§4. CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Tóm tắt kiến thức ~ Ax. z . . X I I « I . 2 . I . I X I 2 Dỡ/ với phương trình bậc hai ax + bx + c = 0, ta gọi biếu thức b - 4ac là biệt thức của nó và kí hiệu là A ; tức là A = b - 4ac. Nếu A> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: -b + y/Ã. -b-y/Ã Lưu ý. a] Nêu phương trình ax + bx + c = 0 có a và c trái dấu, tức là ac < 0 thì A = b - 4ac > 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt. Đối với các phương trình bậc hai dạng ax2 + bx = 0 hoặc ax2 + c = 0, ta vẫn có thê dùng biệt thức A để giải. Tuy nhiên, cách giải đã nêu trong bài trước thuận tiện hơn. Ví dụ Ví dụ 1. Xác định các hệ số, tính biệt thức Á của các phương trình sau, rồi cho biết mỗi phương trình đó có nghiệm hay không : a] 5x2 - 8x + 2 = 0 ; b] -2x2 + 3x + 5 = 0 ; c] 2x2 - X + 1 = 0 ; 6x2 + 5 = 0; e] 7x2 + 3x = 0. > Giải, a] Phương trình có các hệ số là : a = 5, b = -8, c = 2. A = [-8]2 - 4.5.2 = 64 - 40 = 24 > 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Phương trình có các hệ số là : a = -2, b = 3, c = 5. Á = 32 - 4.[-2].5 = 9 + 40 = 49 > 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Lưu ý. Ta có thể khẳng định ngay rằng phương trình -2x2 + 3x + 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt vì a = -2 và c = 5 trái dấu. Phương trình có các hệ số là : a = 2, b = -1, c = 1. A = [-1]2 - 4.2.1 = 1 -8 = -7 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Ví dụ 2. Dùng công thức nghiệm, giải các phương trình sau : , a] X2 - 8x + 15 = 0 ; b] 2x2 + 5x - 3 = 0 ; 36x2-12x+1 =0; d] 5x2 + 2x + 1 = 0. > Giải, a] A = [-8]2 - 4.1.15 = 64 - 60 = 4. VÃ = 74 = 2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt: -[-8]-2 2.1 5,x2 X, = 2.1 -[-8]+ 2 A = 52 - 4.2.[-3] = 49. VÃ = 749 = 7. Phương trình có hai nghiệm phân biệt: -5 + 7 1 -5-7 . XI = ———- = —, x2= ——— = -. 2.2 2 2.2 A = [12]2-4.36.1 = 144- 144 = 0. Phương trình có nghiệm kép : Xj = x2 = [ 3 A = 22-4.5.1 = 4 -20 =-16 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Giải. a] A = [-7] - 4.2.3 = 49 - 24 = 25. X, = VÃ = 5. Phương trình có hai nghiệm phân biệt: -[-7]+ 5 , _ -[-7]-5 1 . 5 Xọ ~~‘ 5 2.2 2.2 2 Trả lời : Vô nghiệm ; Trả lời : Xj = y, x2 = -1. 6 Trả lời : X, = , Xọ = -1. 3 Giải. A = [-8]2 - 4.1.16 = 64 - 64 = 0. -8 Phương trình có nghiệm kép : -o J X, = Xọ - — = 4. 2.1 Trả lời-: Phương trình có nghiệm kép : X] = x2 = - D. Bài tập luyện thêm Giải các phương trình : 9 5 2 „ X -yX -4 = 0; 3 3 6x2 + 0,8x + 0,02 = 0. Giải các phương trình : 2 Vix2 - 5Võx + 9V2 = 0 b]-|x2 + 7x + — = 0 ; 2 3 7x2 -3 72x -1 = 3x2 + 74x . Cho phương trình [m - 2]x2 + [2m - l]x + m + 2 = 0. Tim giá trị của m để phương trình : Có hai nghiệm phân biệt. Có nghiệm kép. Vô nghiệm. > 1. 2. 3. Hướng dẫn - Đáp sô Đáp sô': a] Xị = 2, x2 = -7- ; b] Xj -7-375 c]x' =_Io’X2 = ~ _Ị_ 30 Giải, a] A = [-570 ]2 - 4.272 .972 = 150-144 = 6. TÃ = 76. -[-576]+ 76 373 „ _ -[-576]-76 _ /7 X| = 2.2J2 -= 2 2.242 = 7 b] 7x2-3T2x-1 = 3x2 +72x « 4x2 - 472x - 1 = 0. A = [-472 ]2 - 4.4.[-l] = 32 + 16 = 48. TÃ = 748 = 473 . -[-472]+ 473 72+73 -[-472]-473 72-73 1 2.4 2 2.4 2 Phân tích. Muốn cho một phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt hoặc có nghiệm kép thì trước hết a + 0. Sau đó ta cần xét A. > Giải. Trước hết m - 2 # 0 hay m*2. A = [2m - l]2 - 4[m - 2][m + 2] = 4m2 - 4m + 1 - 4m2 + 16 = -4m + 17. 17 x Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi -4m + 17 > 0 hay khi m < — và m 2. 17 Phương trình có nghiệm kép khi -4m +17 = 0 hay khi m = -—. 4 17 Phương trình vô nghiệm khi -4m + 17 —.
