 C33). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao chho phương trình 1 2 4 .2 2 5 0 x x m m − + − = có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?
Câu 27 (Đề thi chính thức THPTQG 2018 M103 C37). Cho a b > >0, 0 thỏa mãn ( ) ( )2 2 4 5 1 8 1 log 16 1 log 4 5 1 2 a b ab a b a b
. Giá trị của a b + 2 bằng
27 4 . D. 20 3 . suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 1; 1 max g x g 1 f 1 e − < − = − − , từ đó ( ) ( ) ( ) 1 , 1;1 1 e g x m x < ∀ ∈ − ⇒ ≥ − − m f. Vậy chọn C. Lời bình: Có thể nhiều học sinh sẽ chọn đáp án B , vì giả thiết ( ) x ∈ −1;1 không có dấu bằng. Chúng ta cần phân tích và chỉ ra cho các em thấy được là: m có thể bằng a , nhưng ( ) g x a < thì bất đẳng thức ( ) g x m < vẫn đúng. Câu 34 (Đề thi chính thức THPTQG 2019 M101 C39). Cho phương trình ( ) 2 9 3 3 log x −log 3 1 x − =−log m ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm
Hướng dẫn. Điều kiện 1 3 x >. Khi đó ta có ( ) 3 3 3 3 log log log 3 1 log 3 1 x m x x x − = − − = − hay là 1 3 1 1 1 3 , 0 3 3 1 3 x x m x m m x x x − \= ⇔ = = − > ⇒ < < − . Vì m nguyên nên chọn A. Câu 35 (Đề thi chính thức THPTQG 2019 M101 C50). Cho phương trình ( )2 2 2 4 log log 5 7 0 x x + − − = x m ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt
Hướng dẫn. Trước hết ta xét phương trình: 2 2 5 2 2 4 2 log 1 2 4 log log 5 0 5 log 2 4 x x x x x x α − \= =
\=− \= = (*). Và 7 7 0 log , x − = ⇒ = m x m m ∈ℕ. Đến đây theo yêu cầu bài toán ta xét: 7 log 2 49 7 0 x m m m α = = ⇔ = − < Hoặc { } 7 0 log 2 3;4;5;...; 7 0 x m m m α < = < ⇔ ∈ − < . Vậy { } m ∈ 3;4;5;...;48;49. Chọn B. Nhận xét: Các câu khác của các mã đề thi năm 2019 ta giải tương tự. Câu 36 (Đề thi chính thức THPTQG 2019 M102 C37). Cho phương trình ( ) 2 9 3 3 log x −log 6 1 x − =−log m ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm?
Câu 37 (Đề thi chính thức THPTQG 2019 M102 C47). Cho phương trình ( )2 2 2 2log 3log 2 3 0 x x − x − − = m ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?
Câu 38 (Đề thi chính thức THPTQG 2019 M103 C36). Cho phương trình ( ) 2 9 3 3 log x −log 5 1 x − =−log m ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm
Câu 39 (Đề thi chính thức THPTQG 2019 M103 C46). Cho phương trình ( )2 3 3 2log log 1 5 0 x x − − − = x m ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt?
Câu 40 (Đề thi chính thức THPTQG 2019 M104 C36). Cho phương trình ( ) 2 9 3 3 log x −log 4 1 x − =−log m ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm?
Câu 41 (Đề thi chính thức THPTQG 2019 M104 C48). Cho phương trình ( )2 3 3 2log log 1 4 0 x x − − − = x m ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt
II. CÁC BÀI TOÁN CỦA CÁC TRƯỜNG THPT Câu 42: Cho ( ) 9 12 16 log x = =log y log x y +. Giá trị của tỉ số x y là A. 3 5 . 2 − B. 3 5 . 2 C. 5 1 . 2 − D. 1 5 . 2 − − Hướng dẫn. Đặt ( ) 9 12 16 log log log 9 , 12 , 16 t t t x = = y x y t x + = ⇒ = = + = y x y. Ta cần tính 3 4 t x y \= . Mà ta có 2 3 3 3 1 5 9 12 16 1 0 4 4 4 2 t t t t t t − +
. Chọn C. Câu 43: Xét các số thực dương a b , thỏa mãn ( ) 12 1 9 5 log a = =log b log a b +. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. ( ) 3;. a b ∈ B. ( ) 0;. a b ∈ C. ( ) 2;. a b ∈ D. ( ) 9;. a b ∈ Hướng dẫn. Giải tương tự câu 42. Câu 44: (THTT – 477) Nếu 2 8 4 log a + =log b 5 và 2 4 8 log a + =log b 7 thì giá trị của ab bằng A. 9
18
Hướng dẫn. Đặt 2 2 log ,log 2 x y a x b y ab \= = ⇒ =. Mặt khác ta có hệ: 1 5 6 3 1 3 7 3 x y x y x y
⇔ =
. Chọn A. Câu 45: Gọi x , y là các số thực dương thỏa mãn ( ) 9 6 4 log x = = +log y log x y và 2 x a b y − + \= , với a , b là hai số nguyên dương. Tính a + b
Câu 51. Biết phương trình 2 1 1 3 log (3 3 1) x x x − − − + = có hai nghiệm 1 2 x x , (với 1 2 x x < ). Tính giá trị của biểu thức 1 2 3 3 x x P = −.
