Ôn tập Toán 9
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn là một trong những dạng bài tập quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra môn Toán 9.
Chính vì vậy trong bài viết dưới đây Download.vn giới thiệu đến các bạn lớp 9 cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn và các bài tập kèm theo. Qua đó giúp các bạn có thêm nhiều tư liệu tham khảo, trau dồi kiến thức để giải nhanh các bài tập Toán.
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn lớp 9
1. Biến đổi biểu thức
Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm với hằng số.
Bước 2: Thực hiện tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
2. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy
Cho hai số a, b không âm ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b
3. Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tích
II. Bài tập tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Gợi ý đáp án
Điều kiện xác định x ≥ 0
Để A đạt giá trị lớn nhất thì
Có
Lại có
Dấu “=” xảy ra
Min
Vậy Max
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Gợi ý đáp án
a. Điều kiện xác định
Do
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0
Vậy GTLN của E bằng 1 khi x = 0
b. Điều kiện xác định
Do
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0
Vậy GTLN của D bằng 3/2 khi x = 0
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Gợi ý đáp án
Điều kiện xác định:
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Bài 4: Cho biểu thức
a, Rút gọn A
b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Gợi ý đáp án
a, với x > 0, x ≠ 1
b,
Với x > 0, x ≠ 1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy có:
Dấu “=” xảy ra
Vậy max
Bài 5: Cho biểu thức
a, Rút gọn A
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Gợi ý đáp án
a, với x ≥ 0, x ≠ 4
b, Có
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0
Vậy min
III. Bài tập tự luyện tìm GTLN, GTNN
Bài 1: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:
Bài 2: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:
Bài 3: Cho biểu thức:
a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9
b. Rút gọn biểu thức B
c. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A.B đạt giá trị nguyên lớn nhất.
Bài 4: Cho biểu thức:
Bài 5: Cho biểu thức:
a. Rút gọn A
b. Tìm giá trị lớn nhất của A
Bài 6: Cho biểu thức:
a. Rút gọn B
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của B.
-------------------------------------------------
Cập nhật: 09/11/2021
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Quảng cáo
1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f[x] xác định trên miền D
Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f[x] trên D nếu:
Kí hiệu:
Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f[x] trên D nếu:
Kí hiệu:
2. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sử dụng bảng biến thiên
Bước 1. Tính đạo hàm f'[x].
Bước 2. Tìm các nghiệm của f'[x] và các điểm f'[x]trên K.
Bước 3. Lập bảng biến thiên của f[x] trên K.
Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên kết luận
3. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số không sử dụng bảng biến thiên
Trường hợp 1. Tập K là đoạn [a; b]
Bước 1. Tính đạo hàm f'[x].
Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi ∈[a; b] của phương trình f'[x] = 0 và tất cả các điểm αi ∈ [a; b] làm cho f'[x] không xác định.
Bước 3.Tính f[a], f[b], f[xi], f[αi].
Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận
Trường hợp 2. Tập K là khoảng [a; b]
Bước 1. Tính đạo hàm f'[x].
Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi ∈ [a; b] của phương trình f'[x] = 0 và tất cả các điểm αi ∈ [a; b] làm cho f'[x] không xác định.
Bước 3. Tính
Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận
Chú ý: Nếu giá trị lớn nhất [nhỏ nhất] là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất [nhỏ nhất].
Quảng cáo
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 - 3x2 - 9x + 2 trên đoạn [-2; 2].
Hướng dẫn
Ta có: y' = 3x2 - 6x - 9 = 0 ⇔
Mà y[-2] = 0; y[2] = -20; y[-1] = 7.
Suy ra
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Hướng dẫn
Tập xác định: D = [-2; 2]. Ta có:
Khi đó y' = 0 ⇔
Có y[√2] = 2√2, y[2] = 2 ,y[-2] = -2.
Vậy
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x - sin2x trên đoạn [π/2; π]
Hướng dẫn
Ta có y' = 1 - 2cos2x = 0 ⇔ cos2x = 1/2 = cos π/3 ⇔ x = ±π/6 + kπ.
Xét x ∈[[-π]/2; π] ta được x = ±π/6; x = 5π/6.
f[[-π]/2] = -π/2; f[π] = π; f[[-π]/6] = -π/6 + √3/2; f[π/6] = π/6 - √3/2; f[5π/6] = 5π/6 + √3/2.
Suy ra
Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f[x] = x3 - 3x2 - 9x + 35 trên đoạn [-4; 4]
Hàm số f[x] liên tục trên [-4; 4]
Ta có f'[x] = 3x2 - 6x - 9; f'[x] = 0 ⇔
f[-4] = -41; f[-1] = 40; f[3] = 8;f[4] = 15.
Do đó
Quảng cáo
Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn [0; 2].
Ta có
Tính y[0] = 1/3; y[2] = -5.
Suy ra
Câu 3: Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số
Hàm số
Ta có
Tính y'[2] = 7; y'[4] = 19/3; y'[3] = 6.
Suy ra m = 6.
Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn [-1; 6].
Ta có:
y' = 0 ⇔ x = 5/2 ∈[-1; 6].
y[-1] = y[6] = 0, y[5/2] = 7/2.
Vậy
Câu 5: Tìm tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f[x] = |x| + 3 trên [-1; 1]
Ta có
Ta có bảng biến thiên của hàm số đã cho.
Vậy
Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn [0; 3].
Ta có:
y' = 0 ⇔
Tính y[1] = -5√5; y[0] = -12; y[2] = -8√2; y[3] = -3√13.
Suy ra
Câu 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin2 x + 2sinx - 1 bằng
TXĐ: D = R . Đặt t = sinx, -1 ≤ t ≤ 1. Khi đó y = f[t] = 2t2 + 2t - 1
Ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f[t] trên đoạn [-1; 1]. Đó cũng là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên R.
Ta có: f'[t] = 4t + 2; f'[t] = 0 ⇔ t = -1/2 ∈[-1; 1]; f[-1] = -1; f[-1/2] = -3/2; f[1] = 3
Do đó
Câu 8: Cho hàm số
Đặt t = sinx, -1 ≤ t ≤ 1 ⇒
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
gia-tri-lon-nhat-gia-tri-nho-nhat-cua-ham-so.jsp