Bài giảng tính cức trị trong toán cao cấp 2 năm 2024

1. CAO CẤP A2 1 Sýu tầm by hoangly85
2. CAO CẤP A2 CHÝÕNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN I. TẬP HỢP RN VÀ HÀM NHIỀU BIẾN 1. Rn và các tập con Với n là một số nguyên dýõngờ ký hiệu Ởn ðýợc dùng ðể chỉ tập hợp tất cả các bộ n số thực ậx1, x2, …ờxn) và ta thýờng gọi Ởn là không gian ậthựcấ n chiềuề ẩhi bộ số thực (x1, x2,…ờxn) ðýợc ðặt tên là ỳ thì ta viết làầ P(x1, x2, …ờ xn) Và gọi nó là một ðiểm trong không gian Ởn. Cho 2 ðiểm ỳậx1, x2, …ờ xn) và ẵậy1, y2, …ờ yn) trong Rn, khoảng cách giữa hai ðiểm P và ẵờ ký hiệu là dậỳờ ẵấ ðýợc ðịnh nghĩa bởi: d(P, Q) = Khoảng cách này thỏa bất ðẳng thức tam giác sau ðâyầ d(P, Q) ≤ dậỳờ R) + d(R, Q) với ĩ ðiểm ỳờ ẵờ Ở tùy ýề Ðiểm ỳậx1, x2, …ờxn) còn ðýợc viết gọn dýới dạng xụậx1, x2, …ờxn) với xụậx1, x2, …ờ xn) và yụậy1, y2, …ờ yn), khoảng cách giữa x và y còn ðýợc viết bởiầ | x – y |= Cho và r là số thực dýõngờ tập hợp B(P, r) = { | d(P, Q) < r} ðýợc gọi là hình cầu mở tâm ỳ bán kính rờ hay là lân cận bán kính r của ỳề Tập hợp ừ trong Ởn ðýợc gọi là bị chặn nếu có r ễ ế sao cho , với ẫ là ðiểm ẫậếờ ếờ …ờ ếấề 2. Hàm nhiếu biến Cho n là một số nguyên với n ≥ ịề ∞ột phép týõng ứng fầ Ởn R ðýợc gọi là một hàm n biếnề Tập hợp các ðiểm mà fậỳấ xác ðịnh ðýợc gọi là miền xác ðịnh của fề Ta ký hiệu miền xác ðịnh của f là ắậfấề Ví dụầ 2 Sýu tầm by hoangly85
3. CAO CẤP A2 1) Hàm f ầ Ở2 R (x, y)  f(x, y)= Là một hàm ị biến có miền xác ðịnh là tập hợp tất cả các ðiểm ỳậxờ yấ sao cho 4-x2-y2>0. Vậy ắậfấụửậếờ ịấờ hình cầu mở tâm ẫ bán kính ị trong Ở2. 2) g : R3 R với gậxờ yờ zấụx2+(y+z)/2 là một hàm 3 biến có miền xác ðịnh là D(g)=R3. Ta chỉ có thể biểu diễn hình họcờ bằng vẽ ðồ thịờ cho hàm ị biến z ụ fậxờ yấề Ðồ thị của hàm ị biến này là tập hợp các ðiểm trong không gian Ở3 sau ðâyầ G(f)={(x, y, f(x, y)) | } Ðây là một mặt cong trong không gian ĩ chiều với hệ tọa ðộ ắescartes ẫxyzề Ví dụầ ðồ thị của hàm z ụ là nửa trên của mặt cầu tâm ẫ bán kính ữ trong không gian ĩ chiều ẫxyzề II. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC 1. Ðịnh nghĩa giới hạn Cho hàm n biến z ụ f ậx1, x2, …ờ xn) xác ðịnh trên một lân cận bán kính r của một diểm và có thể không xác ðịnh tại ỳề Ta nói z ụ f ậx1, x2, …ờ xn) tiến về (hay có giới hạn là ỡấề ẩhi ∞ ậx1, x2, …ờ xn) dần ðến ỳ nếu với mọi å ễ ế cho trýớcờ tồn tại ä ễ ế sao choầ 0 < d (P, M) < ä ụễ | fậ∞ấ – L | < åề Khi ðó ta viếtầ Trong trýờng hợp hàm ị biến z ụ f ậxờ yấ thì giới hạn có thể ðýợc viết làầ Hay có thể viếtầ 3 Sýu tầm by hoangly85
4. CAO CẤP A2 Týõng tự nhý ðối với hàm một biếnờ ta cũng có các ðịnh nghĩa giới hạn vô cùng và giới hạn ở vô tận nhý sauầ Ví dụầ 1). 2). 3). 4). 2. Sự liên tục Ðịnh nghĩaầ hàm số z ụ f ậx1, x2, …ờ xn) ðýợc gọi là liên tục tại ðiểm khi: Ví dụầ hàm fậxờ yấ ụ liên tục tại mọi ðiểm ậxo, yo) khác ậếờ ếấề Týõng tự nhý hàm một biến liên tục trên một ðoạn , ta cũng có tính chất ðạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên ữ miền ðóng và bị chặnề III. ÐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 1. Ðạo hàm riêng Ðể ðõn giản cho việc trình bàyờ ở ðây ta sẽ xét các ðạo hàm riêng của hàm ị biếnề Ðối với hàm n biến thì hoàn toàn týõng tựề 4 Sýu tầm by hoangly85
5. CAO CẤP A2 Ðịnh nghĩaầ cho hàm ị biến z ụ f ậxờ yấề Ðạo hàm riêng theo biến x tại ðiểm ậxo, yo) là giới hạn ậnếu cóấ sau ðâyầ và ðạo hàm riêng theo biến x ðýợc ký hiệu là hay vắn tắt là fx’(xo, yo). Ta còn có thể ký hiệu ðạo hàm riêng này bởi z’x (xo, yo) hay (xo, yo). Ðạo hàm riêng theo biến y của hàm x ụ f ậxờ yấ tại ậxo, yo) ðýợc ðịnh nghĩa týõng tự bởiầ = Nhận xétầ dể thấy rằng f’x (xo, yo) = Từ ðó ta có thể tính dạo hàm riêng theo biến x tại ậxo, yo) bằng cách coi y ụ yo là hằng số và tính ðạo hàm của hàm một biến fậxờ yo) tại x ụ xo. Týõng tựờ ðể tính ðạo hàm riêng theo biến y tại ậxo, yo) ta tính ðạo hàm của hàm một biến fậxờ yo) tại y ụ yo (xem x = xo là hằng sốấề Ví dụầ 1). Cho z = x2y. Tính z’x và z’y Xem y nhý hằng số và tính ðạo hàm theo biến x ta có z’x = 2xy. Týõng tựờ xem x nhý hằng số và tính ðạo hàm theo biến y ta vóầ x’y = x2. 2) . Tính z’x, z’y và z’x(4,  ). Xem y nhý hằng sốờ ta cóầ 5 Sýu tầm by hoangly85
6. CAO CẤP A2 Xem x nhý hằng sốờ ta cóầ 2. Ðạo hàm riêng cấp cao Các ðạo hàm riêng z’x và z’y của hàm z = f(x,y) ðýợc gọi là các ðạo hàm riêng cấp ữề Ðạo hàm riêng cấp ị của một hàm là ðạo hàm riêng ậcấp 1) của ðạo hàm riêng cấp ữ của hàm ðóề ổàm ị biến z = f(x, y) có bốn ðạo hàm riêng cấp ị sau ðâyầ 1) Ðạo hàm riêng cấp ị này còn ðýợc ký hiệu bằng các cách khác nhau nhý sauầ 2) Ðạo hàm riêng cấp ị này còn ðýợc ký hiệu bởiầ 3) Ðạo hàm riêng cấp ị này còn ðýợc ký hiệu bởiầ 4) còn ðýợc ký hiệu là . 6 Sýu tầm by hoangly85
7. CAO CẤP A2 Hoàn toàn týõng tự ta cũng có ðịnh nghĩa và ký hiệu cho các ðạo hàm riêng cấp cao hõnề ũhẳng hạnờ hay hay và hai ðạo hàm riêng cấp ĩ này còn ðýợc viết là . Ví dụầ 1) z = x4 + y4 – 2x3y3. Ta cóầ z’x = 4x3 – 4xy3 z’y = 4y3 – 6x2y2 z"xx = 12x2 – 4y3 z"yy = 12y2 – 12x2y z"xy = -12y2 z"yx = -12 y2 2) Xét hàm số Ta cóờ với ậx, y) ≠ ậếờ ếấ thì YjWҥi (0, 0) thì f(0, 0) = 0. Do ðó tại ậx, y) ≠ ậếờ ếấ 7 Sýu tầm by hoangly85
8. CAO CẤP A2 và suy ra Hoàn toàn týõng tựờ ta tính ðýợcầ tại ậxờ yấ ≠ ậếờ ếấ và Qua ví dụ trên ta thấy các ðạo hàm riêng theo cùng các biến nhýng khác thứ tự không phải bao giờ cũng bằng nhau. Tuy nhiên ðịnh Oêsau ðây cho ta ðiӅu kiӋn ÿӇFic ðҥo Kjm riêng zxyYjzyx bҵng nhau. Ðӏnh Oê: NӃu f(x, y) có các ðạo hàm fxy và fxy trong một lân cận của ðiểm ậx0, y0) thì chú ý rằng ðịnh lý trên cũng mở rộng ðѭӧc ra cho các ðạo hàm cấp cao hõn và nhiều biến hõnề 3. Vi phân toàn phần Ðịnh nghĩa: Hàm số z = f(x, y) ðýợc gọi là khả vi tại ậx0, y0) nếu số gia toàn phần theo các số gia  x,  y của các biến x, y tại ậx0, y0) có thể ðýợc viết dýới dạng trong ðó A, B là các hằng số ậkhông phụ thuộc  x,  y) và   0,   0 khi  x 0,  y 0. 8 Sýu tầm by hoangly85
9. CAO CẤP A2 Biểu thức ðýợc gọi là vi phân của hàm số f tại ậx0, y0), ký hiệu là df(x0, y0). Ðịnh lý: (i) Nếu f(x, y) khả vi tại ậx0, y0) thì f có ðạo hàm riêng cấp ữ tại ðó và (ii) Nếu f(x, y) có các ðạo hàm riêng trên ữ lân cận của ậx0, y0) và f’x, f’y liên tục tại ậx0, y0) thì f khả vi tại ậx0, y0). Chú ý rằng khi xét các trýờng hợp ðặc biệt f(x, y) = x và g(x, y) = y ta có vi phânầ dx =  x và dy =  y. Do ðó công thức vi phân cấp ữ của f(x, y) còn ðýợc viết dýới dạng df = f’x.dx + f’y.dy và còn ðýợc gọi là vi phân toàn phần của hàm f(x, y). Ví dụầ Với , ta cóầ vậy Tính chất: Týõng tự nhý ðối với hàm một biến ta có các tính chất sau ðây của vi phânầ d(f + g) = df + dg d(f.g) = g.df + f.dg (với g  0). 9 Sýu tầm by hoangly85
10. CAO CẤP A2 Ứng dụng vi phân ðể tính gần ðúngầ Giả sử z = f(x, y) khả vi tại ậx0, y0). Khi ðóờ theo ðịnh nghĩa của vi phân ta có thể tính gần ðúng f(x, y) bởiầ với ậx, y) gần ậx0, y0). Ví dụ: Tính gần ðúng Xét hàm số f(x, y) = , ta tính gần ðúng A = f(1,02; 1,97) nhý sauầ f(1,02; 1,97)  f(1, 2) + f’x(1, 2).(1,02 - 1) + f’y(1, 2).(1,97 - 2) với f(1, 2) = =3 Suy ra 4. Vi phân cấp cao Cho hàm ị biến z ụ fậxờ yấề Bản thân cũng là một hàm theo ị biến xờ y nên ta có thể xét vi phân của nóề ỷếu dfậxờ yấ có vi phân thì vi phân ðó ðýợc gọi là vi phân cấp 2 của fậxờ yấờ ký hiệu là d2f (x, y) hay vắn tắt là d2f. Vậyầ d2f = d(df) Tổng quátờ vi phân cấp n ậnếu cóấ của f ðýợc ðịnh nghĩa bởiầ 10 Sýu tầm by hoangly85
