Khi phân tích x3 y3 thành nhân tử ta làm như
|
Giới thiệu về cuốn sách này Page 2Giới thiệu về cuốn sách này
Khách Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
CHUYÊN ĐỀ SINH HOẠT CHUYÊN MÔNHọ và tên tác giả: Huỳnh Thanh ThìChức vụ: Giáo viênĐơn vị cơng tác: Trường THCS Nguyễn Văn ThớiTên đề tài: Rèn Kỹ Năng Giải Tốn Phân Tích Đa Thức Thành Nhân TửI. Mở Đầu1. Lí do chọn đề tài:Tốn học là bộ mơn khoa học được coi là chủ lực, bởi trước hết Toán học hìnhthành cho các em tính chính xác, tính hệ thống, tính khoa học và tính logic,… vì thế nếuchất lượng dạy và học tốn được nâng cao thì có nghĩa là chúng ta tiếp cận với nền kinhtế tri thức khoa học hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân loại.Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị,đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy và học tốn nóiriêng trong trường THCS hiện nay là tích cực hố hoạt động học tập, hoạt động tư duy,độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm nâng caonăng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kĩ năng vận dụng kiếnthức một cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn.Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử là nộidung hết sức quan trọng, việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú, đa dạng choviệc học sau này như rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, giảiphương trình, rút gọn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất... Qua thực tế giảng dạy cũng nhưqua việc theo dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 8, việc phân tích đa thứcthành nhân tử là khơng khó, nhưng vẫn còn nhiều học sinh làm sai hoặc chưa thực hiệnđược, chưa nắm vững chắc các phương pháp giải, chưa vận dụng kĩ năng biến đổi mộtcách linh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán cụ thể.Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ vàgiải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng cao chất lượngbộ môn nên Tôi đã chọn đề tài: “ Rèn kĩ năng giải tốn phân tích đa thức thành nhântử”.2. Cơ sở thực tiễna. Thuận lợi:Được sự quan tâm giúp đỡ tạo điều kiện của Ban giám hiệu và tổ chuyên môn.Học sinh đa số là con em nơng dân nên có tính cần cù, chịu khó, ngoan hiền.b. Khó khăn:Tồn tại nhiều học sinh cịn yếu trong tính tốn, kĩ năng quan sát nhận xét, biến đổivà thực hành giải toán, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới, nhất là chưachủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8, do chay lười trong học tập, ỷ lại, trôngchờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu kém.Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khi gặp bàitập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp, khơng biết áp dụngphương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào là phù hợp nhất, hướnggiải nào là tốt nhất.1 Giáo viên chưa thật sự đổi mới phương pháp dạy học hoặc đổi mới chưa triệt để,ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, vẫn tồn tại theo lối giảng dạy cũxưa, xác định dạy học phương pháp mới còn mơ hồ.Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của con emmình như theo dõi, kiểm tra, đơn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà.3. Mục đích của đề tài:Chỉ ra những phương pháp giải giúp học sinh nắm chắc và vận dụng nhuần nhuyễncác dạng tốn “Phân tích đa thức thành nhân tử”Giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức cơ bản, có hệ thống về phân tích đathức thành nhân tử.Nâng cao chất lượng bộ mônII. Nội DungTrước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “Phân tích đa thức thành nhân tử làgì và ngồi giải những bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử thì những dạng bài tập nàođược vận dụng nó và vận dụng nó như thế nào ?Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức đã cho thành một tíchcủa các đa thức, đơn thức khác.Phân tích đa thức thành nhân tử là bài toán đầu tiên của rất nhiều bài tốn khác. Ví dụ:Bài tốn chứng minh chia hết.Rút gọn biểu thứcGiải phương trình bậc caoTìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất...1. Những giải pháp của đề tàiĐề tài đưa ra các giải pháp như sau:Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản.Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử.a) Đối với học sinh đại trà: Củng cố kiến thức cơ bảnPhương pháp Đặt nhân tử chungPhương pháp Dùng hằng đẳng thứcPhương pháp Nhóm nhiều hạng tửPhối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên)Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán.Củng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thực hành.b) Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư duyTìm tịi những cách giải hay, khai thác bài toán.Giới thiệu 2 phương pháp: tách hạng tử và thêm,bớt cùng một hạng tử(ngồi ra cịn một số phương pháp khác như đặt ẩn phụ, hạ bậc đa thức, hệ số bấtđịnh… nhưng vì lý do sư phạm nên tơi khơng trình bày ở đây.)2. Các phương pháp cơ bảnPhương pháp đặt nhân tử chungPhương pháp chung:Ta thường làm như sau:2 - Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số).- Tìm nhân tử chung của các biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất ).Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D). Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tửVí dụ 1: Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử.Giáo viên gợi ý:- Tìm nhân tử chung của các hệ số 14, 21, 28 trong các hạng tử trên ?(Học sinh trả lời là: 7, vì ƯCLN(14, 21, 28 ) = 7 )- Tìm nhân tử chung của các biến x2 y, xy2, x2y2 ?(Học sinh trả lời là xy )( ở các lớp học lực trung bình yếu thì giáo viên hỏi nhân tửchung của từng biến x, y)- Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho là 7xy.Giải: 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy= 7xy.(2x – 3y + 4xy)Ví dụ 2: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử.Giáo viên gợi ý:- Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ? (Học sinh trả lời là: 2)- Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x) ?- Hãy thực hiện đổi dấu tích 10x(x – y) hoặc tích – 8y(y – x) để có nhân tử chung(y – x) hoặc (x – y)?Cách 1: Đổi dấu tích – 8y(y – x) = 8y(x – y)Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x – y) = –10x(y – x)Giải:10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y)= 2(x – y).5x + 2(x – y).4y= 2(x – y)(5x + 4y)Ví dụ 3: Phân tích đa thức 9a(a – b) – 10(b – a)2 thành nhân tử.Lời giải sai: 9a(a– b) – 10(b – a)2 = 9a(a – b) + 10(a – b)2= (a – b)[9a + 10(a – b)]= (a – b)(19a – 10b)Sai lầm của học sinh ở đây là:Thực hiện đổi dấu sai: 9a(a – b) – 10(b – a)2 = 9a(a – b) + 10(a – b)2Sai lầm ở trên là đổi dấu ba nhân tử : –10 và (b – a)2 của tích –10(b – a)2(vì –10(b – a)2 = –10(b – a)(b – a)).Lời giải đúng: 9a(a – b) – 10(b – a)2 = 9a(a – b) – 10(a – b)2= (a – b)[9a – 10(a – b)]= (a – b)(10b – a)Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh:- Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử (tìm nhân tử chung của các hệ số và nhântử chung của các biến, mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất).- Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích.3 Chú ý: Tích khơng đổi khi ta đổi dấu hai nhân tử trong tích đó (một cách tổng qt, tíchkhơng đổi khi ta đổi dấu một số chẵn nhân tử trong tích đó).Phương pháp dùng Hằng đẳng thứcPhương pháp chung:Sử dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ dưới “dạng tổng hoặc hiệu” đưa về “dạngtích”1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)22. A2 – 2AB + B2 = (A – B)23. A2 – B2 = (A – B)(A + B)4. A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)35. A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)36. A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)7. A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)Ví dụ 4: Phân tích đa thức (a + b)2 – (a – b)2 thành nhân tử.Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào ? (HS: có dạng A2 – B2 )Lời giải sai: (a + b)2 – (a – b)2 = (a + b + a – b)(a + b – a – b)= (2a).0 = 0 (kết quả sai)Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện thiếu dấu ngoặc(a + b)2 – (a – b)2 = [(a + b) + (a - b)].[(a + b) - (a – b)]= (a + b + a - b)(a + b - a + b)= 2a.2b = 4abCác sai lầm học sinh dễ mắc phải:- Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc và quy tắc dấu- Phép biến đổi, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, bìnhphương của một hiệu.Lời giải đúng: Khai thác bài toán: Đối với học sinh khá giỏi, giáo viên có thể cho các em làm bài tậpdưới dạng phức tạp hơn.