Hướng dẫn. Phương trình tương đương với 2 2 1 1 .3 .3 1 3 3 4 3 0 3 3 x x x x x − + = ⇔ − + =. Đặt 3 0 x \= > t 2 1 2 ⇒ − + = ⇒ = = t 4 3 0 t t 1, t 3 . Ta có 1 2 1 2 3 3 1 3 x x P = − = − = − t t. Chọn A. Câu 52. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ( )( )2 9 3 3 2 log x =log .log 2 1 1 x x + − bằng
Hướng dẫn. Biến đổi phương trình tương đương với ( )( )2 3 3 3 1 log log .log 2 1 1 2 x = x x + − ( ) ( )3 2 2 3 3 log 0 1 1 2 2 1 2, 0 log log 2 1 1 2 1 1 , 0 x x x x x x x x x x x \= = \= ⇔ ⇔ ⇔
2 1 1 4 0, 0 4 x x x x x x \= = ⇔ ⇔ − = > = . Chọn D. Câu 53. Cho phương trình ( )2 2 2 2 3 3 2 3 1 3 1 9 3 3 3 6 18 x x x x x x − − − + − + − = − + −. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng
Hướng dẫn. Đặt ( ) ( )( )2 3 2 2 2 3 3 0, 3 3 6 18 6 3 0 3 x a a x b b a a a a b a a b b − \= \= > = ⇒ − = − + − ⇔ − − − = ⇒ \= 2 2 3 1, 0 9 9 x x x x x \= − = > ⇒ ⇒ \= . Chọn C. Câu 54. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ( ) ( )9 2 5 .3 9 2 1 0 x x − + + + = x x bằng
Hướng dẫn. Đặt ( ) ( )( )2 9 3 0,2 1 9 9 0 9 0 x a a x b a b a b a a b a b \= \= > + = ⇒ − + + = ⇔ − − = ⇒ \= 2 2 2 1 3 0, 1 x x x x x x \= = ⇒ ⇒
. Chọn A. Lưu ý: Để giải phương trình 2 1 3 x x + = ta cần khảo sát hàm số ( ) 3 2 1 x f x = − − x. Câu 55. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 3 3 2 2 2 3 3 3 3 2 0 x x x x x x − + + − + − + = bằng
Hướng dẫn. Biến đổi phương trình tương đương với 3 3 0 3 3 u v u v − + − = ⇔ + = + ⇔ = u v u v u v 3 2 3 2 0 1 x x x x \= − ⇔ − + = ⇔ \= . Chọn C. Câu 56. Phương trình ( ) ( )2 2 2 log 3 1 2log 3 1 3 0 x x − + − − = có 2 nghiệm 1 x ; 2 x 1 2 ( x < ) x và 1 2 3 log a x x b − = với a, b ∈ℤ, b > 0 và a b là phân số tối giản. Tính a b −.
Hướng dẫn. Đặt ( )2 1 1 3 2 2 2 3 9 1 3 log 3 1 log 3 1 2 3 0 8 8 1 3 1 2 log 3 x x x t x t t t t x \=− = = + − = ⇒ + − = ⇔ ⇔ ⇔ = + = Suy ra 1 2 3 3 9 3 log log 5 8 8 x x a b − = = ⇒ − =− . Chọn A. Câu 57. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ( ) 3 1 7 7 2log 6 5 1 x x − − − = bằng A. 3 . B. 2 . C. 0. D. 7. Hướng dẫn. Biến đổi phương trình tương đương với ( ) 1 7 7 6log 6 5 1 x x − − − =. Đặt ( ) ( ) 7 1 ,log 6 5 6 5 7 6 1 1 7 1 7 6 v v v x − = u x − = ⇒ − = ⇔ − + = ⇒ = − v x x u ta có phương trình 7 6 7 6 7 6 7 6 u v u v − = − ⇔ + = + v u u v. Hàm số () 7 6 t f t = + t đồng biến trên ℝ nên từ ( ) ( ) f u f v = ⇔ = u v 1 7 6 u ⇔ = − u. Hàm số () 7 6 t g t = − t có ( ) ( ) ( ) 2 0 7 6 ' 7 ln7 6 0 log ; '' 7 ln 7 0 ln 7 t t g t t g t \= − = ⇔ = = > do đó 0 t là điểm cực tiểu, ngoài ra ( ) () g 0 = = g 1 1 nên phương trình 1 7 6 u \= − u có đúng hai nghiệm u = =0, 1 u ⇔ = = x 1, 2 x. Chọn A. Câu 58: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng ( ) −40;40 để hàm số sau ( ) ( ) 2 2 2 2 log 4 2 4 x y x m x m x m \=
xác định với mọi ( ) x ∈ +∞2;?