11. CAO CẤP A2 Công thức vi phân cấp ị của zụfậxờ yấầ Giả thiết thêm rằngờ các ðạo hàm hỗn hợp liên tục thì ta cóầ và do ðóầ hay ta cóầ Ngýời ta dùng ký hiệu luỹ thừa một cách hình thức ðể viết lại công thức vi phân cấp ị dýới dạngầ Týõng tựờ công thức vi phân cấp n của z ụ fậxờ yấ có thể ðýợc viết dýới dạngầ và công thức này cũng ðúng cho trýờng hợp nhiều biến hõnề IV. ÐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP 1. Trýờng hợp một biến ð lập ộc Giả sử z ụ fậxờ yấ và xờ y lại là các hàm theo tầ x ụ xậtấờ y ụ yậtấề Vậy zậtấ ụ fậxậtấờ yậtấấ là hàm ữ biến theo tề Ðạo hàm của zậtấ theo biến t ðýợc tính theo công thức sau ðâyầ 11 Sýu tầm by hoangly85
12. CAO CẤP A2 Ví dụầ Tính nếu , trong ðó xụcostờ yụsintề Tính nếu trong ðó yụcosx 2. Trýờng hợp nhiều biến ð lập ộc Giả sử z ụ fậxờyấ và xờ y lại là các hàm theo các biến sờ tề ẩhi ðó ðể tính các ðạo hàm riêng theo s và t của hàm hợp f ậ xậsờtấờ yậsờtấấ ta cũng có các công thức týõng tự nhý ðối với hàm một biến sau ðâyầ Ví dụầ Tìm và nếu z ụ fậxờyấ trong ðó x ụ uềv và y ụ Ta có , , và . Do ðó 12 Sýu tầm by hoangly85
13. CAO CẤP A2 Cho z = f(x,y,t), trong ðó x ụ xậtấờ y ụ yậtấề Tính ðạo hàm của hàm hợpầ z(t) = f (x(t), y(t), t). Ta cóầ = = V. ÐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN 1. Hàm ẩn một biến Giả sử có một hệ thức giữa hai biến xờ y dạng F(x,y) = 0 trong ðó ≠ậxờyấ là hàm ị biến xác ðịnh trong một lân cận mở ắ của ậx0, y0) và ≠ậx0, y0) = 0. Giả thiết rằng s là số dýõng và y duy nhất sao cho ậxờ y) D và ≠ậxờ yấ ụ ếề Nhý vậy ta có hàm số y ụ yậxấ xác ðịnh trên khoảng ậx0 – s, x0 + s) và thỏa ≠ậxờ yậxấấ =0 . Hàm số y ụ yậxấ này ðýợc gọi là hàm ẩn theo biến x xác ðịnh bởi phýõng trình ≠ậxờyấ ụ ếề Trong toán học ngýời ta gọi các ðịnh lý hàm ẩn là các ðịnh lý khẳng ðịnh sự tồn tại của hàm ẩn và ðạo hàm của nóề ắýới ðây là ðịnh lý cõ bản cho hàm ẩn một biếnề Ðịnh lý: Giả sử hàm ≠ậxờyấ thỏa ị ðiều kiện sauầ (i) F liên tục trong hình tròn mở ửậỳờ åấ tâm ỳậx0, y0) bán kính åờ với ≠ậx0, y0) = 0; (ii) Tồn tại các ðạo hàm riêng liên tục trong B(P, åấ và (x0, y0) ≠ ếề Khi ðó có åễế sao cho phýõng trình ≠ậxờyấ ụ ế xác ðịnh một hàm ẩn yậxấ khả vi liên tục trong ậx0 – s, x0 + s) và 13 Sýu tầm by hoangly85
14. CAO CẤP A2 . Nhận xét: Nếu thừa nhận sự tồn tại của hàm ẩn và ðạo hàm của nó thì công thức ðạo hàm của hàm ẩn trong ðịnnh lý trên có thể suy ra dễ dàng từ công thức ðạo hàm của hàm hợpầ 0= F(x, y(x)) = F’x + F’y . y’ = y’ ụ - Ví dụầ Tính ðạo hàm của hàm ẩn tại ðiểm ậữờ ðấ nếu xềy –ex.sin y = ðề Coi y là hàm theo xờ lấy ðạo hàm phýõng trình trên ta ðýợc y + x.y’ – exsiny – ex cosy. y’ ụ ế Tại ậxờyấ ụ ậữờ ðấ ta cóầ ð ự y’ ự eềy’ ụ ế Suy ra y’ậữấ ụ Ghi chú: Ðể tính ðạo hàm cấp ị y’’ của hàm ẩnờ từ hệ thức 0 = F’x ự ≠’y ề y’ ta có thể tiếp tục lấy ðạo hàm thì ðýợcầ 0 = Fxx + Fxy.y’ ự ậ≠ộyx + Fyy. y’ấềy’ ự ≠’y.y. Từ ðây sẽ rút ra y”ề 2. Hàm ẩn 2 biến Týõng tự nhý trýờng hợp hàm ẩn ữ biếnờ với một số giả thiết thì phýõng trình 14 Sýu tầm by hoangly85
15. CAO CẤP A2 F(x,y) = 0 sẽ xác ðịnh một hàm ẩn z ụ zậxờyấ theo ị biến xờ yề Ðịnh lý : Giả sử hàm ≠ậxờyờzấ thỏa các ðiều kiện (i). F liên tục trong hình cầu mở ửậỳ0, åấ tâm ỳ0(x0, y0,z0) bán kính å và F(x0,y0,z0) = 0; (ii) Tồn tại các ðạo hàm riêng liên tục ≠’x, F’y, F’z trong B(P0, åấ và ≠’z(x0,y0,z0) ≠ ếề Khi ðó tồn tại äễế sao cho phýõng trình ≠ậxờyờzấ ụ ế xác ðịnh một hàm ẩn trong lân cận ửậậx0,y0), s) của ðiểm ậx0, y0). Hõn nữa hàm ẩn z ụ zậxờyấ có các ðạo hàm riêng trong lân cận này làầ ; 9; Ghi chú: Ðịnh lý này có thể ðýợc mở rộng cho trýờng hợp hàm ẩn nhiều biến hõn z = z(x1,x2,…ờxn) xác ðịnh bởi phýõng trìnhầ F(x1,x2,…ờxn, z) = 0 Ví dụ: Cho hàm ẩn z ụ zậxờyấ xác ðịnh bởi phýõng trình ez = x + y + z Tính zx’ờ zx và zxy. Ðạo hàm phýõng trình theo biến x ta ðýợcầ 1 + zx’ ụ ez . zx’ ụễ zx’ ụ Tiếp tục lấy ðạo hàm theo x và theo y thì ðýợcầ zxx = ez . (zx’ấ2 + ez . zxx ; zxy = ez . zy’ ề zx’ ự ez . zxy Suy ra: zxx = 15 Sýu tầm by hoangly85
16. CAO CẤP A2 zxy = Tính zy’ týõng tự nhý việc tính zx’ờ ta cóầ zy’ ụ Do ðó zxy = VI. CỰC TRỊ 1.Ðịnh nghĩa và ð kiện cần iều Xét hàm z ụ fậxờyấề Ðiểm ỳ0(x,y) ðýợc gọi là ðiểm cực ðại ậðịa phýõngấ của hàm f(x,y) khi có äễế sao cho fậxờyấ ≤ fậx0,y0) với mọi ậxờyấ  B(P0,äấề Trýờng hợp ta có F(x,y) f(x0,y0)  (x,y)  B(P0, äấ {P0}thì ta nói ỳ0 là ðiểm cực ðại ậðịa phýõngấ chặt của hàm fậxờyấề Khái niệm cực tiểu ậðịa phýõngấ ðýợc ðịnh nghĩa hoàn toàn týõng tựề ũực ðại ðịa phýõng và cực tiểu ðịa phýõng ðýợc gọi chung là cực trị ðịa phýõngề Ðịnh lý: (Fermat) Nếu hàm fậxờyấ ðạt cực trị ðịa phýõng tại ậx0,y0) và có các ðạo hàm riêng tại ðó thì fx’ậx0,y0) = fy’ậx0,y0) = 0. Ðiểm mà tại ðó các ðạo hàm riêng của f ðều bằng ế ðýợc gọi là ðiểm dừng của hàmề Chú ý rằng ðịnh lý trên chỉ cho ta ðiều kiện cần ðể có cực trịờ nên ðiểm dừng chýa chắc là ðiểm cực trịề Ðịnh lý sau ðây cho ta ðiều kiện ðủ ðể có cực trịề Ðịnh lý (ð kiện ð iều ủ): Giả sử z ụ fậxờyấ nhận ậx0, y0) là một ðiểm dừngờ và fậxờyấ có các ðạo hàm riêng cấp ị liên tục trong một lân cận của ậx0, y0). Ðặt A = fxx(x0,y0), B = fxy(x0,y0), C = fyy(x0,y0), 16 Sýu tầm by hoangly85
17. CAO CẤP A2 và  = B2 – A.C Khi ðó ta cóầ (i). Nếu  0 thì hàm số không ðạt cực trị tại ậx0,y0). (ii). Nếu  0 thì hàm số ðạt cực trị chặt tại ậx0,y0). Hõn nữa ta cóầ (x0,y0) là ðiểm cực ðại khi ồ ≥ 0; (x0,y0) là ðiểm cực tiểu khi ồ ễ ếề (iii). Nếu  = 0 thì chýa kết luận ðýợc là hàm số fậxờyấ có ðạt cực trị tại ậx0,y0) hay khôngề Từ ðịnh lý trên ta có thể tìm cực trị của hàm z ụ fậxờyấ theo các býớc sau ðâyầ Býớc ữầ Tính các ðạo hàm riêng Býớc ịầ Tìm các ðiểm dừng bằng cách giải hệ phýõng trình sauầ Býớc ĩầ Ứng với mỗi ðiểm dừng ậx0,y0), ðặt A = fxx(x0,y0), B = fxy(x0,y0), C = fyy(x0,y0), = B2 - AC Xét dấu của  và của ồ ðể kết luậnề Lýu ý: Ðể có kết luận ðầy ðủ về cực trị ta còn phải xét riêng trýờng hợp ðiểm dừng mà tại ðó  = 0 và xét các ðiểm mà tại ðó không tồn tại ðạo hàm riêng cấp ữ hay cấp 2. Ví dụ: 1) Tìm cực trị của hàm số z ụ x3 + 3xy2 – 15x -12y Ta có zx’ ụ ĩx2 + 3y2 – 15, zy’ ụ ẳxy – 12 zxx = 6x, zxx = 6y, zyy = 6x 17 Sýu tầm by hoangly85
18. CAO CẤP A2 Ðể tìm ðiểm dừngờ ta giải hệ phýõng trình sauầ Hệ phýõng trình có ở nghiệmờ cho ta ở ðiểm dừngầ M1(1, 2); M2(2, 1); M3(-1, -2); M4(-2, -1). Tại ∞1(1, 2): A = zxx(1, 2) = 6 B = zxy(1, 2) = 12 =  = B2 – AC 0 C = zyy(1, 2) = 6 Hàm số không ðạt cực trị tại ∞1(1, 2). Tại ∞2(2,1): A = zxx(2, 1) = 12 B = zxy(2, 1) = 6 =  = B2 – AC 0 C = zyy(2, 1) = 12 A 0 Hàm số ðạt cực tiểu tại ∞2(2, 1), với zmin = z(2, 1) = -28 Tại ∞3(-1, -2): A = zxx(-1, -2) = -6 B = zxy(-1, -2) = -12 =  = B2 – AC 0 C = zyy(-1, -2) = -6 Hàm số không ðạt cực trị tại ∞3(-1, -2). Tại ∞4(-2, -1): 9; Hàm số ðạt cực ðại tại ∞4(-2, -1) với zmax = z(-2,-1) = 28 18 Sýu tầm by hoangly85