* Nếu thay mũ “2” bởi mũ “3” ta có bài tốnPhân tích (a + b)3 – (a – b)3 thành nhân tử* Đặt a + b = x, a – b = y, thay mũ “3” bởi mũ “6” ta có bài tốnPhân tích x6 – y6 thành nhân tửVí dụ 5: Phân tích x6 – y6 thành nhân tửGiải: x6 – y6 =x32y32= (x3 – y3 )( x3 + y3 )= (x – y)(x2 + xy + y2)(x + y)(x2 – xy + y2)Giáo viên củng cố cho học sinh:Các hằng đẳng thức đáng nhớ, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bài toán, dựa vàocác hạng tử, số mũ của các hạng tử mà sử dụng hằng đẳng thức cho thích hợp.Phương pháp nhóm nhiều hạng tửPhương pháp chungLựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện một tronghai dạng sau hoặc là đặt nhân tử chung, hoặc là dùng hằng đẳng thức.Thông thường ta dựa vào các mối quan hệ sau:- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán.4 - Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:+ Mỗi nhóm đều phân tích được.+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì q trình phân tích thànhnhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa.a. Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp đặt nhân tử chung:Ví dụ 6: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử.Cách 1: nhóm (x2 – xy) và (x – y)Cách 2: nhóm (x2 + x) và (– xy – y )Lời giải sai: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)= x(x – y) + (x – y)= (x – y)(x + 0)(kết quả dấu sai vì bỏ sót số 1)Sai lầm của học sinh là: bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung(HS cho rằng ở ngoặc thứ hai khi đặt nhân tử chung (x – y) thì cịn lại là số 0)Lời giải đúng: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)= x(x – y) + 1.(x – y)= (x – y)(x + 1)b. Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp dùng hằng đẳng thức:Ví dụ 7: Phân tích đa thức x2 – 2x + 1 – 4y2 thành nhân tử.Giải: x2 – 2x + 1 – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2= (x – 1)2 – (2y)2= (x – 1 – 2y)(x – 1 + 2y)c. Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên:Ví dụ 8: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử.Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y )= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y)= (x – 2y)(x + 2y – 2)Sai lầm của học sinh là:Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai ở ngoặc thứ hai)Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (– 2x – 4y )= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y)= (x + 2y)(x – 2y – 2)Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh:Cách nhóm các hạng tử và đặt dấu trừ “ – ” hoặc dấu cộng “ + ” ở trước dấu ngoặc,phải kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm.Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinh cần chú ý cáchnhóm và kiểm tra lại kết quả sau khi nhóm.Lưu ý: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì q trình phân tích thànhnhân tử khơng thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai, phải thực hiện lại.Phương pháp phối hợp nhiều phương phápPhương pháp chung5 Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tửchung, dùng hằng đẳng thức. Vì vậy học sinh cần nhận xét bài tốn một cách cụ thể, mốiquan hệ của các hạng tử và tìm hướng giải thích hợp.Ta thường xét từng phương pháp: Đặt nhân tử chung ?Dùng hằng đẳng thức ?Nhóm nhiều hạng tử ?Ví dụ 9: Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử.Gợi ý phân tích: Xét từng phương pháp:Đặt nhân tử chung ?Dùng hằng đẳng thức ?Nhóm nhiều hạng tử ?Các sai lầm học sinh thường mắc phảiLời giải chưa hoàn chỉnh:a) x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9)b) x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x)= x3(x – 9) + x(x – 9 )= (x – 9)(x3 + x )x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9)= x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)]= x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)]= x(x – 9)(x2 + 1)Ví dụ10: Phân tích đa thức 3a - 3b + a2 - 2ab + b2 thành nhân tử.Lời giải đúng:3a - 3b + a2 - 2ab + b2 = (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2)(Nhóm các hạng tử)= 3(a - b) + (a - b)2 (đặt NTC và dùng hằng đẳng thức)= (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung)Ví dụ 11: Phân tích đa thức a2 - b2 - 2a + 2b thành nhân tử.a2 - b2 - 2a + 2b = (a2 - b2) - (2a - 2b)(Nhóm các hạng tử)= (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)= (a -b) (a + b - 2)(Đặt NTC)Để phối hợp nhiều phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cần chú ý các bướcsau đây:+ Đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể từ đó làm đơn giản đa thức.