Mời các em tham khảo tổng hợp lý thuyết phương trình bậc nhất hai ẩn cùng một số dạng bài thường gặp và hướng dẫn cách làm, qua đó nắm được các định lý, công thức và áp dụng hoàn thành các bài tập.
Cùng xem nhé!
I. Lý thuyết phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng ax + by = c
Trong đó a,b,c là những số cho trước hoặc .
- Nếu các số thực thỏa mãn ax + by = c thì cặp số được gọi là nghiệm của phương trình ax + by = c.
- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , mỗi nghiệm của phương trình ax + by = c được biểu diễn bới điểm có tọa độ .
2. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm.
Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng d: ax + by = c.
+] Nếu và b = 0 thì phương trình có nghiệm
và đường thẳng d song song hoặc trùng với trục tung.
+] Nếu a = 0 và b 0 thì phương trình có nghiệm
và đường thẳng d song song hoặc trùng với trục hoành.
+] Nếu a \ne 0 và b \ne 0 thì phương trình có nghiệm
và đường thẳng d là đồ thị hàm số
II. Các dạng toán thường gặp về phương trình bậc nhất hai ẩn
Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để một cặp số cho trước là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn.
Phương pháp:
Nếu cặp số thực thỏa mãn ax + by = c thì nó được gọi là nghiệm của phương trình ax + by = c.
Dạng 2: Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn. Biểu diễn tập nghiệm trên hệ trục tọa độ.
Phương pháp:
Xét phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c.
1. Để viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình, trước tiên ta biểu diễn x theo y [ hoặc y theo x] rồi đưa ra công thức nghiệm tổng quát.
2. Để biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng d có phương trình ax + by = c.
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng ax + by = c thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp:
Ta có thể sử dụng một số lưu ý sau đây khi giải dạng toán này:
1. Nếu a 0 và b = 0 thì phương trình đường thẳng d: ax + by = c có dạng . Khi đó d song song hoặc trùng với Oy .
2. Nếu a = 0 và b 0 thì phương trình đường thẳng d: ax + by = c có dạng . Khi đó d song song hoặc trùng với Ox .
3. Đường thẳng d:ax + by = c đi qua điểm khi và chỉ khi
Dạng 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương pháp:
Để tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c, ta làm như sau:
Cách 1:
Bước 1: Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩn
Bước 2: Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ [chẳng hạn x ] theo ẩn kia.
Bước 3: Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của x
Bước 4: Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của x bằng một số nguyên t, ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn y và t
- Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên.
Cách 2:
Bước 1. Tìm một nghiệm nguyên của phương trình.
Bước 2. Đưa phương trình về dạng từ đó dễ dàng tìm được các nghiệm nguyên của phương trình đã cho.
III. Bài tập về phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình nào sau đây xác định một hàm số dạng \displaystyle y = ax + b?
a]
b]
c]
d]
Lời giải:
a] .
Phương trình trên xác định một hàm số dạng với
b]
Phương trình trên xác định một hàm số dạng y = ax + b với
c]
Phương trình trên xác định một hàm số dạng y = ax + b với
d]
Phương trình trên không xác định hàm số dạng y = ax + b
=>> Xem thêm nhiều bài tập khác trong chuyên đề toán 9 chương 3 bài 1 để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng làm bài
*******************
Trên đây là tổng hợp lý thuyết phương trình bậc nhất hai ẩn và các dạng bài thường gặp bao gồm các kiến thức cần nắm và cách làm các dạng bài tập liên quan mà Đọc tài liệu đã tổng hợp. Hy vọng đây sẽ là tài liệu học tập hữu ích cho các em học sinh cũng như các phụ huynh trong quá trình dạy học cho con em mình tại nhà. Ngoài ra đừng quên xem thêm những kiến thức khác và cách giải Toán 9 được cập nhật liên tục tại doctailieu.com. Chúc các em luôn học tốt và đạt kết quả cao!
Kiến thức cần nhớ
Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng ax + by = c, trong đó x và y là các ẩn ; a, b, c là các số đã biết, a và b không đồng thời bằng 0.
Đồ thị của phương trình ax + by = c là một đường thẳng.
Ví dụ 15.