19. CAO CẤP A2 2) Khảo sát cực trị của hàm z ụ x4 + y4 – x2 – 2xy – y2 Ta cóầ Giải hệ phýõng trình sau ðể tìm ðiểm dừngầ Hệ phýõng trình có ĩ nghiệm  3 ðiểm dừngầ P1(0, 0); P2(-1, -1); P3(1,1) Tính các ðạo hàm cấp ịầ Tại ỳữậếờ ếấầ 9; Ta chýa có kết luận về cực trị tại ỳ1 mà phải khảo sát trực tiếpề Ta có zậếờ ếấ ụ 0, với thì (n nguyên dýõngấ Với thì . Ðiều này cho thấy rằng trong mọi lân cận của ỳ1 hàm số ðều có giá trị dýõng và có giá trị âmề Vậy ỳ1(0, 0) không phải là ðiểm cực trị Tại ỳ2(-1, -1) và ỳ3(1, 1) ta có ồ ụ ữếờ ử ụ -2, C = 10,  =B2 –AC = -96. Suy ra tại ỳị và ỳĩ hàm số ðạt cực tiểu chặt vớiầ 19 Sýu tầm by hoangly85
20. CAO CẤP A2 zmin = z(P2) = z(P3) = -2 VII. CỰC TRỊ CÓ ÐIỀU KIỆN 1. Ðịnh nghĩa Xét hàm số z ụ  (x, y), với ðiều kiện ràng buộcầ  (x, y) = 0 (*) Ta nóiầ  (x, y) ðạt cực ðại chặt tại ậx0, y0) với ðiều kiện ậảấ nếu ậx0, y0) thỏa ậảấ và với mọi ậxờ yấ thỏa ậảấ khá gần ậx0,y0) ta có  (x, y)  (x0, y0)  (x, y) ðạt cực tiểu chặt tại ậx0, y0) với ðiều kiện (*) nếu ậx0, y0) thỏa ậảấ và với mọi ậxờ yấ thỏa ậảấ khá gần ậx0,y0) ta có  (x, y)  (x0, y0)  (x, y) ðạt cực trị chặt tại ậx0, y0) với ðiều kiện ậảấ nếu  (x, y) ðạt cực ðại hoặc cực tiểu tại ậx0,y0) với ðiều kiện ậảấ 2. Phýõng pháp nhân tử Lagrange Ðịnh lý: (ðiều kiện cần của cực trị có ðiều kiệnấ Giả sửầ Các hàm  (x, y) và  (x, y) có ðạo hàm riêng cấp ữ liên tục trong một lân cận của ðiểm ậx0,y0) với  (x0, y0) = 0 hay . Khi ðóờ nếu  (x, y) ðạt cực trị tại ậx0,y0) với ðiều kiện  (x0,y0)=0 thì tồn tại số thực  sao cho: Hàm số ỡậxờyờ ) =  (x, y) +   (x,y) ðýợc gọi là hàm Lagrange. Ðịnh lý sau ðây cho ta ðiều kiện ðủ của cực trị có ðiều kiệnề Ðịnh lý: (ð kiện ð của cực trị có ð kiện) iều ủ iều 20 Sýu tầm by hoangly85
21. CAO CẤP A2 Giả sử  (x, y) và  (x,y) có ðạo hàm riêng cấp ị liên tục trong một lân cận của ậx0,y0) với  (x0,y0) = 0, và ậx0,y0, ) là ðiểm dừng của hàm ỡagrangeề ẩhi ðó ta cóầ Nếu xác ðịnh dýõng trong một miền theo dxờ dy thỏa ràng buộcầ và dx2+dy2 0, thì hàm  (x, y) ðạt cực tiểu chặt tại ậx0,y0) với ðiều kiện  (x0,y0) = 0. Nếu d2L(x0,y0, ) xác ðịnh âm trong ữ miền theo dxờ dy thỏa ràng buộc nhý trên thì  (x, y) ðạt cực ðại chặt tại ậx0,y0) với ðiều kiện  (x0,y0) = 0. Nếu d2L(x0,y0, ) không xác ðịnh dấu trong miền nói trên thì không có cực trị có ðiều kiện tại ậx0,y0). Từ ðịnh lý trên ta có thể tìm cực trị có ðiều kiện theo phýõng pháp nhân tử ỡagrange nhý sauầ Býớc ữầ ỡập hàm ỡagrange L =  (x, y) +   (x,y) (  R) Býớc ịầ Tính và giải hệ phýõng trình sau ðây ðể tìm các ðiểm dừng ậx0,y0) cùng với giá trị  0 týõng ứngề Býớc ĩầ Tính vi phân cấp ị của ỡ ụ ỡậxờyấ và tính ràng buộcầ (**) 21 Sýu tầm by hoangly85
22. CAO CẤP A2 Với mỗi ðiểm dừng ậx0,y0) và  =  0 tìm ðýợc trong býớc ịờ xét ồ ụ d2L(x0,y0) (phụ thuộc dx và dyấề Nếu ồ ễ ế với mọi dxờ dy không ðồng thời bằng ế thỏa ràng buộc ậảảấ thì hàm số ðạt cực tiểu có ðiều kiện tại ậx0,y0). Nếu ồ ≥ ế với mọi dxờ dy không ðồng thời bằng ế thỏa ràng buộc ậảảấ thì hàm số ðạt cực ðại có ðiều kiện tại ậx0,y0). Nếu dấu của ồ không xác ðịnh xét theo dx và dy không ðồng thời bằng 0 thỏa ràng buộc ậảảấ thì hàm số không ðạt cực trị tại ậx0,y0). Ví dụ: Tìm cực trị của hàm z ụ x2 + y2 với ðiều kiện x ự y ụ ở Lập hàm ỡagrangeầ L(x,y) = x2 + y2 +  (x + y - 4) Ta cóầ Tìm ðiểm dừng bằng cách giải hệầ Ta có một ðiểm dừng ∞ậịờịấ ứng với  = -4. Tính ðạo hàm riêng cấp ị của ỡậxờyấầ , ,  d2L = 2dx2 + 2dy2. Vậy d2L 0 tại ∞ậịờịấ nên hàm số ðạt cực tiểu ậcó ðiều kiệnấ tại ðó với zmin = z(2,2) = 8. Lýu ý: Trong trýờng hợp từ hệ thức  (x,y) = 0 ta có thể tính ðýợc ữ biến thiên theo biến kiaờ chẳng hạn có thể tính y ụ  (x) thì bằng cách thay thế y ụ  (x) vào z ta có thể xem z nhý hàm theo ữ biến xầ z = z(x,  (x)) 22 Sýu tầm by hoangly85
23. CAO CẤP A2 Khi ðó có thể tìm cực trị của z nhý hàm theo ữ biếnề Xét lại ví dụ trênờ ta thấyầ x+y=4y=4–x Suy ra z = x2 + y2 = x2 + (4-x)2. Xem z là hàm ữ biến ta cóầ z’ậxấ ụ ịx –2(4 - x) = 4x – 8 z’ậxấ ụ ế  x = 2 Lập bảng biến thiênờ ta cóầ X - 2 + Z’ậxấ - 0 + Z 8 Vậy z ụ x2 + y2 ðạt cực tiểu ậvới ðiều kiện x ự y ụ ởấ tại ∞ậịờịấ với zmin = 8 VIII. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT Cho D   2. Ðiểm ỳậxờyấ  D ðýợc gọi là một ðiểm trong của D khi tồn tại một hình cầu mở ửậỳờ ) ðều chứa ðiểm thuộc D và ðiểm không thuộc D . Tập hợp các ðiểm biên của D ðýợc gọi là biên của D. Miền D ðýợc goị là miền ðóng khi D chứa mọi ðiểm biên của nóề Ta có thể tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm  (x,y) trên một miền ðóng và bị chặn D nhý sauầ Býớc ữầ Tính  ’x và  ’yề Ứiải hệ phýõng trình ðể tìm các ðiểm dừng ở phần trong của D Býớc ịầ Tìm các ðiểm tại ðó không có ðạo hàm riêng 23 Sýu tầm by hoangly85
24. CAO CẤP A2 Býớc ĩầ Tìm giá trị lớn nhất của  (x,y) trên biên của D (liên quan ðến cực trị có ðiều kiệnấ Býớc ởầ So sánh các giá trị của hàm số tại các ðiểm tìm ðýợc ở býớc ữờ býớc 2 với giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên biên ậở býớc ĩấ ðể rút ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm sốề Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số z = x2 + y2 – xy + x + y trên miền D giới hạn bỡiầ x  0, y  0, x + y  -3 Ta cóầ Giải hệầ  x = -1, y = -1 Ta tìm ðýợc ữ ðiểm dừng ∞ậ-1,-1)  D, với zậ-1,-1) = -1 Biên của miền D gồm ĩ ðoạn thẳng ẫồờ ẫử và ồửề Trên biên ẫồ ta cóầ x = 0, -3 y 0 z = y2 z’ ụ ịy ự ữ ụ ế  y =  một ðiểm cực trị trên ẫồ là với Týõng tựờ trên ẫử có cực trị tại với trên ồử có cực trị tại với . Tại các ðiểm ẫờ ồ và ử ta cóầ 24 Sýu tầm by hoangly85
25. CAO CẤP A2 z(0,0) = 0; z(0,-3) = 6; z(-3,0) = 6 Vậy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên biên của D lần lýợt là ẳ và So sánh các giá trị zụ-1, z=6 với ta suy ra giá trị lớn nhất của z là ẳ tại ồậếờ - 3) và ửậ-3, 0); gái trị nhỏ nhất của z là –1 tại ∞ậ-1, -1). BÀI TẬP CHÝÕNG 01 1-Tìm miền xác ðịnh của hàm sốầ a) b) c) d) 2-Tính ðạo hàm riêng của hàm sốầ e) f) g) h) a) Tính các ðạo hàm riêng tại của hàmầ b) Tính các ðạo hàm riêng tại ậếờ ếấ của hàmầ 25 Sýu tầm by hoangly85
26. CAO CẤP A2 3-Tính vi phân toàn phần của hàm sốầ i) j) 4- Tìm vi phân cấp ị của hàm số k) l) m) n) 5-Cho f(t) là hàm một biến khả viề Ðặt z ụ fậx2-y2). Chứng tỏ rằng hàm z thoả mãn phýõng trình sauầ Chứng minhầ a) với b) với 6- Tìm cực trị của hàm sốầ o) p) 26 Sýu tầm by hoangly85
27. CAO CẤP A2 q) r) s) t) 7-Tìm cực trị có ðiều kiệnầ a) với ðiều kiện b) với ðiều kiện 8- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm sốầ c) trong tam giác giới hạn bởi các ðýờng d) trong hình giới hạn bởi các ðýờng và trục hoành e) trong hình giới hạn bởi các ðýờng 9-Tìm ðạo hàm của hàm hợp f) với trong ðó và g) và với trong ðó và 10-Tính gần ðúngầ h) i) 11-Tính ðạo hàm y’ của hàm ẩn yụyậxấ xác ðịnh bởi các phýõng trìnhầ 27 Sýu tầm by hoangly85
28. CAO CẤP A2 j) k) 12-Cho hàm ẩn z ụ zậxờ yấ xác ðịnh bởi phýõng trình Tính và 28 Sýu tầm by hoangly85
29. CAO CẤP A2 CHÝÕNG II: TÍCH PHÂN BỘI §1. Tích phân kép I. ÐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT 1. Ðịnh nghĩa Cho hàm f(x,y) xác ðịnh trong miền ðóngờ bị chặn D. Chia miền D thành n mảnh rời nhau D1, D2, .., Dn có diện tích lần lýợt là  S1,  S2,..,  Sn. Trong mỗi mảnh Di , lấy tùy ý một ðiểm Mi(xi, yi). Lập tổng ậgọi là tổng tích phân của hàm f(x,y)) Gọi d(Di) là khoảng cách lớn nhất giữa hai ðiểm trong Di. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạnờ không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn ðiểm Mi(xi,yi), thì hàm f(x,y) gọi là khả tích trên miền D, và S gọi là tích phân kép của hàm f(x,y) trên miền D, ký hiệu Nếu f(x,y) khả tích trên miền D, thì tích phân kép không phụ thuộc vào cách chia miền D. Do ðóờ ta chia miền D bởi các ðýờng thẳng song song với các trục tọa ðộề ẩhi ðóờ  Si =  x   y và dS = dx . dy Vì vậy có thể viết Ngýời ta chứng minh ðýợc rằngầ ổàm f(x,y) liên tục trên một miền ðóngờ bị chặn D thì khả tích trên miền ðóề Tính chất: a) (diện tích của D) 29 Sýu tầm by hoangly85