+ Xem xét đa thức có dạng hằng đẳng thức nào khơng ?+ Nếu khơng có nhân tử chung, hoặc khơng có hằng đẳng thức thì phải nhóm cáchạng tử vào từng nhóm thoả mãn điều kiện mỗi nhóm có nhân tử chung, làm xuất hiệnnhân tử chung của các nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng thức. Cụ thể các ví dụ sau:6 Ví dụ 12: Phân tích đa thức A = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2 thành nhân tửTa thấy A khơng có dạng hằng đẳng thức, các hạng tử cũng khơng có nhân tử chung, vậylàm gì để phân tích được. Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a2 - 5b2 có nhân tử chung. Vì vậytrước tiên ta dùng phương pháp nhóm các hạng tửA = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2.Sau đó đặt nhân tử chung của nhóm thứ nhất làm xuất hiện hằng đẳng thứcA = 5(a2 - b2) + 3 (a + b)2. Sử dụng hằng đẳng thức ở nhóm đầu làm xuất hiện nhân tửchung của cả hai nhóm là(a+b) Vậy A = 5(a + b) (a - b) +3 (a + b)2 . Đã có nhân tử chunglà: (a + b) Vậy ta tiếp tục đặt nhân tử chung.A = (a + b) (8a - 2b) =2 (a + b) (4a - b).Ví dụ 13: Phân tích đa thức B = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy22 - 3xyz2 + 3xy thành nhân tửTrước hết hãy xác định xem dùng phương pháp nào trước ?Ta thấy các hạng tử đều chứa nhân tử chung 3xy.+ Đặt nhân tử chung.B = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - Z2 + 1)Trong ngoặc có 6 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào khơng?+ Nhóm hạng tử: B = 3 xy x2 - 2x + 1 ) - (y2 + 2y z + z2+ Dùng hằng đẳng thức: B = 3xy ( x - 1)2 - ( y + z)2 xem xét hai hạng tử trong ngoặccó dạng hằng đẳng thức nào.+ Tiếp tục sử dụng hằng đẳng thức:B = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1)Ví dụ 14: Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử.Trong ví dụ này có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn cách giảiphù hợp nhất, gọn nhất.Áp dụng hằng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B)Suy ra hệ quả sau:A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B).Giải:A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3= (x + y)3 +z3 +3z(x + y)(x+ y + z) – x3 – y3 – z3= [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z)= 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 )= 3(x + y)( xy + xz + yz + z2)= 3(x + y)(y + z)(x + z)Phương pháp tách hạng tử7 Trong một số trường hợp bằng các phương pháp đã học không thể giải được mà ta phảinghĩ tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để có thể áp dụng được các phương pháp đã biết.Định lí bổ sung:+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ướcdương của hệ số cao nhất+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tửbậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thìf (1 )avà1f ( 1)ađều là số1nguyên.Ví dụ 15: : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2- 6x + 8Cách 1: x2 - 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8 = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4)Cách 2: x2 - 6x + 8 = x2 - 6x +9 - 1 = (x - 3)2 - 12 = (x - 3+1)(x – 3 - 1) = (x-2)(x-4)Cách 3: x2 - 6x + 8 = x2 - 4-6x +12 =(x+2)(x-2)-6(x-2) = (x-2)(x+2-6)= (x-2)(x-4)Cách 4: x2 - 6x + 8 = x2 - 4x +4 - 2x + 4 = (x-2)2 - 2(x-2) = (x - 2)(x - 4)Có nhiều cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử trong đó có 2 cách thơng dụnglà:Cách 1 : Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm cáchạng tử và đặt nhân tử chung.Cách 2 : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đưa đa thức về dạng hiệu haibình phươngVí dụ 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 9x2+6x-89x2+6x-8 = 9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) = (3x -2)(3x+4)Hoặc= 9x2-6x+1 – 9 = (3x+1)2-32 = (3x+1-3)(3x+1+3) = (3x -2)(3x+4)*Chú ý : Khi tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử ta có thể dựa vào hằng đẳngthức đáng nhớ: mpx2 + (mq +np)x +nq = (mx +n)(px +q)Như vậy trong tam thức bậc hai: a x2+bx+c hệ số b = b1+ b2 sao cho b1. b2 = a.c. Trongthực hành ta làm như sau :- Tìm tích a.c- Phân tích a.c ra thành tích hai thừa số nguyên bằng mọi cách- Chọn hai thừa số mà tổng bằng bVí dụ 17: Khi phân tích đa thức 9x2+6x-8 thành nhân tửTa có : a = 9 ; b = 6 ; c = -88 + Tích a.c =9.