Sử dụng kiến thức về dấu tam thức bậc hai, chúng ta có thể giải quyết được 2 dạng toán quan trọng sau:
1. Tam thức bậc hai là gì?
Tam thức bậc hai đối với biến $x$ là biểu thức có dạng $$f[x] = ax^2+ bx + c,$$ trong đó $a, b, c$ là những hệ số, $a \ne 0$.
2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai
2.1. Định lí dấu tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai $ f[x]=ax^2+bx+c $ với $ a\ne 0 $ có $ \Delta=b^2-4ac $. Khi đó, có ba trường hợp xảy ra:
- $ \Delta 0 $: $ f[x] $ có hai nghiệm phân biệt $ x_1,x_2 $ [giả sử $ x_10 $ và $ a0, $
- $ f[x] $ chỉ có một loại dấu hoặc âm hoặc dương nếu $ \Delta \leqslant 0. $
Do đó, chúng ta có các bài toán sau đây, với $ f[x]=ax^2+bx+c $ trong đó $ a\ne 0 $:
- $ f[x] >0\, \forall x\in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} \Delta 0 \end{cases}$
- $ f[x] \dfrac{x+5}{2-x}$
- $\dfrac{x-3}{x+5}1$
- $\dfrac{2x-5}{2-x}\geqslant -1$
- $\dfrac{2}{x-1}\leqslant \dfrac{5}{2x-1}$
- $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}