30. CAO CẤP A2 b) c) d) Nếu D = D1 D2 , D1 D2 =  thì e) Nếu f(x,y)  g(x,y)  (x,y) D thì f) Nếu m  f(x,y)  M  (x,y) D, m và ∞ là hằng sốờ thì g) Nếu f(x,y) liên tục trên miền ðóngờ bị chặn D thì tồn tại ðiểm M(x0,y0) sao cho (Ðịnh lý về giá trị trung bìnhấề Ðại lýợng gọi là giá trị trung bình của hàm f(x,y) trên D. 2. Ý nghĩa hình học Ta xét bài toánầ ộ Tìm thể tích của vật thể  giới hạn dýới bởi miền D (Oxy), giới hạn trên bởi mặt cong có phýõng trình z = f(x,y)  0 và giới hạn xung quanh bởi mặt trụ có ðýờng sinh song song với ẫz và ðýờng chuẩn là biên của ắ ộề Ta tính thể tích của  bằng phýõng pháp gần ðúngề 30 Sýu tầm by hoangly85
31. CAO CẤP A2 Chia miền D thành n mảnh rời nhau D1,D2,..,Dn có diện tích  S1,  S2,.., Sn. Lấy mỗi mảnh nhỏ làm ðáyờ dựng hình trụ con có ðýờng sinh song song với Oz, mặt phía trên giới hạn bởi mặt z = f(x,y). Xét hình trụ con thứ iầ ðáy là Di, Lấy tùy ý ữ ðiểm ∞i(xi,yi). ta có thể tích hình trụ con thứ i  Vi  f(xi,yi). Si Thể tích gần ðúng của  : Phép xấp xỉ này càng chính xác nếu n càng lớn và các mảnh Di có ðýờng kính càng nhỏ ậ d(Di): ðýờng kính của Di ) Vậy II. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN KÉP 1. Ðýa về tích phân lặp Nếu thì 31 Sýu tầm by hoangly85
32. CAO CẤP A2 Nếu thì Ví dụ 1: Xác ðịnh cận của tích phân với miền D xác ðịnh bởi các ðýờng y = 0, y = x, x = 2 y = 0, y = x2, x + y = 2 Giải: Có hai cách biểu diễn D: hoặc Do ðó Có ị cách biểu diễn D: 32 Sýu tầm by hoangly85
33. CAO CẤP A2 Ví dụ 2: Tính , D giới hạn bởi các ðýờng y = x – 4, y2 = 2x Giải: Hoành ðộ giao ðiểmầ Do ðóờ miền D ðýợc biểu diễn Vậy 2. Ðổi biến trong tích phân kép a. Ðổi biến tổng quát Giả sử x = x(u,v), y = y(u,v) là hai hàm có ðạo hàm riêng liên tục trên miền ðóngờ bị chặn Duv. Gọi Nếu f(x,y) khả tích trên Dxy và ðịnh thức ỹacobi trên Duv thì ta có 33 Sýu tầm by hoangly85
34. CAO CẤP A2 Ví dụ 3: Tính với D giới hạn bởi các ðýờng Giải: Các ðýờng thẳng viết lại Ðặt u = x + y, v = 2x – y thì Vậy b. Tích phân kép trong tọa ð cực ộ Công thức liên hệ tọa ðộ x = r.cos y = r.sin Ta cóầ Do vậyầ Ví dụ 4: Tính , với ắ giới hạn bởiầ ậx –1)2 + y2  1, y  0 Giải: 34 Sýu tầm by hoangly85
35. CAO CẤP A2 Rõ ràng Thay x = rcos , y = rsin vào ậx –1)2 + y2 = 1, ta ðýợc r ụ ịcos Vậy Do ðóầ Ví dụ 5: Tính với ắ là hình tròn x2 + y2  R2. Giải: Chuyển sang hệ tọa ðộ cựcờ ta cóầ Do ðóầ BÀI TẬP 1 -Tính các tích phân kép a) b) c) 35 Sýu tầm by hoangly85
36. CAO CẤP A2 d) 2-Tính các tích phân kép a) , D: 0  x  2; x2  y  2x b) , D: 0  x  2; -1  y  1 c) , D: xy = 1; y = ;x=2 3- Ðổi thứ tự biến lấy tích phân a) b) c) d) 4- Tính các tính phân d) , D: ;y=0 e) , D: y = x; ;y=0 f) , D: x2 + y2  1 g) , D: ; a, b 0 36 Sýu tầm by hoangly85
37. CAO CẤP A2 h) , D: i) , D: y = x + 1; y = x – 3; 5-Tính diện tích miền ắ giới hạn bởi j) D: y = x2; y = x + 2 k) D: y2 = x; y = 2x – x2 l) D: ; x =  1; y = -1 m) D: y = 2x; y = -2x; y = 4 §2 Tích phân bội 3 I. ÐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 1. Ðịnh nghĩa Cho hàm số  (x,y,z) xác ðịnh trong miền ðóngờ giới nội  của không gian ẫxyzề Chia miền  thành n miền nhỏ có thể tích là  V1,…ờ Vn. Lấy tùy ý một ðiểm Mi(xi,yi,zi) trong miền nhỏ thứ iề Lập tổng Nếu giới hạn : hữu hạnờ không phụ thuộc vào cách chia miền  , và ∞i, thì  (x,y,z) gọi là khả tích trên miền  , và ỗ gọi là tích phân bội ĩ của hàm  trên  , ký hiệu Týõng tự nhý tích phân képờ ta ký hiệu dxdydz thay cho dV và tích phân bội ĩ thýờng viết 37 Sýu tầm by hoangly85
38. CAO CẤP A2 Chú ýầ ỷếu  (x,y,z) = 1 thì (thể tích của  ). 2. Tính chất Nếu thì Nếu  (x,y,z)  g(x,y,z)  (x,y,z)   thì Nếu  (x,y,z) liên tục trong miền ðóng, bị chặn  thì tồn tại ðiểm ậx0,y0,z0)   sao cho (Ðịnh lý về giá trị trung bìnhấ II. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BộI 3 1. Tích phân bội 3 trong hệ tọa ð Descartes ộ Cho  giới hạn bỡiầ Mặt trênầ z ụ  2(x,y) Mặt dýớiầ z ụ  1(x,y) Xung quanh: mặt trụ có ðýờng sinh song song với trục ẫz và ðýờng chuẩn là biên của miền ắ thuộc mặt phẳng ẫxyề ậắ là hình chiếu của  xuống mặt phẳng ẫxyấề Khi ðó 38 Sýu tầm by hoangly85
39. CAO CẤP A2 Nếu miền thì Ví dụ 1: Cho miền Ù giới hạn bởi các mặtầ x ụ ếờ y ụ ếờ z ụ ếờ x ự y ự ịz ụ ịề Viết tích phân bội ĩ theo các thứ tự ầ a). dxdydz b). dxdzdy c). dydzdx Giải: a). Hình chiếu của Ù xuống mặt phẳng ẫxy là miền Giới hạn trên của Ùầ Giới hạn dýới của Ùầ Vậyầ 39 Sýu tầm by hoangly85
40. CAO CẤP A2 b). Hình chiếu của Ù xuống mặt phẳng ẫxz là miền Giới hạn trên của Ùầ Giới hạn dýới của Ùầ Vậyầ c). Hình chiếu  của xuống mặt phẳng ẫyz là Giới hạn trên của  là ầ x ụ ị-y-2z Giới hạn dýới của  là ầ x ụ ế Vậy Ví dụ 2: Tính ,  là miền giới hạn bởi các mặtầ z = x2+y2; z = 4; x = 0; y = 0. Giải: 40 Sýu tầm by hoangly85
41. CAO CẤP A2 Hình chiếu của miền Ù xuống mặt phẳng ẫxy là hình tròn ầ Mặt trên của Ùầ zụởờ Mặt dýới của Ùầ zụx2+y2. Vậy: 2. Tính tích phân bội 3 trong hệ toạ ð trụ ộ 41 Sýu tầm by hoangly85
42. CAO CẤP A2 Toạ ðộ trụ của ðiểm ∞ậxờyờzấ là bộ ba số ậrờöờzấờ với ậrờöấ là toạ ðộ cực của hình chiếu của ∞ xuống mặt phẳng ẫxy ậổình vẽấ Ta luôn cóầ r ≥ ếủ ế≤ ö ≥ịðủ -∞≥z≥ự∞ề Mối liên hệ giữa toạ ðộ ắescartes và toạ ðộ trụ x = r cosö y = r sinö z=z Ta có ầ Ví dụ 3: Tính với Ù là miền giới hạn bởi z ụ x2+y2; z = 4 Giải: Hình chiếu của Ù xuống mặt phẳng ẫxy là hình tròn x2+y2 ≤ ở Chuyển sang toạ ðộ trụ 42 Sýu tầm by hoangly85
43. CAO CẤP A2 Ù giới hạn bởiầ o ≤ ö ≥ ịðủ ế ≤ r ≤ ịủ r2 ≤ z ≤ ởề Vậyầ 3. Tính tích phân bội 3 trong hệ toạ ð cầu ộ Toạ ðộ cầu của một ðiểm ∞ậxờyờzấ là bộ ĩ số ậrờèờö), với r ụ ẫ∞ờ è là góc giữa trục Oz và , ö là góc giữa trục ẫx và , với ∞’ là hình chiếu của ∞ xuống mặt phẳng ẫxyề Ta cóầ Với mọi ðiểm ∞ trong không gian thì r ≥ ếủ ế ≤ è ≤ ðủ ế ≤ ö ≤ ịð Mối liên hệ giữa toạ ðộ ắescartes và toạ ðộ cầuầ x = r sinè cosö y = r sinè sinö z = r cosè Công thức tích phân trong hệ toạ ðộ cầu Ví dụ 1: Tính với Ù là miền giới hạn bởi hai mặt cầu x2+y2+z2 = 1; x2+y2+z2 = 4. Chuyển sang hệ toạ ðộ cầuờ ta cóầ Miền Ù xác ðịnh bởi ữ ≤ r ≤ ịủ ế ≤ è ≤ ðủ ế ≤ ö ≤ ịðề Vậyầ 43 Sýu tầm by hoangly85
44. CAO CẤP A2 Ví dụ 4: Tính với Ù là miền giới hạn bởi x2+y2+z2 ≤ zề Chuyển sang hệ toạn ðộ cầu ta cóầ Miền Ù xác ðịnh bởi ế ≤ r ≤ cosèủ ế ≤ è ≤ ; 0 ≤ ö ≤ ịðề Vậyầ §3 Ứng dụng của tích phân bội I. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC 1. Tính diện tích hình phẳng Diện tích của miền ắ trong mặt phẳng ẫxy 2. Thể tích vật thể Vật thể Ù trong không gian ẫxyz làầ Nếu Ù giới hạn trên bởi mặt z ụ f2(x,y) , giới hạn dýới bởi mặt z ụ f1(x,y) và giới hạn xung quanh bởi mặt trụ có ðýờng sinh song song với ẫz và có ðýờng chuẩn là biên của miền ắ trong mặt phẳng ẫxy thì Ví dụ 1: Tính thể tích phần hình nón nằm trong mặt cầu x2+y2+z2 = 4 Giải: 44 Sýu tầm by hoangly85
