Soạn hình học 10 bài 3: Phương trình đường elip Trang 85
Chuyên mục: : Soạn hình học lớp 10
Bài học giới thiệu nội dung: Phương trình đường elip. Một kiến thức không quá khó song đòi hỏi các bạn học sinh cần nắm được phương pháp để giải quyết các bài toán. Dựa vào cấu trúc SGK hình học lớp 10, Hocthoi sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập 1 cách chi tiết, dễ hiểu. Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn.
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa đường elip
Định nghĩa: Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định \[F_1\] và \[F_2\]
Elip là tập hợp các điểm \[M\] sao cho tổng \[F_1M +F_2M = 2a\] không đổi.
Các điểm \[F_1\] và \[F_2\] gọi là tiêu điểm của elip.
Khoảng cách \[F_1F_2= 2c\] gọi là tiêu cự của elip.
2. Phương trình chính tắc của elip
Cho elip có tiêu điểm \[F_1\] và \[F_2\] chọn hệ trục tọa độ \[Oxy\] sao cho \[F_1[-c ; 0]\] và \[F_2[c ; 0]\]. Khi đó người ta chứng minh được:
\[M[x ; y] \in\] elip \[\Rightarrow\frac{x^{2}}{a^{2}}\] + \[\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\] [1]
trong đó: \[b^2= a^2– c^2\]
Phương trình [1] gọi là phương trình chính tắc của elip
3. Hình dạng của elip
Xét elip \[[E]\] có phương trình [1]:
a] Nếu điểm \[M[x; y]\] thuộc \[[E]\] thì các điểm \[M_1[-x ; y] M_2[x ;- y]\] và \[M_3[-x ; -y]\] cũng thuộc \[[E]\].
Vậy \[[E]\] có các trục đối xứng là \[Ox, Oy\] và có tâm đối xứng là gốc \[O\].
b] Thay \[y = 0\] vào [1] ta có \[x = ±a\] suy ra \[[E]\] cắt \[Ox\] tại hai điểm \[A_1[-a ; 0] A_2[a ;0]\].
Tương tự thay \[x = 0\] vào [1] ta được \[y = ±b\], vậy \[[E]\] cắt \[Oy\] tại hai điểm \[ B_1[0 ; -b] B_2[0 ;b]\].
Các điểm \[A_1, A_2, B_1, B_2\] gọi là các đỉnh của elip
Đoạn thẳng \[A_1A_2\] gọi là trục lớn, đoạn thẳng \[B_1,B_2\] gọi là trục nhỏ của elip.
4. Liên hệ giữa đường tròn và đường elip
Nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì $b$ càng gần $a$, tức là trục nhỏ của elip càng gần bằng trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như hình tròn.
Giải đáp câu hỏi và bài tập
Bài tập 1: Trang 88 - SGK Hình học 10
Xác đinh độ dài các trục, tọa độ tiêu điểm , tọa độ các đỉnh và vẽ các elip có phương trình sau:
a] \[\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9}= 1\]
b] \[4x^2+ 9y^2= 1\]
c] \[4x^2+ 9y^2= 36\]
=> Xem đầy đủ bài giải
Bài tập 3: Trang 88 - SGK Hình học 10
Lập phương trình chính tắc của elip, biết:
a] Trục lớn và trục nhỏ lần lươt là \[8\] và \[6\]
b] Trục lớn bằng \[10\] và tiêu cự bằng \[6\]
=> Xem đầy đủ bài giải
Bài tập 3: Trang 88 - SGK Hình học 10
Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:
a] Elip đi qua các điểm \[M[0; 3]\] và \[N[ 3; \frac{-12}{5}]\]
b] Một tiêu điểm là \[F_1[ -\sqrt3; 0]\] và điểm \[M[1; \frac{\sqrt{3}}{2}]\] nằm trên elip
=> Xem đầy đủ bài giải
Bài tập 4: Trang 88 - SGK Hình học 10
Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có các trục lớn là \[80cm\] và trục nhỏ là \[40 cm\] từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước \[80cm \times 40cm\], người ta vẽ một hình elip lên tấm ván như hình bên dưới. Hỏi phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?
=> Xem đầy đủ bài giải
Bài tập 5: Trang 88 - SGK Hình học 10
Cho hai đường tròn \[{C_1}[{F_1};{R_1}]\] và \[{C_2}[{F_2};{R_2}]\]. \[C_1\] nằm trong \[C_2\] và \[F_1≠ F_2\]. Đường tròn \[[C]\] thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với \[C_1\] và tiếp xúc trong với \[C_2\].Hãy chứng tỏ rằng tâm \[M\] của đường tròn \[[C]\] di động trên một elip.
