Tìm m để phương trình có đúng 1 nghiệm thực

Tìm tất cả các giá trị thực của [m ] để phương trình [[x^2] - 4x + 6 + 3m = 0 ] có nghiệm thuộc đoạn [[ [ - 1;3] ] ].

Câu 44636 Vận dụng cao

Tìm tất cả các giá trị thực của \[m\] để phương trình \[{x^2} - 4x + 6 + 3m = 0\] có nghiệm thuộc đoạn \[\left[ { - 1;3} \right]\].

Đáp án đúng: b

Phương pháp giải

- Lập bảng biến thiên của hàm số \[y = - {x^2} + 4x - 6\] trên đoạn \[\left[ { - 1;3} \right]\]

- Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \[y = - {x^2} + 4x - 6\] và đường thẳng \[y = 3m\]

Chuyên đề:PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN-TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆAN – 1 GIÁO VIÊN TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I - NGHỆ AN BÀI TẬP: TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM 1/ Xác định m để pt sau có nghiệm: m[1 + 2 – 1 2 +2] = 21 4 + 1 + 2 – 1 2 [1] Hd: t = 1 + 2 – 1 2 đk: -1 x 1 thì 0 t2 ,ta có t2= 2 - 21 4 nên 1 4 = 222 Pt trở thành : mt + 2m = 2 – t2 + t Hay là f[t] = 2++2+2 = m [2] -Tìm Max ,Min của f[x] trên 0;2.Đk Min f[x] m Max f[x] 2/ Tìm m để pt sau có 2 nghiệm phân biệt: 22 2 1x mx x    [1] Hd: x - 12 Bình phương hai vế viết pt thành: f[x] = 32+41 = m [2] -Hàm số f[x] đồng biến với mọi x : 012 Do đó pt có 2 nghiệm khi m f[- 12] = 92 3/ Xác định m để pt sau có nghiệm thực : 243 1 1 2 1x m x x     [1] Hd: Đk x 1 - Chia hai vế pt cho + 1 > 0 , được : 3[ 1+14 ]2 + m = 2. 1+14 - Đặt t = 1+14 ta có 0 t 1 được phương trình f[t] = - 3t2+ 2t = m [2] - Pt [1] có nghiệm t/mãn x 1 Khi pt [2] có nghiệm t/mãn: 0 t 1. Đkiện Minf[x]  Maxf[x] Ta thấy trên nửa đoạn 0; 1] hàm số f[t] có Max= f[13 ] và không có Min Do đó suy ra : f[1] m f[13] Tức là : - 1 m 13 [chú ý với mọi x 1 thì 0 t 1] 4/ Cmr với m > 0, phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt 22 8 [ 2]x x m x    [1] Hd: Đk x 2 .Viết pt thành [x -2]2 + 6[x-2] =  . 2  = 3+ 6=  =2 0 [2] -P/trình [1] có hai nghiệm thực phân biệt thoả mãn x 2 khi p/trình [2] có 2 nghiệm thực t/mãn t 0 Vì ứng với mỗi giá trị t 0 cho ta một giá trị x = t2 + 2 [Do t = 2 ] 5/ Xác định m để pt sau có nghiệm: 2[ 1][3 ] 2 3x x x x m     [1] Hd: Đkiện: – 1 x 3 .Viết p/trình thành  2+ 2+ 3 = 223 + 3m + 3 .Đặt t =  2+ 2+ 3 , Thì 0  2 Ph/trình trở thành : - t2 + t = 3m + 3  f[t] = - 13 t2 + 13 t - 1 = m [2] -P/trình [1] có nghiệm t/mãn – 1 x 3 khi và chỉ khi p/trình [2] có nghiệm t/mãn 0  2 - Ta có trên 0; 2:Maxf[t] = f[12] = - 1112 ; Minf[t] = f[2] = - 53 .Do đó p/trình có nghiệm khi: - 53 m - 1112 6/ Xác định m để pt sau có đúng 2 nghiệm : 224 5 4x x m x x     [1] Hd: txđ: R Viết p/trình thành: x2 – 4x + 5 + 24+ 5 - 5 = m .Đặt t = 24+ 5 [*] , t 1. -Ta có p/trình : f[t] = t2 + t – 5 = m [2] - P/trình [1] có hai nghiệm khi p/trình [2] có một nghiệm thoả mãn t 1.Vì với mỗi giá trị của t thoả mãn t 1 thay vào [*] ta được hai giá trị x thuộc R,[với t = 1 thì p/trình chỉ có một nghiệm x = 2].Từ đó suy ra : m f[1] = - 3  m - 3 thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm . 7/ Xác định m để pt sau có nghiệm: 3 6 [3 ][6 ]x x x x m       [1] Hd: Đkiện: – 3 x 6 Đặt t = 3 + + 6  thì 0 t 6 ; Ta có : 3 + [6 ] = 292 . Do đó ta có pt : f[t] = 12 t2 – t - 92 = m [2] -Để pt [1] có nghiệm : – 3 x 6 thì pt [2] phải có nghiệm t thoả mãn 0 t 6 Điều kiện m phải thuộc tập giá trị của hàm số ,với 0 t 6 .Tức là Minf[t] m Maxf[t] .Với 0 t 6 . Chuyên đề:PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN-TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆAN – 2 GIÁO VIÊN TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I - NGHỆ AN Ta có Minf[t] = f[1] = -5 và Maxf[t] = f[6] = 3262 .Như vậy để pt có nghiệm thì : -5 m 3262 8/ Xác định m để pt sau có đúng 1 nghiệm : 4413 1 0x x m x     [1] Hd: -Viết pt thành 413+  4 = 1 – x .