45. CAO CẤP A2 Gọi Ù là vật thể hình nón nằm trong hình cầu x2+y2+z2 ≤ ở Chuyển sang hệ toạ ðộ cầu thì Miền giới hạn bởi ế ≤ r ≤ ịủ ế ≤ è ≤ ; 0 ≤ ö ≤ ịðề Vậy Ví dụ 2: Tính thể tích hình cầu có bán kính Ở Giải: Ta có thể tích hình cầu hình cầu Hình cầu Ùầ x2+y2+z2 ≤ Ở2 Chuyển sang hệ toạ ðộ cầu thì , Và miền Ùầ ế ≤ r ≤ Ởờ ế ≤ è ≤ ðờ ế ≤ ö ≤ ịð Vậyầ II. ỨNG DỤNG CÕ HỌC 45 Sýu tầm by hoangly85
46. CAO CẤP A2 1. Tính khối lýợng a. Khối lýợng của vật thể Ù có khối lýợng riêng tại ðiểm ∞ậxờ yờ zấ là fậxờ yờ z) thìầ b. Nếu bản phẳng ắ trong mặt phẳng ẫxy và có khối lýợng riêng là fậxờ yấ thì : 2. Momem quán tính của vật thể Ù với khối lýợng riêng ñ(x, y, z) ð với ối c. trục ẫxầ d. trục ẫyầ e. trục ẫzầ f. ðýờng thẳng ỡầ , r(x, y, z) là khoảng cách từ ðiểm ∞ậxờ yờ zấ ðến ỡ g. Mặt ẫxyầ h. Mặt ẫxzầ i. Mặt ẫyzầ j. Gốc tọa ðộầ 3. Momen tĩnh của Ù với khối lýợng riêng ñ(x, y, z) ð với ối a) Mặt ẫxyầ 46 Sýu tầm by hoangly85
47. CAO CẤP A2 b) Mặt ẫxzầ c) Mặt ẫyzầ 4. Trọng tâm của Ù với khối lýợng riêng ñ(x, y, z) là BÀI TẬP 1- Tính với Ù a) giới hạn bởi ế ≤ x ≤ ữủ ữ ≤ y ≤ ịủ ị ≤ z ≤ ĩề b) giới hạn bởi các mặtầ x ự y ự z ụ ữủ x ụ ếờ y ụ ếờ z ụ ếề 2-Tínhầ a) , Ùầ z ụ x2 + y2; z = 4, x = 0, y = 0 (lấy trong miền x ≥ ếờ y ≥ ếấề b) , Ùầ y ụ x2, y + z = 1, z = 0. 3- Tínhầ a) , Ùầ z ụ x2 + y2; x2 + y2 = 4; z = 0. b) , Ùầ x2 + z2 = 1, y = 0, y = 1. c) , Ùầ , z = x2 + y2. d) , Ùầ góc phần tám thứ nhất của khối cầu ðõn vịề e) , Ùầ x2 + y2 + z2 = 2; . 47 Sýu tầm by hoangly85
48. CAO CẤP A2 f) , Ùầ x2 + y2 + z2 ≤ Ở2, x ≤ ếề 4-Tính thể tích vật giới hạn bởiầ a) z = x2 + 3y2, z = 8 – x2 – y2 b) y + z = 2; x = 4 – y2, các mặt phẳng tọa ðộ nằm trong góc phần tám thứ nhất c) x2 + y2 + z2 = 2z, x2 + y2 = z2. d) z = 4 – x2 – y2, các mặt phẳng tọa ðộ nằm trong góc phần tám thứ nhấtề 5- Tính momen quán tính ðối với các trục ẫxờ ẫyờ ẫz của khối chữ nhật ðồng chất ¿ầ a) Tìm tọa ðộ trọng tâm của vật thể ðồng chất giới hạn bởi các mặt z ụ ếờ x2 + y2 + z2 = 4. b) Tìm tọa ðộ trọng tâm của nửa hình cầu x2 + y2 + z2 ≤ a2, z ≥ ế nếu khối lýợng riêng tại mỗi ðiểm tỷ lệ với khoảng cách từ ðiểm ðó ðến gốc tọa ðộề 48 Sýu tầm by hoangly85
49. CAO CẤP A2 CHÝÕNG III: TÍCH PHÂN ÐÝỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT I. TÍCH PHÂN ÐÝỜNG LOẠI MỘT 1. Ðịnh nghĩa Cho hàm fậ∞ấ xác ðịnh trên cung ồửề ũhia cung th ành n phần tùy ý bởi các ðiểm A = Ao A1 …… ≥ ồn ụ ửề Ðặt li là ðộ dài cung ồiồi-1 và trên cung ồiồi-1 lấy một ðiểm ∞i tùy ýờ i ụ ữờ ị ờ … ờ nề (Hình ữềữấ Lập tổng ầ Nếu Sn có giới hạn hữu hạn ỗ khi n   sao cho max{ li }  0 và i không phụ thuộc vào cách chia các cung ồiồi-1 và cách chọn các ∞iờ thì ỗ ðýợc gọi là tích phân ðýờng loại ữ của f(M) trên cung và ðýợc ký hiệu làầ Vậyầ 49 Sýu tầm by hoangly85
50. CAO CẤP A2 Khi ðó ta nói fậ∞ấ là khả tích trên cung ồửề Nếu cung thuộc mặt phẳng xy và f là hàm theo ị biến fậxờyấ thì dùng ký hiệu ầ Trong không gian xyzờ f là hàm fậxờyờz ấ thì dùng ký hiệu Ý nghĩa thực tế: Xem 1 dây vật chất hình dạng ỡ và có mật ðộ khối lýợng là fậ∞ấ phụ thuộc vào ðiểm M trên dâyờ thì khối lýợng của dây vật chất là ầ Tích phân ðýờng loại ữ có nhiều ứng dụng thực tếờ ðýợc trình bày ở mục ỗề≤ 2. Ðịnh lý tồn tại Nếu hàm fậ∞ấ liên tục dọc theo cung trõn thì tích phân ðýờng loại ữ tồn tạiề 3. Các tính chất Tích phân ðýờng loại ữ không phụ thuộc hýớng của cungờ nghĩa làầ Nếu fờ g khả tích trên cung ồử và k là hằng số thì kfựg cũng khả tích và ầ Nếu f khả tích trên ồử và ũ là ữ ðiểm trên cung ồử thìầ Nếu fậ∞ấ  0 khả tích trên ồử thì ầ 50 Sýu tầm by hoangly85
51. CAO CẤP A2 Nếu f khả tích trên trên ồử thì cũng khả tích trên ồử vàầ Lýu ý: Nếu cung ồử trõn từng khúc ậnghĩa là cung ồử có thể chia thành ữ số hữu hạn cung trõnấ và fậ∞ấ liên tục trên cung ồử thì ðịnh lý tồn tại và các tính chất nêu trên vẫn ðúngề 4. Ðịnh lý (về giá trị trung bình) Nếu fậ∞ấ liêân tục trên cung trõn ồử có ðộ dài ỡề ẩhi ðó tồn tại ðiểm thuộc cung AB thỏa ầ 5. Công thức tính tích phânðýờng loại 1 trên mặt phẳng a) Cung có phýõng trình tham số : Cho hàm số fậxờyấ liên tục trên cung trõn , và cung có phýõng trình tham số ầ Chia [a,b] thành n ðoạn bởi các ðiểmầ a = to t1 .… ≥ tn ụ b ề Khi ðó cung ồử ðýợc chia týõng ứng thành n cung bởi các ðiểm ồkậxậtkấờ y(tk)), k= 0,1,2…ềờnề Theo ðịnh lý giá trị trung bình ta có ầ Lấy ðiểm giữa ∞kậxậtkấờ yậtkấấ thì có tổng tích phânầ 51 Sýu tầm by hoangly85
52. CAO CẤP A2 Vế phải là tổng tích phân xác ðịnhờ khi qua giới hạnờ ta ðýợcầ b) Cung có phýõng trình: y = y(x), a  x  b : Khi ðó từ công thức trênờ ta có ầ c) Cung AB có phýõng trình tọa ð cực ộ Nếu xem  là tham sốờ ta có ầ Vậy ầ 6. Công thức tính tích phân ðýờng loại 1 trong không gian Cho hàm số fậxờyờ zấ liên tục trên cung trõn ồử trong không gianề ũung có phýõng trình tham số ầ Hoàn toàn týõng tự nhý phần ỗềỏềaờ ta cóầ 7. Các thí dụ 52 Sýu tầm by hoangly85
53. CAO CẤP A2 a) Thí dụ 1: Tính Với ũ là ðýờng các cạnh tam giác có ðỉnh ẫậếờếấờ A(1,0), B(0,1) (Hình ữềịấ Ta có ầ Trên : y=0, dl = dx nênầ Trên : x=0, dl = dy nênầ Trên : y= 1-x  Vậy ầ 53 Sýu tầm by hoangly85
54. CAO CẤP A2 b) Thí dụ 2: Tính Với ũ là ðýờng cong có phýõng trìnhầ Sử dụng tọa ðộ cựcầ Vậyầ c) Thí dụ 3: Tính Với cung có phýõng trìnhầ x ụ acost ờ y ụ asintờ zụ bt ờ 0 t  3 Xem t là tham sốờ ta có ầ d) Thí dụ 4: Tính với ðýờng ỡ là phần trong góc tọa ðộ thứ nhất của giao tuyến giữa mặt ỳaraboloid elliptic có phýõng trình zụ ị- x2-2y2 và mặt trụ parabolic z = x2 từ ðiểm ậếờữờếấ ðến ậữờếờữấ Dùng tham số tụ x ờ thì ta có ầ 54 Sýu tầm by hoangly85
55. CAO CẤP A2 Vì ỡ nằm trong góc tọa ðộ thứ nhấtờ nên ta ðýợc phýõng trình tham số sauầ Do ðó ầ Vậyầ 8. Ứng dụng của tích phân ðýờng loại 1 a). Khối lýợng 1 cung: Giả sử cung vật chất chiều dài ỡ có khối lýợng riêng phụ thuộc ðiểm ∞ trên dây cung là  (M). Khi ðó với ữ cung nhỏ ồiồi+1, có ầ Vậyầ Qua giới hạn ta ðýợc ầ b). Moment tĩnh (moment thu nhất), trọng tâm cung phẳng : Cho 1 cung phẳng thuộc mặt phẳng xyờ có khối lýợng riêng phụ thuộc ðiểm ∞ậxờyấ trên dây cung là  (x,y). Theo ðịnh nghĩa moment trong cõ họcờ 55 Sýu tầm by hoangly85
56. CAO CẤP A2 ta có công thức moment của cung ðối với trục ẫx là ∞x và ðối với trục ẫy là ∞y là ầ Từ ðó trọng tâm khối lýợng của cung ồử ðýợc xác ðịnh bởiầ Nếu cung là ðồng chấtờ  (x,y) = hằng số ờ thì ầ ∞ụ  .L (L là chiều dài cung AB), và tọa ðộ trọng tâm sẽ là ầ Cũng nhớ rằng ầ khi cung không cắt trục ẫx và quay quanh trục ẫx thì diện tích mặt tròn xoay do cung phẳng ðó tạo ra là ầ Từ công thức toạ ðộ trọng tâmờ cóầ Thí dụ 5: Tìm trọng tâm của nửa trên vòng tròn tâm ẫ bán kính Ởề Giảiầ Xét nửa vòng tròn ồử tâm ếề ắo tính ðối xứng nên trọng tâm ậxờyấ phải nằm trên trục ẫy ậ ). Khi nửa vòng tròn ồử quay quanh trục ẫx ta ðýợc quả cầu có diện tích mặt cầu làầ S ụ ở R2, và ðộ dài nửa cung tròn ồử là ỡ ụ  R. Vậy trọng tâm có tung ðộ là ầ c). Moment tĩnh (moment thứ nhất), trọng tâm cung trong không gian: 56 Sýu tầm by hoangly85
57. CAO CẤP A2 Nếu cung trong không gian với khối lýợng riêng là  (x,y,z) thì týõng tự trýờng hợp phẳng ta có khối lýợng cung và các moment tĩnh cung ồử ðối với các mặt tọa ðộ xếyờ xếzờ yếz là ầ Và trọng tâm khối lýợng của cung có công thức ầ Nếu cung ồử ðồng chất ậ =hằng sốấ thì và ầ Thí dụ 6: Cho nửa vòng tròn bằng thép ðặt trong mặt phẳng y0z có phýõng trình y2 + z2 = 1, z  0. Biết khối lýợng riêng là  (x,y,z) = 2 – z. Hãy tìm khối lýợng và trọng tâm của nửa vòng tròn ðóề (Hình ữềĩấ Do nửa vòng tròn nằm trong mặt phẳng yzờ nên trọng tâm có xụ ếề Ngoài ra do ðối xứng và có khối lýợng phân bố ðối xứng ðối qua trục ẫz nên trọng tâm có y=0. Phýõng trình tham số của nửa vòng tròn là ầ xụế ờ y ụ cos t ờ z ụ sin t ờ ế t Vậyầ 57 Sýu tầm by hoangly85
