Đồ thị hàm số \(y = ax + b\, (a )\) - lý thuyết đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0).

1. Đồ thị hàm số \(y = ax + b\, (a 0).\)

Đồ thị của hàm số \(y = ax + b \,(a 0)\) là một đường thẳng:

+) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(b;\)

+) Song song với đường thẳng \(y = ax\) nếu \(b 0\) và trùng với đường thẳng \(y = ax\) nếu \(b = 0.\)

Đồ thị này cũng được gọi là đường thẳng \(y = ax + b\) và \(b\) được gọi là tung độ gốc của đường thẳng.

Lưu ý: Đồ thị hàm số \(y = ax + b\) cắt trục hoành tại điểm \(Q\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right).\)

2. Cách vẽ đồ thị của hàm số \(y = ax + b (a 0).\)

- Chọn điểm \(P(0; b)\) (trên trục \(Oy\)).

- Chọn điểm \(Q\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)\)(trên trục \(Ox\)).

- Kẻ đường thẳng \(PQ\) ta được đồ thị của hàm số \(y=ax+b.\)

Lưu ý:

+ Vì đồ thị \(y = ax + b (a 0)\) là một đường thẳng nên muốn vẽ nó chỉ cần xác định hai điểm phân biệt thuộc đồ thị.

+ Trong trường hợp giá trị \(- \dfrac{b}{a}\)khó xác định trên trục Ox thì ta có thể thay điểm Q bằng cách chọn một giá trị \(x_1\)của \(x\) sao cho điểm \(Q'(x_1, y_1)\) (trong đó \(y_1= ax_1+ b\)) dễ xác định hơn trong mặt phẳng tọa độ.

Ví dụ:

Vẽ đồ thị hàm số \(y = 2x + 5\).

+ Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 2.0 +5=5 \Rightarrow A(0; 5)\)

+ Cho \(y=0 \Rightarrow 0= 2. x +5 \Rightarrow x=\dfrac{-5}{2}\)\( \Rightarrow B {\left(-\dfrac{5}{2}; 0 \right)}\)

Do đó đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm \(A(0; 5)\) và \(B \left( { - \dfrac{5}{2};0} \right)\).

3. Các dạng toán cơ bản

Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

Phương pháp:

Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng đó để tìm hoành độ giao điểm.

Bước 2. Thay hoành độ giao điểm vừa tìm được vào một trong hai phương trình đường thẳng ta tìm được tung độ giao điểm.

Ví dụ:Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng\(y = 2x + 1\) và \(y=x+2\)

Xétphương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng ta có:

\(\begin{array}{l}
2x + 1 = x + 2\\
\Leftrightarrow 2x - x = 2 - 1\\
\Leftrightarrow x = 1\\
\Rightarrow y = x + 2 = 1 + 2 = 3
\end{array}\)

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là: \((1;3)\)

Dạng 2: Xác định hệ số a,b để đồ thị hàm số \(y = ax + b\,(a \ne 0)\) đi qua một điểm nào đó.

Phương pháp:

Ta sử dụng kiến thức: Đồ thị hàm số \(y = ax + b\,(a \ne 0)\) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) khi và chỉ khi \({y_0} = a{x_0} + b\).

Ví dụ:

Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = ax + 2\) đi qua điểm \(A (-1; 3)\). Tìm a.

Thay \(x=-1;y=3\) vào hàm số\(y = ax + 2\) ta được:\(3 = - 1.a + 2 \Leftrightarrow a = - 1\)

Vậy \(a=-1\)