Đkiện : x 1 - Nâng luỹ thừa bậc 4 cả hai vế được : x4 – 13x + m = x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 1 Hay là f[x] = – 4x3 + 6x2 + 9x + 1 = m . [2] -Tính đạo hàm f ‘[x] = - 12x2 +12x +9 = 0 khi x1 = - 12 , x2= 32 … [Lập bảng biến thiên] - Suy ra :Để pt [1] có đúng một nghiệm thì m f[1] = 9 [lúc m f[1] = 9 mặc dù pt [2] có hai nghiệm nhưng chỉ có một nghiệm thoả mãn x 1] Vậy m 9 9/ Xác định m để pt sau có nghiệm : 22+  = 3 - x Hd: Đkiện: x 3 Bình phương hai vế ,được pt tương đương : 2x2 + mx = x2 – 6x + 9  - x2 - 6x + 9 = mx -Chia hai vế cho x 0 được pt : f[x] = 26+9 = m  f[x] = - x – 6 + 9 = m ,có f ‘[x]= -1- 92 0 với 30 Suy ra :Phương trình luôn có nghiệm ,với mọi m  R 10/ Xác định m để pt sau có nghiệm : mxxxx  1122 Hd: Txđ : R .Tính đạo hàm ,lập bbt với hàm số f[x] = 2+ + 1 - 2+ 1 để suy ra kết quả mong muốn 11/ Xác định m để pt sau có nghiệm duy nhất : 3221 2 1x x m    [1] Hd: Đkiện: – 1 x 1 .Đặt t = 1 26 thì 0 t 1 p/trình trở thành : f[t] = t3 + 2t2 = m [2] -Pt [1] có nghiệm thoả mãn – 1 x 1  pt [2] có nghiệm thoả mãn 0 t 1 . - Tính đạo hàm , lập bảng biến thiên để suy ra kết quả. 12/Xác định m để pt sau có nghiệm duy nhất : 341 2 [1 ] 2 [1 ]x x m x x x x m       13/ Xác định m để pt sau có nghiệm:  + 9  = 2+ 9 + m [1] Hd: Đkiện: 0 x 9 Đặt t =  + 9  thì 0 t  3 .Vì t2 = 9 + 22+ 9  2+ 9 = 292 Ta có ptrình : t = 292 + m . Hay là f[t] = - 22 + t + 92 = m [2] -Tìm m để pt [1] có nghiệm : 0 x 9 tương đương tìm m để pt [2] có nghiệm 0 t  3 -Đ/kiện : Minf[t] m Maxf[t] trên 0; 3.Ta có Minf[t] = f[3] = 3 , Maxf[t] = f[1] = 5. Vậy 3 m 5 Thì pt đã cho có nghiệm . 14/ Xác định m để pt sau có nghiệm:[m – 4]9x –2[m -2]3x + m – 1=0 [1] Hd: Txđ : R . -Thấy x = 0 không phải là nghiệm của pt .Do đó viết pt thành : m = 4.94.3+192.3+1  m = [2.3x1]2[3x1]2 .[*] Suy ra :- Đk cần : m 0 . -Đk đủ:Từ pt [*] có  = 2 +131   = 2 + 131 =  2  131   3 =  1  23 =  +1  + 2   [vì 3> 0  ]    0;1  4 ;+∞] 0 - Vậy m  0 ; + ∞] thì pt có nghiệm 15/Cho phương trình : 4122112= m với m là tham số. [1] - Xác định m để phương trình đã cho có nghiệm. Hd: Đk : -1 x 1 Đặt t = 212thì ta có 1 t 2 , phương trình trở thành: f[t] = t2 - 2 = m [2] - Tìm m để pt [1] có nghiệm x thoả mãn -1 x 1 tương đương tìm m để pt [2] có nghiệm t thoả mãn 1 t 2 Điều này xẩy ra khi :Trên 1 ; 2 thì Minf[t] m Maxf[t] . Chuyên đề:PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN-TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆAN – 3 GIÁO VIÊN TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I - NGHỆ AN – Ta có f ‘[t] = 2t + 22 0 với mọi t thuộc 1 ; 2 Suy ra Minf[t] = f[1] = - 1 Maxf[t] = f[2] = 3. -Vậy -13 thì pt có nghiệm 16/ Cho phương trình : 22+1 2+3 2 = 0 [1] a]Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt b]Giải phương trình với m=32 Hd: -Đặt t = 2x, t 0 Viết pt thành f[t] = t2 – 4t = m [2] – P/trình [1] có 2 nghiệm phân biệt khi pt [2] có 2 nghiệm dương phân biệt .Vì ứng với mỗi giá trị t 0 cho ta một giá trị x .[ x = log2 suy ra từ t = 2x ] – Dựa vào đồ thị [ hoặc bbt ] ta có : f[2] = - 4 m 0 [Lúc đó đường thẳng y = m cắt đồ thị y = f[t] = t2 – 4t tại hai điểm với hoành độ dương ]