58. CAO CẤP A2 d). Moment quán tính (moment thứ hai) Ta có công thức moment quán tính cung với khối lýợng riêng  (x,y,z) ðối với các trục toạ ðộ là ầ Tổng quátờ moment quán tính ðối với ðýờng thẳng  ðýợc tính bởi ầ Với rậxờyờzấ ầ khoảng cách từ ðiểm M(x,y,z) ðến ðýờng thẳng  Khi cung là cung phẳng ta có các khái niệm và công thức týõng tựề e). Diện tích mặt trụ Cho một cung trong không gian với z  0 có hình chiếu vuông góc xuống mặt phẳng xếy là cung Xem mặt trụ với ðýờng sinh song song trục ẫz, ðýờng chuẩn ũắ giới hạn trên cung ũắờ giới hạn dýới bởi cung ồửờ giới hạn 2 bên bởi các ðýờng thẳng ồũờ ửắ 58 Sýu tầm by hoangly85
59. CAO CẤP A2 (Hình ữềở ấ Giả sử cung ũắ có phýõng trình z ụ fậ∞ấờ∞ AB Chia cung AB thành n phần bởi các ðiểm ồụồoờ ồ1, ……ờ ồn ụ ử Khi ðó mặt trụ cũng ðýợc chia týõng ứng thành n mặt trụ nhỏờ và mặt trụ thứ i với ðáy là cung ồiồi+1 có diện tích ðýợc tính gần ðúng diện tích hình chữ nhật có ðáy là  i = AiAi+1 chiều cao fậ∞kấờ với ∞k  AiAi+1 là Si ụ  i x f(Mi). Khi ðó diện tích mặt trụ có diện tích tính gần ðúng làầ Qua giới hạnờ ta cóầ Thí dụ 7: Tính diện tích phần mặt trụ x2 + y2 = R2 nằm giữa mặt zụ ế và z= ở góc x  0 , y  0. Giải: Do mặt trụ giới hạn trên bởi ðýờng cong z ụ , giới hạn dýới bởi ¼ vòng tròn x2 + y2 = R2 trong mặt phẳng xyờ nên nó có phýõng trình ầ Xụ Ởcos t, y = Rsin t , 0  t   /2 Vậy ầ Ta cóầ 59 Sýu tầm by hoangly85
60. CAO CẤP A2 II. TÍCH PHÂN ÐÝỜNG LOẠI HAI 1. Ðịnh nghĩa tích phân ðýờng loại hai trong mặt phẳng Cho 2 hàm ỳậxờyấờ ẵậxờyấ xác ðịnh trên cung thuộc mặt phẳng xyề ũhia cung th ành n phần tùy ý bởi các ðiểm ồ ụ ồo ≥ ồ1 …… ≥ ồn ụ ửờ với ồiậxiờyiấ Trên mỗi cung AiAi+1 lấy một ðiểm ∞i ậxiờ yiấ tùy ýờ và i ụ ữờ ị ờ … ờ n và ðặt xi = x i+1 – xi , yi = yi+1 – yi Lập tổng ầ Nếu Sn có giới hạn hữu hạn ỗ khi n   sao cho max{ li }  0 với li là ðộ dài cung AiAi+1 và không phụ thuộc vào cách chia cung ðoạn ồiồi-1 và cách chọn các Mi, thì ỗ ðýợc gọi là tích phân ðýờng loại ị của fậ∞ấ trên cung ồử và ðýợc ký hiệu làầ Vậyầ 2. Ðịnh lý Nếu các hàm ỳậxờyấ ờ ẵậxờyấ liên tục trong một miền mở chứa cung ồử trõn từng khúc thì tích phân ðýờng loại ị luôn tồn tạiề 3. Tính chất a). Do khi ðổi hýớng cung thành thì trong tổng tích phân các xi = x i+1 – xi , yi = yi+1 – yi ðýợc thay bằng - xi , -yi nên tích phân ðýờng loại ị bị ðổi dấuề Ta có ầ 60 Sýu tầm by hoangly85
61. CAO CẤP A2 Do ðó khi ðýờng lấy tích phân là ðýờng cong kín ũờ ta quy ýớc hýớng dýõng trên ũ là hýớng mà khi ði dọc trên ũ thì miền bị chặn bởi ũ nằm phía bên tráiề ổýớng ngýợc lại là hýớng âmề Tích phân theo hýớng dýõng ðýợc ký hiệu là ầ (hình ịềữấ b). Nếu ỳậxờyấờ ẵậxờyấ khả tích trên cung , và cung ðýợc chia thành ị cung , thì ỳờ ẵ cũng khả tích trên ị cung ðó ờ và ta có : 4. Công thức tính tích phân ðýờng loại 2 trên mặt phẳng a). Cung AB có phýõng trình tham số : Cho hàm số ỳậxờyấờ ẵậxờyấ liên tục trong miền mở ắ chứa cung trõn . Cung có phýõng trình tham số ầ xụxậtấ ờ y ụ yậtấ ờ a t  b, t=a ứng với ðiểm ồ và t ụ b ứng với ðiểm ửề Từ ðịnh nghĩa có thể coi tích phân là tổng của ị tích phân riêng biệt (giới hạn của ị tích phânấ sauầ 61 Sýu tầm by hoangly85
62. CAO CẤP A2 Chia [a,b] thành n ðoạn bởi các ðiểm ầ a ụ to ≥ t1 …… ≥ tn ụ b ề ẩhi ðó cung ồử ðýợc chia týõng ứng thành n cung bởi các ðiểm ồkậxậtkấờ yậtkấấờ kụếờữờị…ềờnề Theo ðịnh lý ỡagrange ta có ầ thỏaầ Lấy ðiểm giữa ∞kậxậtkấờ yậtkấấ thì có ầ Týõng tự cóầ Nhý vậy công thức tính tích phân ðýờng loại ị ðýợc tính thông qua tích phân xác ðịnhầ Nếu cung có phýõng trình yụyậxấờ a t  b thì ta có Chú ý : Các công thức trên vẫn ðúng khi cung trõn từng khúcề 5. Bài toán cõ học dẫn tới tích phân ðýờng loại 2: công do một lực sinh ra trên một cung Xét bài toán tìm công do lực sinh ra dọc theo cung . Nếu lực không ðổi thì công ðýợc biết là ầ Trong trýờng hợp tổng quátờ chia cung bởi các ðiểm ồ ụ ồo ≥ ồ1 …… ≥ ồn ụ B. Trên mỗi cung ồiồi-1 lấy một ðiểm ∞i tùy ýờ với i ụ ữờ ị ờ … ờ nề ỷếu cung AiAi+1 khá bé thì có thể xấp xỉ là ðoạn thẳng ồiồi+1 và lực là không ðổi xấp xỉ 62 Sýu tầm by hoangly85
63. CAO CẤP A2 bởi . Khi ðó công sinh ra trên cung ồiồi+1 ðýợc xấp xỉ bởi . Khi ðóờ cóầ ồiồi+1 = xi + yi. và ≠ậ∞iấ ề ồiồi-1 = P(x,y) xi + Q(x,y).yi Và nhý vậy công sinh ra trên cung ồử ðýợc xấp xỉ bởi tổng ầ Nếu Sn có giới hạn hữu hạn ỗ khi n   sao cho max{ li }  0 với li là ðộ dài cung AiAi-1 và không phụ thuộc vào cách chia cung ðoạn ồiồi-1 và cách chọn các ∞iờ thì ỗ ðýợc gọi là tích phân ðýờng loại ị của fậ∞ấ trên cung ồử và ðýợc ký hiệu làầ Vế phải chính là tổng tích phân ðýờng loại ị của các hàm số ỳậxờyấờ ẵậxờyấ dọc theo cung AB. Qua giới hạn ta ðýợc ầ Từ bài toán này tích phân ðýờng loại ị còn gọi là tích phân công dù rằng còn nhiều bài toán thực tế cũng dẫn tới việc tìm giới hạn và dẫn tới việc tính tích phân ðýờng loại ịề 6. Một số thí dụ tích phân ðýờng loại 2 Thí dụ 1: Tính tích phân ðýờng loại ị ầ với ồậếờếấờ ửậữờữấề ũung AB là ðýờngầ a). Ðoạn thẳng ồử có phýõng trình y ụ xờ ế  x  1. b). Ðýờng ỳarabol y ụ x2. Giải: a). Với ồử ầ y ụ xờ ế  x  1 thì ầ 63 Sýu tầm by hoangly85
64. CAO CẤP A2 b). Với ồử ầ y ụ x2 , 0  x  1 thì ầ Ví dụ này cho thấy tích phân ðýờng loại ị nói chung phụ thuộc vào các ðiểm ðầu và cuối ồờ ử mà còn phụ thuộc vào ðýờng nối ị ðiểm ðầu và cuối Thí dụ 2: Tính tích phân ðýờng loại ịầ với ũ là vòng tròn tâm ẫậếờếấ bán kính ữờ có phýõng trình ầ xụcostờ yụsintờ ế t  2 Vậyầ Thí dụ 3: Tính công sinh bởi lực dọc theo cung : x = t, y = t2, 0 t  1 Ta có công sinh ra ầ 7. Tích phân ðýờng loại 2 trong không gian Cho hàm số ỳậxờyờzấờ ẵậxờyờzấờ Ởậxờyờzấ liên tục trong miền mở ắ chứa cung trõn , thì týõng tự nhý trên mặt phẳngờ ta có ðịnh nghĩa tích phân ðýờng loại hai trong không gian ầ Nếu cung có phýõng trình ầ xụxậtấ ờ y ụ yậtấ ờ zụ zậtấờ a t  b, t=a ứng với ðiểm ồ và t ụ b ứng với ðiểm ửờ và các ðạo hàm liên tục ậdo cung ồử trõnấ ờ thì ta có công thức tính ầ 64 Sýu tầm by hoangly85
65. CAO CẤP A2 Công sinh ra do lực dọc theo cung ðýợc tính bởiầ Thí dụ 4: Tính tích phân các hàm ỳ ụzờ ẵ ụ xờ Ở ụy dọc theo cung có phýõng trình ầ x ụ cos tờ y ụ sin tờ z = 3t , 0  t  2 8. Liên hệ giữa 2 loại tích phân ðýờng loại 1 và loại 2 Giả sử cung ồử có phýõng trình tham sốầ xụxậtấ ờ y ụ yậtấ ờ zụ zậtấờ a t  b, với t là ðộ dài cungề ỡúc ðó vectõ ầ l vectõ pháp tuyến ðõn vịề ẩhi ðó nếu gọi  ,  ,  là các góc của v ðối với các trục tọa ðộ ẫxờ ẫyờ ẫz týõng ứngờ thìầ x’ậtấ ụ cos  , y’ậtấ ụ cos , z’ậtấ ụ cos  Vậy tích phân ðýờng loại hai ðýợc tính bằng ầ 65 Sýu tầm by hoangly85