(-8) =-72+ Phân tích -72 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số dương có giá trị tuyệtđối lớn hơn (để tổng hai thừa số bằng 6)-72 =(-1).72 =(-2).36 = (-3).24 = (-4).18 = (-6).12 = (-8).9+ Chọn hai thừa số có tổng bằng 6, đó là -6 và 12Từ đó ta phân tích9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4)Ví dụ 18 : Khi phân tích đa thức x 2 –x - 6 thành nhân tửTa có : a = 1 ; b = -1 ; c = -6+ Tích a.c =1.(-6) = -6+ Phân tích - 6 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số âm có giá trị tuyệt đốilớn hơn vì b = -1 < 0 (để tổng hai thừa số bằng -1)-6 = 1.(-6) = 2.(-3)+ Chọn hai thừa số có tổng bằng -1, đó là : 2 và -3Từ đó ta phân tíchx2 -x -6 = x2 + 2x -3x -6 = x(x+2) -3(x+2) = (x+2)(x-3)*Chú ý : Trong trường hợp tam thức bậc hai : ax2 + bx + c có b là số lẻ, hoặc khơng làbình phương của một số ngun thì nên giải theo cách một gọn hơn so với cách hai.Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tửKhi đa thức đã cho mà các hạng tử trong đa thức đó khơng chứa thừa số chung, khơngcó dạng của một hằng đẳng thức nào. cũng như khơng thể nhóm các số hạng thì ta phảibiến đổi hạng tử để có thể vận dụng được các phương pháp phân tích đã biết.Ví dụ 19: Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử.Ta có phân tích:- Tách x2 thành 2x2 – x2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức)Ta có x4 + x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 – x2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2- Thêm x và bớt x: (làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung)Ta có x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1 = (x4 – x) + (x2 + x + 1)Giải: x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1= (x4 – x) + (x2 + x + 1)= x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)= (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)Ví dụ 20: Phân tích đa thức x5 + x4 + 1 thành nhân tử.Cách 1: Thêm x3 và bớt x3 (làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung)Giải: x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + 1= (x5 + x4 + x3 )+ (1 – x3 )= x3(x2+ x + 1)+ (1 – x )(x2+ x + 1)= (x2+ x + 1)(x3 – x + 1 )9 Cách 2: Thêm x3, x2, x và bớt x3, x2, x (làm xuất hiện đặt nhân tử chung)Giải: x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + 1= (x5 + x4 + x3) + (– x3 – x2 – x ) + (x2 + x + 1)= x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)= (x2 + x + 1)(x3 – x + 1 ) Chú ý:Các đa thức có dạng x4 + x2 + 1, x5 + x + 1, x5 + x4 + 1, x7 + x5 + 1,….; tổng quát nhữngđa thức dạng x3m+2 + x3n+1 + 1 hoặc x3 – 1, x6 – 1 đều có chứa nhân tử x2 + x + 1.Ví dụ 21 : Phân tích đa thức x4 + 4 thành nhân tửTa thấy x4 =(x2)2 ; 4 = 22 Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng hạng tử 4x2x4 + 4 = (x4 + 4 + 4x2)– 4x2= (x2+2)2 – (2x)2 = (x2+ 2x +2)( x2- 2x +2)Ví dụ 22 : Phân tích đa thức 64a2 + b4 thành nhân tửTa thấy 64a4 =(8a2)2 ; b4 = (b2)2 Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùnghạng tử 16a2b264a2 + b4 = 64a2 + b4 + 16a2b2 - 16a2b2= (8a2 + b2)2 - (4ab)2 = (8a2 + b2-4ab)( 8a2 + b2+4ab)Trên đây là một vài ví dụ điển hình giúp các em học sinh giải quyết những khó khăntrong q trình giải bài tốn về phân tích đa thức thành nhân tử.3. Tóm lạiĐể thực hiện tốt kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử nêu trên thành thạo trongthực hành giải toán, giáo viên cần cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản sau:Củng cố lại các phép tính, các phép biến đổi, quy tắc dấu và quy tắc dấu ngoặc ởcác lớp 6, 7.Ngay từ đầu chương trình Đại số 8 giáo viên cần chú ý dạy tốt cho học sinh nắmvững chắc kiến thức về nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, các hằng thứcđáng nhớ, việc vận dụng thành thạo cả hai chiều của các hằng đẳng thức.Khi gặp bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh cần nhận xét:1. Quan sát đặc điểm của bài toán:Nhận xét quan hệ giữa các hạng tử trong bài toán (về các hệ số, các biến)2. Nhận dạng bài toán:Xét xem bài toán đã cho thuộc dạng nào? áp dụng phương pháp nào trước, phươngpháp nào sau (đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức hoặc nhóm nhiều hạng tử,hay dạng phối hợp các phương pháp)3. Chọn lựa phương pháp giải thích hợp:Từ những cơ sở trên mà ta chọn