Bài Tập và lời giải
Trả lời câu hỏi 1 Bài 4 trang 44 Toán 9 Tập 2
Hãy điền những biểu thức thích hợp vào các ô trống […] dưới đây:
a] Nếu \[\Delta \] > 0 thì từ phương trình [2] suy ra \[x + \displaystyle{b \over {2a}} = \pm ...\]
Do đó, phương trình [1] có hai nghiệm x1= …, x2= …
b] Nếu \[\Delta \] = 0 thì từ phương trình [2] suy ra \[{\left[ {x + \displaystyle{b \over {2a}}} \right]^2} = ...\]
Do đó, phương trình [1] có nghiệm kép x = …
Xem lời giải
Trả lời câu hỏi 2 Bài 4 trang 44 Toán 9 Tập 2
Hãy giải thích vì sao khi \[\Delta < 0\] thì phương trình vô nghiệm.
Xem lời giải
Trả lời câu hỏi 3 Bài 4 trang 45 Toán 9 Tập 2
Áp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình:
a] \[5x^2– x +2 = 0\]
b] \[4x^2- 4x + 1 = 0\]
c] \[-3x^2+ x + 5 = 0\]
Xem lời giải
Bài 15 trang 45 SGK Toán 9 tập 2
Không giải phương trinh, hãy xác định các hệ số \[a, b, c\], tính biệt thức \[∆\] và xác định số nghiệm của mỗi phương trình sau:
a] \[7{x^2} - 2x + 3 = 0\]
b] \[5{x^2} + 2\sqrt {10} x + 2 = 0\];
c] \[\dfrac{1 }{2}{x^2} + 7x + \dfrac{2 }{3} = 0\]
d] \[1,7{x^2} - 1,2x - 2,1=0\].
Xem lời giải
Bài 16 trang 45 SGK Toán 9 tập 2
Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải các phương trình sau:
a] \[2{x^2} - 7x + 3 = 0\]; b] \[6{x^2} + x + 5 = 0\];
c] \[6{x^2} + x - 5 = 0\]; d] \[3{x^2} + 5x + 2 = 0\];
e] \[{y^2} - 8y + 16 = 0\]; f] \[16{z^2} + 24z + 9 = 0\].
Xem lời giải
Đề kiểm 15 phút - Đề số 1 - Bài 4 - Chương 4 - Đại số 9
Bài 1: Giải phương trình :
a]\[2{x^2} - 5x + 2 = 0\]
b] \[{x^2} - \left[ {1 + \sqrt 2 } \right]x + \sqrt 2 = 0\]
Bài 2: Tìm m để phương trình \[{x^2} + \left[ {2m + 1} \right]x + {m^2} = 0\] có nghiệm kép và tính nghiệm kép với m vừa tìm được.
Bài 3: Tìm m để phương trình \[{x^2} + 2x + m - 2 = 0\] có hai nghiệm phân biệt.
Xem lời giải
Đề kiểm 15 phút - Đề số 2 - Bài 4 - Chương 4 - Đại số 9
Bài 1: Giải phương trình :
a] \[2{x^2} - 7x + 2 = 0\]
b] \[2{x^2} + 9x + 7 = 0.\]
Bài 2: Tìm m để phương trình \[{x^2} + x - m = 0\] có hai nghiệm phân biệt.
Bài 3: Tìm m để phương trình \[{x^2} - 3x + m = 0\] vô nghiệm.
Bài 4: Giải và biện luận phương trình: \[{x^2} + 2m + {m^2} - 1 = 0.\]
Xem lời giải
Đề kiểm 15 phút - Đề số 3 - Bài 4 - Chương 4 - Đại số 9
Bài 1: Chứng minh rằng phương trình \[{x^2} - - 2 = 0\] luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi a.
Bài 2: Tìm m để đồ thị hai hàm số \[y = {x^2}\] và \[y = 2mx + 4\] cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[y = - {x^2} + 4x + 3.\]
Xem lời giải
Đề kiểm 15 phút - Đề số 4 - Bài 4 - Chương 4 - Đại số 9
Bài 1: Tìm m để phương trình \[m{x^2} + \left[ {2m - 1} \right]x + m + 2 = 0\] có nghiệm.
Bài 2: Tìm tọa độ giao điểm của parabol \[y = 2{x^2}\] [P ] và đường thẳng \[y = 5x + 3\] [d].
Bài 3: Tìm m để parabol \[y = - {x^2}\] [P ] và đường thẳng \[y = x + m\] [d] tiếp xúc nhau.
Xem lời giải
Đề kiểm 15 phút - Đề số 5 - Bài 4 - Chương 4 - Đại số 9
Bài 1: Tìm m để phương trình \[{x^2} - \left[ {{m^2} + m} \right]x - 2 = 0\] có nghiệm.
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng qua điểm \[[0;− 2]\] và tiếp xúc với parabol \[y = 2{x^2}\] [P ].
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[y = {x \over {{x^2} + 1}}.\]
Xem lời giải
Đề kiểm 15 phút - Đề số 6 - Bài 4 - Chương 4 - Đại số 9
Bài 1: Tìm m để phương trình \[\left[ {m - 1} \right]{x^2} + \left[ {m + 4} \right]x + m + 7 = 0\] có nghiệm duy nhất.
Bài 2: Tìm m để parabol \[y = - {1 \over 4}{x^2}\] [P] và đường thẳng \[y = mx + 1\] [d] tiếp xúc với nhau.
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[y = \sqrt {x + 1} - x.\]
Xem lời giải