66. CAO CẤP A2 9. Tích phân ðýờng không phụ thuộc tham số của cung lấy tích phân. Giả sử cung ồử có phýõng trình tham số rậtấ ụ xậtấ i ự yậtấ j ự zậtấ z ờ a t  b, t=a ứng với ðiểm ồ và t ụ b ứng với ðiểm ửề ỷgoài ra có hàm số t ụ (s) liên hệ giữa hai tham số tờ s với   s   , a= ( ), b= ( ). Lúc ðó cung ồử có phýõng trình tham số s là ầ Ởậsấ ụ r( (s) ). Vậy tích phân ðýờng loại hai của vectõ ≠ theo cung ồử ðýợc tính bởi công thức ầ ðiều này cho thấy tích phân ðýờng không phụ thuộc tham số của cung lấy tích phânề III. CÔNG THỨC GREEN 1. Ðịnh Lý Green Cho D là miền ðóng giới nội trong mặt phẳng xy và ũ là ðýờng cong trõn từng khúcề Các hàm ỳậxờyấờ ẵậxờyấ và các ðạo hàm riêng của chúng liên tục trong miền mở chứa D. Khi ðó công thức Ứreen sauầ Trong ðó ầ tích phân ðýờng loại ị ở vế trái lấy theo hýớng dýõng Chú ý : Chu tuyến ũ có thể bao gồm nhiều chu tuyến ũữờ ũịờ ũĩờ …ề ẩhi ðó miền ắ gọi là ða liênờ và mỗi miền trong chu tuyến ũi gọi là ữ thành phần liên thôngề ∞iền ắ gọi là ðõn liên nếu chỉ có ữ thành phần liên thôngề 66 Sýu tầm by hoangly85
67. CAO CẤP A2 (hình ĩềữaấầ ðõn liên (hình ĩềữbấầ ða liên Thí dụ 1: Với ỳậxờyấ ụ x – y ; Q(x,y) = x. Với ắ là hình tròn tâm ẫậếờếấ bán kính ữề Biên ũ có phýõng trìnhầ xụcostờ yụsintờ ế  t  2 . Khi ðóầ vàầ 67 Sýu tầm by hoangly85
68. CAO CẤP A2 2. Ứng dụng Ðịnh Lý Green ð tính diện tích phẳng ể Trong công thức Ứreenờ lấy ỳ ụ-y, Q= x, ta có ầ Vậy diện tích miền ắ biên ũ là ầ Thí dụ 2: Tính diện tích hình ừllipse ầ Ta biết biên hình ừllipse là ðýờng ừllip phýõng trình ầ x ụ acostờ yụ bsintờ ế t  2  Theo công thức Ứreenờ có ầ Thí dụ 3: Tính diện tích hình phẳng bằng tích phân ðýờng trong tọa ðộ cựcề Ta có ầ xụ rậ ) cos  ; y= r( ) sin  Nên ầ dxụ dr’ậ ) cos  - r( ) sin  d ; dy= dr’ậ ) sin  - r( ) sin  d Khi ðó từ công thức Ứreen diện tích miền ắ là ầ IV. ÐIỀU KIỆN ÐỂ TÍCH PHÂN ÐÝỜNG LOẠI 2 KHÔNG PHỤ THUỘC ÐÝỜNG LẤY TÍCH PHÂN Thí dụ ≤ cho thấy tích phân ðýờng loại hai không những phụ thuộc vào các ðiểm ồờ ử mà còn phụ thuộc vào cung nối ị ðiểm ồờửề Ðịnh lý sau cho biết ðiều kiện ðể tích phân ðýờng loại hai chỉ phụ thuộc vào các ðiểm ðầuờ ðiểm cuối và không phụ thuộc vào các cung nối ị ðiểm ðóề 68 Sýu tầm by hoangly85
69. CAO CẤP A2 1. Ðịnh lý 1 Cho các hàm ỳậxờyấờ ẵậxờyấ và các ðạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trong một miền mở ðõn liên ắề ũác mệnh ðề sau là týõng ðýõng ầ i) Tích phân không phụ thuộc ðýờng trõn từng khúc nối ồờử ii) Tồn tại ữ hàm Uậxờyấ sao cho biểu thức ỳậxờyấdx ự ẵậxờyấdy là vi phân toàn phần của Uờ nghĩa lị ầ dU ụ ỳậxờyấdx ự ẵậxờyấdy iii) trong D vi) với mọi chu tuyến kín trõn từng khúc trong ắ Lýu ý : Ðịnh lý này không thể phát triển cho miền ða liênề Thí dụ ta lấy ắ là miền nhị liênờ hình vành khãn nằm giữa hai vòng tròn ðồng tâm ẫờ bán kính Ở1, R2. Xét tich phân ầ Lấy ị ðiểm ồờ ử và xem ị cung nối chúng là ũ1, C2 nhý hình ởềữ (Hình ởềữấ Ta có ũụ ũữ ự ậ-C2 ). Trong miền ắờ ta cóầ thỏa ậÐẩ iiiấ của Ðịnh lý ữ Nhýngầ 69 Sýu tầm by hoangly85
70. CAO CẤP A2 Có nghĩa là tích phân phụ thuộc vào ðýờng lấy tích phânề 2. Cách tính tích phân của ð lý 1 ịnh a). Giả sử ỳậxờyấờ ẵ(x,y) thỏa ðịnh lý ữờ vậy tích phân chỉ phụ thuộc ồờ và ử nên có thể viết nó dýới dạng ầ Giả sử ồậx0,y0) B(x1,y1). Khi ðó có thể tính tích phân ðýờng loại ị theo ðýờng ðõn giản nhất nối ị ðiểm ồờử là các ðýờng gấp khúc song song với các trục tọa ðộờ thí dụ lấy ũậx1,y0) và lấy theo ðýờng ồũờ ũửề (Hình ởềịấ Khi ðóầ Thí dụ 1: Tính Ta có ỳụyờ ẵụx  trong toàn mặt phẳng xyề Theo gợi ý trên ta có ầ 70 Sýu tầm by hoangly85
71. CAO CẤP A2 Thí dụ 2: Tính Theo ðýờng không cắt ðýờng thẳng xựy ụế ờ ta cóầ Vậy theo gợi ý trên ta cóầ b). Nếu ỳờ ẵ thoả ðịnh lý ữờ và nếu tìm ðýợc hàm U thỏa dU ụ ỳdx ự ẵdy thì ta có ầ Thật vậy , giả sử cung ồử có phýõng trình ầ xụxậtấờ yụyậtấờ a t  b. Khi ấy ta cóầ Thí dụ 3: Tính Ta nhận thấy ầ xdy ự ydx ụ dxyề Vậy theo nhận xét trên ta cóầ Thí dụ 4: Tính Ta có ầ 71 Sýu tầm by hoangly85
72. CAO CẤP A2 Vậyầ 3. Tích phân ðýờng loại 2 trong không gian Trong không gianờ týõng tự ðịnh lý ữ ta có ầ 3.1 Ðịnh Lý 2 : Cho các hàm ỳậxờyờzấờ ẵậxờyờzấờ Ởậxờyờzấ và các ðạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trong một miền mở ðõn liên ắề ũác mệnh ðề sau là týõng ðýõng ầ i) Tích phân không phụ thuộc ðýờng trõn từng khúc trong D nối ồờử ii) Tồn tại ữ hàm Uậxờyờzấ sao cho biểu thức ỳậxờyờzấdx ự ẵậxờyờzấdy ự R(x,y,z)dz là vi phân toàn phần của Uờ nghĩa là ầ dU = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz iii) Trong D ta có vi) với mọi chu tuyến kín trõn từng khúc trong ắ Chú ý : Khi P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) thỏa ðịnh lý ị và tìm ðýợc U thỏa trong ðiều kiện iiiờ thì khi ðó ta có ầ Nếu chýa biết hàm Uậxờyờzấ thì tích phân ðýờng có thể tính theo các ðýờng gấp khúc song song các trục tọa ðộề Ứiả sửờ có ðiểm ồậx0,y0, z0), B(x1,y1,z1) thì lấy thêm ị ðiểm ũậx1,y0, z0), D(x1,y1,z0) 72 Sýu tầm by hoangly85
73. CAO CẤP A2 (hình ởềĩấ và khi ðó ta có ầ Thí dụ 5: Tính Ta có ầ yzdx ự xzdy ự xydz ụ dậxyzấ Vậy ầ Thí dụ 6: Tính Ta có ầ các hàm ỳ ụ excosy ự yxờ ẵ ụ yz - exsiny, R = xy+z thỏa ðiều kiện iiiấ của Ðịnh lý ị vìầ Nhý thế áp dụng ðịnh lý ịờ tồn tại hàm U sao choầ U’x = y, U’y = x, U’z = 4 73 Sýu tầm by hoangly85
74. CAO CẤP A2 Từ U’x = y - U(x,y,z) = yx+ f(y,z) Cùng với U’y = x có ầ U’y = x + f’y ụ x - f’y = 0  f không phụ thuộc vào y - f= h(z) - U(x,y,z) = yz+h(z)  cùng với U’z = 4  h’ậzấ ụ ở  h(z) =4z+ C Vậy Uậxờyờzấ ụ yx ự ởz ựũ Và nghiệm U phải thỏa ầ dU ụ ế  yx + 4z = C’ V. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1 1. Ðịnh nghĩa Cho hàm số fậxờyờzấ xác ðịnh trên mặt Sề ũhia S thành n mặt con  S1,  S2, …ờ  Sn không chồng lên nhau và diện tích týõng ứng của các mặt con cũng ký hiệu là  S1,  S2, …ờ  Sn . Trong mỗi mặt  Si lấy một ðiểm ∞iậxiờ yiờ zi ấ bất kỳề ỡập tổng tích phânầ Khi cho max {d( Si) } - 0 (d( Si) : ðýờng kính của mặt  Si ), nếu tổng tích phân Sn tiến tới ữ giá trị hữu hạn không phụ thuộc cách chia mặt S và cách lấy các ðiểm ∞i thì giới hạn ðó gọi là tích phân mặt loại ữ ậcòn gọi là tích phân mặt theo diện tích của hàm fậxờyờzấ trên mặt S ấ và ký hiệu ầ Khi ðó ta nói f khả tích trên Sề Mặt S ðýợc gọi là mặt trõn nếu hàm vectõ pháp tuyến liên tục và khác ế trên Sề Ðã chứng minh ðýợc rằng ầ nếu fậxờyờzấ liên tục trên mặt cong trõn S thì tích phân mặt loại ữ của fậxờyờzấ trên S tồn tạiề 2. Tính chất Từ ðịnh nghĩa ta có các tính chất sauầ 74 Sýu tầm by hoangly85
75. CAO CẤP A2 Nếu fờ g khả tích trên Sờ thì kfựg cũng khả tích trên S và ầ Nếu S ðýợc thành ị phần Sụ S1+S2 thì ầ Diện tích mặt S ðýợc tính là : 3. Cách tính tích phân mặt loại 1 Giả sử mặt S có phýõng trình zụ zậxờyấờ với hàm zậxờyấ liên tục và có các ðạo hàm riêng liên tục trong miền mở chứa hình chiếu ắ của S xuống mặt phẳng xyề Ta tính gần ðúng  Si bằng mảnh phẳng tiếp xúc týõng ứng ậchýõng ữấ ta có ầ Trong ðó  Di là diện t ích hình chiếu của  Si xuống mặt phẳng xyề ỷhý vậy ta có tổng tích phân mặt loại ữ là ầ Vế phải là tổng tích phân képờ khi qua giới hạn ta cóầ Nhý vậy tích phân mặt loại ữ ðýợc biểu diễn ở dạng tích phân kép trên hình chiếuề Khi lấy f ụữ ta lại có công thức tính diện tích mặt cong ở chýõng ữ Thí dụ 1: Tính S là mặt biên vật thể  : x2+y2  z  1 Vật thể  là hình nónờ nên S bao gồm ị mặt S ụ Sữ ự Sịờ trong ðó Sữ ụ mặt nón ờ Sị ầ mặt ðáy của hình nónờ tuy nhiên Sữờ Sị cùng có hình chiếu là mặt tròn ầ x2 + y2  1. Vì thế ta có ầ Với mặt nón Sữ ầ z ụ 75 Sýu tầm by hoangly85