lựa phương pháp cho phù hợp với bài tốn Lưu ý: Kinh nghiệm khi phân tích một bài tốn thành nhân tửTrong một bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử10 - Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung thì bước tiếp theo đốivới biểu thức còn lại trong ngoặc, thường là thu gọn, hoặc sử dụng phương pháp nhómhoặc dùng phương pháp hằng đẳng thức- Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử thì bước tiếp theo đốivới các biểu thức đã nhóm thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùngphương pháp hằng đẳng thức- Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức thì bước tiếp theocủa bài tốn thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức Chý ý:Phương pháp đặt nhân tử chung không thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai bước liềnPhương pháp nhóm khơng thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai bước liềnPhương pháp dùng hằng đẳng thức có thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai bước liền* Trong phương pháp đặt nhân tử chung học sinh thường hay bỏ sót hạng tử* Trong phương pháp nhóm học sinh thường đặt dấu saiVì vậy, giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận trong khi thực hiện các phép biến đổi,cách đặt nhân tử chung, cách nhóm các hạng tử, sau mỗi bước giải phải có sự kiểm tra.Phải có sự đánh giá bài tốn chính xác theo một lộ trình nhất định, từ đó lựa chọn và sửdụng các phương pháp phân tích cho phù hợp.Xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng bài tốn, nhận xétđánh giá bài tốn theo quy trình nhất định, biết lựa chọn phương pháp thích hợp vậndụng vào từng bài toán, sử dụng thành thạo kỹ năng giải toán trong thực hành, rèn luyệnkhả năng tự học, tự tìm tịi sáng tạo. Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, họcsáng tạo, tìm những cách giải hay, cách giải khác.4. Kết quả đạt đượcTừ thực tế giảng dạy khi áp dụng phương pháp này tôi nhận thấy học sinh nắmvững kiến thức hơn, hiểu rõ các cách giải toán ở dạng bài tập này. Kinh nghiệm này đãgiúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững chắc về cách phân tích đa thức thànhnhân tử trong chương trình đã học, được học và rèn luyện kĩ năng thực hành theo hướngtích cực hố hoạt động nhận thức ở những mức độ khác nhau thông qua một chuỗi bàitập. Bên cạnh đó cịn giúp cho học sinh khá giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm một sốphương pháp giải khác, các dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài năng tốnhọc, phát huy tính tự học, tìm tịi, sáng tạo của học sinh trong học toán.Cụ thể kết quả kiểm tra về dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử được thống kêqua các giai đoạn ở ba lớp 8 như sau:a) Chưa áp dụng giải phápThời gian :Trung bình trở lênTS HSKhoảng giữa hkI năm học 2012 – 2013Số lượngTỉ lệ (%)Chưa áp dụng giải pháp801721.25%b) Áp dụng giải phápThời gianTrung bình trở lênTuần học thứ 7 năm học 2013 – 2014Kết quả đã áp dụng giải pháp11TS HSSố lượngTỉ lệ (%)937883.9% III. Kết luậnTrải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trên đây có kết quả hữuhiệu cho việc học tập và giải toán. Rất nhiều học sinh chủ động tìm tịi và định hướngphương pháp làm bài khi chưa có sự gợi ý của giáo viên, mang lại nhiều sáng tạo và kết quảtốt từ việc giải tốn rút ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.Vì lẽ đó với mỗi giáo viên nói chung và bản thân tơi nói riêng cần hiểu rõ khả năngtiếp thu bài của các đối tượng học sinh để từ đó đưa ra những bài tập và phương pháp giảitoán cho phù hợp giúp học sinh làm được các bài tập, gây hứng thú học tập, say sưa giảitốn, u thích học tốn. Từ đó dần dần nâng cao từ dễ đến khó, có được như vậy thì ngườithầy giáo cần phải tìm tịi nhiều phương pháp giải tốn, có nhiều bài tốn hay để hướng dẫnhọc sinh làm, đưa ra cho học sinh cùng làm, cùng phát hiện ra các cách giải khác nhau cũngnhư cách giải hay, tính tự giác trong học tốn, phương pháp giải tốn nhanh, có kỹ năngphát hiện ra các cách giải tốn nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải..Trong quá trình thực hiện đề tài chắc hẳn khơng tránh khỏi những hạn chếthiếu sót nhất định, rất mong sự góp ý chân tình của các đồng nghiệp đểđề tài được hoàn thiện hơn.Nhận xét, đánh giá của TCMThạnh Lộc, ngày tháng năm 2013Tác giả12 |
