Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình x^4 căn x+1 m = 0 có 2 nghiệm phân biệt

Điều kiện xác định x∈R

Đặt t=x2+1,t≥1

Phương trình trở thành t2-1-4t-m+1=0⇔t2-4t=m2

Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.

Xét hàm số ft=t2-4t có đồ thị là parabol có hoành độ đỉnh x=2∈1;+∞ nên ta có bảng biến thiên:

Dựa BBT ta thấy để (2) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 thì -4

Vậy không có giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

---

Page 2

Ta có: x2-4x+6+3m=0⇔3m=-x2+4x-6

Số nghiệm của phương trình x2-4x+6+3m=0 là số giao điểm của đường thẳng y=3m và parabol y=-x2+4x-6

Parabol y=-x2+4x-6 có hoành độ đỉnh x=2∈-1;3, hệ số a=-1<0 nên đồng biến khi x<2 và nghịch biến khi x>2.

Bảng biến thiên của hàm số y=-x2+4x-6 trên đoạn -1;3:

Từ bảng biến thiên ta thấy, nếu phương trình có nghiệm trên đoạn -1;3 thì đường thẳng y=3m phải cắt parabol tại ít nhất 1 điểm có hoành độ thuộc đoạn -1;3.

Phương trình có nghiệm thuộc đoạn -1;3⇔-11≤3m≤-2⇔−113≤m≤−23

Đáp án cần chọn là: B

---

Page 3

Ta có: x2+1x2−2mx+1x+1=0

x+1x2−2mx+1x−1=0  (1)

Đặt x+1x=t, t≥2 ta được t2−2mt−1=0   (2)

Phương trình (2) luôn có hai nghiệm t1<0 do a,c=-1<0a ⇒ phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có ít nhất một nghiệm t sao cho t≥2, hay ít nhất một trong hai số 2; −2 phải nằm giữa hai nghiệm t1,t2 hay f(2)≤0f(−2)≤0⇔3−4m≤03+4m≤0⇔m≥34m≤−34

Đáp án cần chọn là: B

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({x^4} - 3{x^2} - m - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

A.

\(m >  - 1\) hoặc \(m =  - \frac{{13}}{4}.\)

B.

C.

\(m \ge  - 1\) hoặc \(m =  - \frac{{13}}{4}.\)

D.

Tìm tập các giá trị thực của tham số m để phương trình \(4{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}+{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{x}}-m=0\) có đúng hai nghiệm âm phân biệt.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

ĐKXĐ: $0\leq x\leq 4$

Để phương trình có nghiệm trước tiên $m\ge 0$

Ta có $\sqrt{x}+\sqrt{4-x}=m\Rightarrow 4+2\sqrt{x(4-x)}=m^2$

$\iff x(4-x)={\left(\frac{m^2-4}{2}\right)}^2\iff x^2-4x+{\left(\frac{m^2-4}{2}\right)}^2=0$ $(1)$

Trước tiên, để $(1)$ có nghiệm thì ${\Delta }^{\prime }=4-{\left(\frac{m^2-4}{2}\right)}^2\ge 0\iff \sqrt{8}\ge m$

Ta thấy PT $(1)$ có xảy ra 2TH: có một nghiệm kép hoặc hai nghiệm đều dương. Nếu PT $(1)$ có hai nghiệm đều dương thì đồng nghĩa với phương trình ban đầu cũng có hai nghiệm dương (không thỏa mãn). Do đó PT đã cho có nghiệm duy nhất khi PT $(1)$ có nghiệm kép, hay $\Delta =0\iff m=\sqrt{8}$