Cho phương trình
ax + by = c [a và b không đồng thời bằng 0]. [1]
Đường thẳng biểu diễn phương trình có dạng như thế nào nếu :
a] a ≠ 0, b ≠ 0 ;
b] a = 0, b ≠ 0 ;
c] a ≠ 0, b = 0.
Giải
a] Nếu a 0, b ≠ 0 thì phương trình [1] trở thành y = x + .
Khi đó đồ thị cắt cả hai trục toạ độ [chẳng hạn đường thẳng 2x – y = 1 ở hình 2a ; y = 2x – 1 là hàm số bậc nhất].
b] Nếu a = 0, b ≠ 0 thì [1] có dạng y = .
Khi đó đường thẳng [1] vuông góc với trục tung [chẳng hạn đường thẳng y = 2 ở hình 2b ; y = 2 là hàm hằng số]. Đặc biệt, nếu c = 0 ta có phương trình của trục hoành y = 0.
c] Nếu a ≠ 0, b = 0 thì [1] có dạng x = .
Khi đó đường thẳng sẽ vuông góc với trục hoành [chẳng hạn đường thẳng x = -1 ở hình 2c ; chú ý rằng x= -1 không phải là hàm số vì ứng với một giá trị của x có nhiều hơn một giá trị tương ứng của y]. Đặc biệt nếu c = 0 ta có phương trình của trục tung x = 0.
Ví dụ 16.
Tìm các số nguyên x, y thoả mãn mỗi phương trình sau :
Giải
Đặt x + 1 = 2k [k ∈ Z] thì x = 2k – 1, y = 3[2k -1] + k = 7k – 3. Các số nguyên x, y thoả mãn phương trình đã cho là x = 2k – 1, y = 7k – 3 với k ∈ Z .
b] Biểu thị y theo x được
Đặt x – 1 = 3k [k ∈ Z] thì x = 3k + 1, y = 3[3k + 1] – 1 + k = 10k + 2.
Các số nguyên x, y thoả mãn phương trình đã cho là x = 3k+ 1, y = 10k + 2 với k ∈ Z.
BÀI TẬP
71. Chứng minh rằng khi a thay đổi, các đường thẳng ax + 5y = 2 luôn đi qua một điểm cố định.
72. Xét các đường thẳng d có phương trình
[m + 2]x + [m – 3]y – m + 8 = 0.
73. Chứng minh rằng với mọi m, các đường thẳng luôn luôn đi qua điểm A[-1; 2].
73*. Chứng minh rằng khi m thay đổi, các đường thẳng 2x + [m – 1]y = 1 luôn luôn đi qua một điểm cố định.
74. Vẽ đồ thị của các hàm số :
a] y = ; ‘ b] y = 2x + |1 – 2x|.
75. Cho hàm số
y = |x| + |1 – x|.
a] Vẽ đồ thị của hàm số.
b] Dùng đồ thị để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức |x| + |1 – x|.
c] Dùng đồ thị để tìm số nghiệm của phương trình |x| + |1 – x| nếu m = 1, m > 1, m < 1.
76. Tìm nghiệm nguyên của các phương trình :
a] 6x + y = 5 ; b] 4x + 3y = 20 ; c] 12x – 5y = 2.
77. Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình :
a] 4x + 11y = 47 ; b] 1 lx + 18y = 120.
78. Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình :
a] xy – 2x + 3y = 27 ; b] x[y + 3] – y = 38 ;
b] 3xy + x + y = 17 ; d] + x + 1 = xy – y.
79. a] Vẽ đồ thị của phương trình 2x – 3y = 6.
b] Biết rằng đường thẳng 2x – 3y = 6 chia mặt phẳng toạ độ thành hai miền [không kể đường thẳng 2x – 3y = 6] : một miền gồm các điểm cố toạ độ [x ; y] mà hoành độ và tung độ thoả mãn bất phương trình 2x – 3y < 6, miền còn lại gồm các điểm có toạ độ [x ; y] mà hoành độ và tung độ thoả mãn bất phương trình 2x – 3y > 6. Hãy xác định hai miền đó trên hình vẽ.
Xem hướng dẫn giải bài tập tại đây.