12:03:4312/07/2021

Để phương trình bậc 2 có đúng 1 nghiệm âm có thể xảy ra các trường hợp như, phương trình bậc 2 có nghiệm dạng: x1 < 0 < x2; hoặc x1 = 0, x2 < 0 hoặc x1 = x2 < 0.

Bài viết này sẽ giải đáp câu hỏi: Phương trình bậc 2 có đúng 1 nghiệm dương khi nào? điều kiện PT bậc 2 có đúng 1 nghiệm dương là gì?

* Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 [với a≠0].

Theo như Vi-ét các em đã biết, nếu phương trình có hai nghiệm x1, x2 thì:

* Phương trình bậc 2 có đúng 1 nghiệm âm khi nào?

- Điều kiện để PT bậc 2 có đúng 1 nghiệm dương:

- Với yêu cầu pt bậc 2 có đúng 1 nghiệm dương thì đề bài toán thường cho có chứa tham số m.

* Ví dụ: Cho phương trình: 2x2 + 2[2m + 1]x + 2m2 + m - 1 = 0, [m là tham số] [*]

Tìm m để phương trình bậc 2 có đúng 1 nghiệm dương.

> Lời giải:

- Để phương trình bậc 2 có đúng 1 nghiệm dương:

* Với

* Với 

* Với 

- Kết hợp 3 ý trên, ta được: m < 1 thì phương trình [*] có đúng 1 nghiệm dương.

Các em có thể kiểm tra ngược lại bài toán trên xem kết quả mình làm thế nào nhé? ta thử chọn m = 0 [thỏa m