76. CAO CẤP A2   Với mặt ðáy Sị ầ z ụ ữờ ds ụ dxdyờ cho nên Vậyầ ỗ ụ Thí dụ 2: Tính S là các mặt hình lập phýõngầế x  1, 0 y  1, 0 z  1 (Hình ỏềữ ấ Do S là ẳ mặt của hình lập phýõngờ nhýng xyz ụế trên ĩ mặt nằm trên ĩ mặt phẳng tọa ðộ ậ xyờ xzờ yzấờ nên ta chỉ cần tích phân trên các mặt aấờ bấờ cấ trên (hình ỏềữấ ầ Mặt aấ ầ zụữờ ắầ hình vuông ầ ế x,y  1 trong mặt xyờ nên ầ Týõng tự ta có ầ 76 Sýu tầm by hoangly85
77. CAO CẤP A2 Vậy ỗ ụ 4. Ứng dụng của tích phân mặt loại 1 Cho mặt S có khối lýợng riêng theo diện tích là  (x,y,z) tại ðiểm ậxờyờzấề ẩhi ðó ầ Khối lýợng của mặt S là ầ Moment tĩnh ðối với các mặt tọa ðộ của mặt S làầ Tâm khối lýợng của mặt S là ðiểm có tọa ðộ ầ Moment quán tính ðối với trục ẫxờ ẫyờ ẫz ờ với góc ẫ và ðýờng thẳng  là ầ Trong ðó rậxờyờzấ là khoảng cách từ ðiểm ∞ậxờyờzấ tới ðýờng thẳng  . Thí dụ 3: Tìm trọng tâm của nửa mặt cầu tâm ẫậếềếờếấ bán kính aờ với khối lýợng riêng  = hằng sốề 77 Sýu tầm by hoangly85
78. CAO CẤP A2 Gọi ∞ậxờyờzấ là trọng tâm của nửa mặt cầu tâm ẫậếềếờếấ bán kính aề ẩhi ðó có phýõng trình mặt cầu là S ầ xị ự yị ự zị ụ aịờ z  0. Do tính ðối xứng nên x ụ ếờ y =0. ta chỉ cần tính z theo công thức S là diện tích nửa mặt cầu bán kính aầ Sụị a2 , và ắ là hình tròn bán kính aờ hình chiếu của mặt cầu trên mặt phẳng xy  Trọng tâm có tọa ðộầ ậ VI. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2 1. Ðịnh nghĩa mặt ð hýớng ịnh Xem mặt cong S là tập hợp các ðiểm ∞ậxờyờzấ thỏa phýõng trình ầ ≠ậxờyờzấ ụế Mặt S gọi là mặt trõn khi và chỉ khi hàm ≠ậxờyờzấ có các ðạo hàm riêng ≠’x, F’y, F’z liên tục và không ðồng thời bằng khôngờ hay nói khác là vectõ Ứradien  F(x,y,z) = (F’x, F’y, F’z) liên tục và khác ế trên mặt Sề 78 Sýu tầm by hoangly85
79. CAO CẤP A2 Trong trýờng hợp mặt S có phýõng trình tham số ầ x=x(u,v) , y=y(u,v) , z=z(u,v) Xét vectõ ầ r ụ rậuờvấ ụ xậuờvấ i ự yậuờvấ j ự zậuờvấ k Khi ðó mặt S gọi là trõn nếu hàm rậuờvấ khả vi liên tục ậtức là tồn tại các ðạo hàm riêng r’u, r’v liên tụcấ và tích r’u  r’v  0 Ðể ý rằng mặt cong S thýờng cho bởi phýõng trìnhầ zụ fậxờyấ Ðây là trýờng hợp riêng của dạng F(x,y,z) = f(x,y) – z = 0 có  F(x,y,z) = (f’x, f’y , -1) Hoặc cũng có thể xem là trýờng hợp riêng của phýõng trình tham số ầ x= x , y=y, z= f(x,y) có r’x = (1,0,f’x) , r’y = (0,1,f’y) và r’x  r’y = (-f’x, -f’y , 1) Và khi ðó mặt S là mặt trõn khi và chỉ khi các ðạo hàm riêng f’xờ f’y liên tục ậ vì các vectõ  F(x,y,z), r’x  r’y luôn khác ế ấ Mặt trõn S gọi là mặt ðịnh hýớng ðýợc hay là mặt hai phíaờ nếu tại mỗi ðiểm ∞ của S xác ðịnh ðýợc một vectõ pháp tuyến ðõn vị , và hàm vectõ là liên tục trên S. Lýu ý rằng vectõ pháp tuyến ðõn vị có thể là ,- , vì thế khi ðã chọn ữ vectõ xác ðịnhờ thí dụ chọn thì ta nói ðã ðịnh hýớng mặt Sề ∞ặt S với vectõ pháp tuyến ðõn vị ðã chọn ðýợc gọi là mặt ðịnh huớngờ và gọi là vectõ pháp tuyến dýõngề Ứng với ðã chọnờ ta có phía dýõng týõng ứng của mặt S là phía mà khi ðứng ở ðó ờ vectõ hýớng từ chân tới ðầuề ỳhía ngýợc lại gọi là phía âmề Nhý vậy một mặt ðịnh hýớng là mặt trõn ðã xác ðịnh trýờng vectõ pháp tuyến ðõn vị , và nó luôn có ị phíaề ẩhi không nói rõ thì hiểu là ðề cập tới phía dýõng của mặtề ẩhi mặt S không kínờ ðể nói ðến hýớng ðã chọn của mặt ta sẽ nói phía trên (hýớng dýõng ấ và phía dýới ậhýớng âmấề ẩhi mặt S kínờ ðể nói ðến hýớng ðã chọn của mặt ta sẽ nói phía trong ậhýớng dýõng ấ và phía ngoài ậhýớng âmấề Một mặt S ðịnh hýớng thì cũng xác ðịnh ðýợc luôn hýớng các ðýờng cong biên của nóề Ðó là hýớng mà khi ta ðýớng ở phía dýõng của mặt và ði theo ðýờng cong thì S luôn ở bên tráiề ổình ẳềữ cho thấy mặt S ðịnh hýớng có hai ðýờng biên ỡữờ ỡị với hýớng ðýợc xác ðịnhề 79 Sýu tầm by hoangly85
80. CAO CẤP A2 (Hình ẳềữấ Cũng lýu ý có những mặt không thể ðịnh hýớng ðýợcờ thí dụ lá ∞obiusề ỡá ∞obius có thể tạo ra bằng cách lấy một hình chữ nhật ồửũắ ậbằng giấyấ sau ðó vặn cong hình chữ nhật ðể ị cạnh ồắ giáp với cạnh ũử ậồ giáp ũờ ắ giáp ử ấề ẩhi ðó nếu lấy ữ vectõ pháp tuyến nậ∞ấ tại ữ ðiểm ∞ trên mặt lá và cho nó di chuyển theo láờ không qua biênờ ði một vòng và quay về ðiểm ∞ ban ðầu thì có hýớng ngýợc với lúc bắt ðầu di chuyểnề Với mặt ðịnh hýớng thì tại ữ ðiểm không thể có ị vectõ pháp tuyến ngýợc hýớngề Vì thế lá ∞obius không thể là mặt ðịnh hýớng mà chỉ là mặt một phíaề (Hình ẳềịấ Ta có thể mở rộng khái niệm mặt ðịnh hýớng ra trýờng hợp S trõn từng khúcề Mặt trõn từng khúc gọi là mặt ðịnh hýớng ðýợc nếu cứ ị thành phần trõn của S nối với nhau dọc ðýờng biên ũ thì ðề có ðịnh hýớng biên ũ ngýợc nhauề ẩhi ðó các vectõ pháp tuyến ở hai thành phần liên nhau sẽ chỉ cùng về ữ phía của mặt Sề Thí dụ hình 80 Sýu tầm by hoangly85
81. CAO CẤP A2 lập phýõng gồm ẳ mặt trõn nối theo các cạnhề ∞ặt ðýợc ðịnh hýớng dýớng là mặt ngoài nếu n và các cạnh ðịnh hýớng theo từng mặt (Hình ẳềĩấ 2. Ðịnh nghĩa tích phân mặt loại 2 Cho các hàm ỳậxờyờzấờ ẵậxờyờzấờ Ởậxờyờzấ xác ðịnh trên mặt ðịnh hýớng S có vectõ pháp tuyến ðõn vị (cos  , cos , cos  ). Tích phân mặt loại ữ ðýợc gọi là tích phân mặt loại ị của các hàm ỳờẵờỞ trên mặt ðịnh hýớng Sề Tích phân trên ðýợc ký hiệu ầ 3. Cách tính tích phân mặt loại 2: ð về tích phân kép ýa Giả sử cần tính tích phân (1) Trong ðó S là mặt cong có phýõng trình zụzậxờyấ ậtrõn hoặc trõn từng khúcấ với vectõ pháp tuyến ðịnh hýớng phía trên ậ phía trên mặt cong tạo với hýớng dýõng trục ẫz ữ góc nhọn ấ Do vế phải của ậữấ là giới hạn của tổng tích phân mặt loại ữ 81 Sýu tầm by hoangly85
82. CAO CẤP A2 (2) Ta cũng biết ậchýõng ữấ (3) Với  Si : diện tích mảnh cong  Si ,  Di là diện tích hình chiếu mảnh cong  Si xuống mặt phẳng xy, thì vectõ pháp tuyến tạo với trục ẫz góc nhọn nên cos i 0 và  Di lấy dấu dýõngề Thay ậĩấ vào ậịấ và qua giới hạn ta ðýợcầ Trong ðó ắ là hình chiếu của S xuống mặt phẳng xyề Nếu ðổi hýớng mặt S tức cos  i 0 và  Di lấy dấu âm thì ầ Týõng tự ta cóầ Trong ðó ắ1, D2 là các hình chiếu của S xuống các mặt phẳng yzờ xz týõng ứngờ chọn dấu ự hay dấu – tùy theo góc  và  là góc nhọn hay góc tùề Lýu ý: Từ công thức ậ2) thấy rằng nếu mặt S là ữ phần mặt trụ có các ðýờng sinh song song trục ẫz thì do cos i = 0 , dẫn tới Thí dụ 1: Tính với S ầ mặt phía ngoài giới hạn vật thể x2 + y2  R2, x 0, y 0, 0 z  b 82 Sýu tầm by hoangly85
83. CAO CẤP A2 (Hình ẳềởấ Mặt S ðýợc hia thành ỏ mặt ầ hai ðáy Sữờ Sị ờ hai mặt bên SĩờSở nằm trong các mặt phẳng xz ậyụếấ ờ yz ậxụếấ týõng ứng và mặt trụ cong Sỏ Ta có ầ Ba tích phân cuối cùng ụ ế vì là các mặt trụ có ðýờng sinh song song trục ẫzề Trên mặt S1 , do z= 0, nên ầ Trên mặt S2 , do z=h, nên ầ Vậy ỗ ụ Thí dụ 2: Tính với S ầ mặt phía ngoài của nửa mặt cầu x2 + y2 + z2 = R2, z  0 Ta có ầ 83 Sýu tầm by hoangly85
84. CAO CẤP A2 Trong ðó ầ S ụ S1 + S2 và S1 là phần ứng với y  0, S2 là phần ứng với y  0. Lýu ý rằng khi chuyển về tích phân kép theo nửa hình tròn trong mặt phẳng xz thì tích phân : lấy dấu dýõngờ và lấy dấu âmờ hàm dýới dấu tích phân lại là hàm chẵn nên Týõng tự ta có ầ ỗ2 = Vậy ỗ ụ Thí dụ 3: Tính với S ầ mặt phía ngoài của mặt cầu x2 + y2 + z2 = R2 Gọi S1 , S2 là các nửa mặt cầu ứng với z  0 và z  0. Trên S1 ta cóầ Trên S2 ta có ầ và khi ðýa về tích phân kép thì lấy dấu âm (do vectõ pháp tuyến hýớng xuống dýớiấờ nên ầ 84 Sýu tầm by hoangly85

mẹo hay

Bài giảng tính cức trị trong toán cao cấp 2 năm 2024

Bài Viết Liên Quan

Quảng Cáo

Có thể bạn quan tâm

Toplist được quan tâm

Quảng cáo

Xem Nhiều

Quảng cáo

Chúng tôi

Điều khoản

Trợ giúp

Mạng xã hội