Hướng dẫn. Xét hàm số ( ) ) ( )2 2020 , 0; ' 2020 ln2020 1 2 x x x f x x m x f x x \= − − − ∈ +∞ ⇒ = − − và ( ) ( )2 '' 2020 ln2020 1 0, 0 x f x = − > ∀ ≥ x nên hàm số ( )f x ' đồng biến trên )0; +∞ , suy ra: ( ) ( )f x f ' ≥ >' 0 0 do đó ( )f x đồng biến trên )0; +∞ . Do đó ( ) ()min f x f = = −0 1 m. Vậy ( )( )2020 y =log f x xác định với mọi x thuộc )0; +∞ khi 1 − > ⇔ < m 0 m 1. Chọn B. Lời bình: Bài toán trên ta dùng đạo hàm cấp cao để xét dấu đạo hàm cấp thấp, trong đó là xét tính đơn điệu của hàm số. Câu 63: Cho hàm số ( )( )3 2 2 log 1 x f x e m x mx − \= − + −. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình ( ) ( )f x f x + − ≥ 0 đúng với ∀ ∈ x ℝ?
Hướng dẫn. Xét bất phương trình: ( ) ( )f x f x + − ≥ ∀ ∈0, x ℝ ( ) ( )3 3 2 2 2 2 log 1 log 1 0 x x e e m x mx m x mx − ⇔ + − + − − + + ≥ , ∀ ∈ x ℝ (1).
( )( )2 2 2 2 1 0 1 0 , , 1 0 1 0 m x x m x mx x x m x mx m x x + − >
∀ ∈ ⇔ ∀ ∈
ℝ ℝ (*).
2 2 x + > = ∀ ∈ 1 x x x , ℝ nên từ (*) suy ra m > 0. Khi đó (1) ( )( )( )2 2 2 3log 1 1 0 x x e e m x mx m x mx − ⇒ + − + − + + ≥ , ∀ ∈ x ℝ ( ) ( ) ( )2 1 2 3log 0, log , 3 x x x x e e m x m e e x − − ⇒ + − ≥ ∀ ∈ ⇒ ≤ + ∀ ∈ℝ ℝ (2). Mà ta có ( )
x x x x e e e e − −
3 2 log 0 100 3 m ≤ ⇒ < ≤ m. Yêu cầu m nguyên nên ta được { }m ∈ 1;2;3;4. Chọn B. Câu 64: (THPT Chuyên ĐH Vinh) Cho số thực m và hàm số ( )y f x = liên tục trên ℝ, có đồ thị như hình bên. Phương trình ( )2 2 x x f m −
nhiêu nghiệm thuộc đoạn 1; − ?
Hướng dẫn. Trước hết ta đặt 1 2 ; 1;2 ; 2 x u x u \= ∈ − ⇒ ∈ , tiếp theo ta đặt 1 2 2 x x t u u − \= + = + , ta có: ( ) 2 1 t u ' 1 0 u 1 u \= − = ⇔ = , suy ra 17 2; 4 t ∈ . Bây giờ xét phương trình () f t m = với 17 2; 4 t ∈ . Từ đồ thị suy ra phương trình này có nhiều nhất hai nghiệm t. Trở về ẩn x ta có phương trình ( )2 2 2 4 2 1 2 2 2 .2 1 0 2 4 2 2 x x x x x x t t t t t t
\= = + ⇔ − + = ⇒ − − \= suy ra có nhiều nhất 4 nghiệm x. Chọn C. Câu 65. Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình ( ) 2 f 2log x m = có nghiệm duy nhất trên 1 ; 2 .
Hướng dẫn. Đặt ) 2 1 2log ; ;2 2; 2 x t x t = ∈ ⇒ ∈ − và với mỗi t cho ta một giá trị duy nhất 2 t x =. Bây giờ ta xét () ) f t m t , 2; \= ∈ − có nghiệm t duy nhất khi 6 2 2 m m \= − ≤ ≤ Suy ra các giá trị nguyên của m là { } m ∈ − −2; 1;0;1;2;6. Chọn B. Câu 66. Cho hàm số ( ) y f x = có bảng xét dấu của đạo hàm ( ) f x ' như sau: Hàm số ( ) ( ) 3 2 1 2 3 1 3 2 4 x x x y g x f x e − + − \= = − − đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( )1;3. B. ( ) 3;+∞. C. ( )−∞;1. D. 7 1; 2 . |