=> Xem đầy đủ bài giải
Từ trước đến nay ta đã được học nhiều dạng hình khác nhau: hình tròn, hình vuông, hình bình hành…. Thế còn hình Elip là hình gì và phương trình của nó viết như thế nào, chúng ta cùng tìm hiểu trong bài học hôm nay nhé! Bài giảng: Phương trình đường Elip được iToan biên soạn dựa theo sách giáo khoa Hình học lớp 10. Hy vọng bài giảng sẽ giúp em nắm vững kiến thức lý thuyết và làm được các bài tập cơ bản cũng như nâng cao.
Mục tiêu bài học
Qua bài học hôm nay, các em cần nắm được các nội dung sau:
- Khái niệm hình elip, tiêu điểm, tiêu cự
- Viết được phương trình đường Elip và các bài toán liên quan
- Mối quan hệ giữa đường elip và đường tròn
Kiến thức cần nhớ Phương trình đường Elip
Định nghĩa
Cho hai điểm cố định F1 và F2 với F1.F2=2c[c>0]. Tâp hơp các điểm M thỏa mãn MF1+MF2=2a [a không đổi và a>c>0 ] là môt đường Elip.
- F1,F2 là hai tiêu điểm.
- F1F2=2c là tiêu cư của Elip.
Phương trình chính tắc của Elip
Cho Elip [E] có các tiêu điểm F1 và F2. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi F1M+F2M=2a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F1=[−c;0] và F2=[c;0]. Khi đó phương trình chính tắc của elip là:
[E]:x2/a2+y2/b2=1
Trong đó a^2=b^2+c^2.
Hình dạng của Elip
- Elip có các trục đối xứng là Ox,Oy và có tâm đối xứng là gốc O.
- Elip cắt Ox tại hai điểm A1[−a;0],A2[a;0], cắt Oy tại 2 điểmB1[0;−b],B2[0;b]. Các điểm A1,A2,B1,B2, gọi là các đỉnh của elip.
- Đoạn thẳng A1A2 gọi là trục lớn, đoạn thẳng B1B2 gọi là trục nhỏ của elip.
Liên hệ giữa đường tròn và đường Elip
- Từ hệ thức b2=a2−c2 ta thấy nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì b càng gần bằng a, tức là trục nhỏ của elip càng gần trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn.
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn[C] có phương trình
x2+y2=a2
Với mỗi điểm M[x;y] thuộc đường tròn ta xét điểm M′[x′;y′] sao cho
{x′=xy′=bay với [00] và một độ dài 2a không đổi [a>c] . Elip [E] là tập hợp các điểm M sao cho M∈[P]⇔MF1+MF2=2a.
D. Cả ba định nghĩa trên đều không đúng định nghĩa của Elip.
Câu 2: Cho Elip [E] có phương trình chính tắc là x^2/ a^2+y^2/ b^2=1 , với a>b>0. Khi đó khẳng định nào sau đây sai?
A. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục lớn là A1[a;0],A2[−a;0] .
B. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục nhỏ là B1[0;b],B2[0;−b], .
C. Với c^2=a^2−b^2[c>0] , độ dài tiêu cự là 2c .
D. Với c^2=a^2−b^2[c>0] , tâm sai của elip là e=a/c .
Câu 3: Đường Elip [E]: x^2/16 + y^2/7=1 có tiêu cự bằng bao nhiêu?
A. 3
B. 6
C. 9/16
D. 6/7
Câu 4: Tìm phương trình chính tắc của Elip có tâm sai bằng 1/3 và trục lớn bằng 6 .
A. x^2/6+y^2/9=1
B. x^2/9+y^2/8=1
C. x^2/16+y^2/9=1
D. D. x^2/5+y^2/3=1
Phần đáp án
1.C 2.D 3.D 4.B
Lời kết
Vậy là chúng ta đã kết thúc chương trfinh Hình học 10 tại đây. Sắp đến kì thi cuối kì, các em hãy tích cực ôn luyện lại những chuyên đề và dạng bài đã học. Để nghe lại bài giảng cũng như làm đề thi ôn tập, các em có thể truy cập Toppy. Toppy sẽ giúp em bổ sung kiến thức và ôn luyện cho các kì thi sắp tới.
Cùng Toppy học tốt em nhé!
>>Xem thêm: