Sáng nay 15/3/2023 tại tất cả các cụm trường THPT ở Hà Nội đã diễn ra kì thi học sinh giỏi cụm. Năm nay là năm đầu tiên lớp 10 học theo chương trình mới, nhiều trường học nhiều bộ sách khác nhau và năm nay cũng là năm đầu tiên kì thi cấp cụm mà các cụm trường THPT lại thi cùng 1 đề như này. Chính vì thế mà đề thi lớp 10 năm nay có nhiều thay đổi so với trước rất nhiều - đây là bỡ ngỡ và khó định hướng khi ôn luyện bồi dưỡng đội tuyển, với lớp 11 vẫn giữ ổn định như mọi năm.
Sau đây chúng tôi xin giới thiệu thầy cô và các em học sinh để thi và đáp án môn toán lớp 10 kì thi học sinh giỏi năm học 2022-2023
Bài 1 [4,0 điểm] Cho Parabol $[P]: y=x^2-2 x-1$.
- Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị $[P]$.
- Tìm giá trị thực của $m$ để đường thẳng $d: y=m x+1$ cắt $[P]$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1 ; x_2$ thoả mãn $\left|x_1-x_2\right|$ nhỏ nhất ?
Bài 2 [3,0 điểm]
Một trang trại cần thuê xe vận chuyển 450 con lợn và 35 tấn cám. Cửa hàng cho thuê xe chỉ có 12 xe lớn và 10 xe nhỏ. Một chiếc xe lớn có thể chở 50 con lợn và 5 tấn cám. Một chiếc xe nhỏ có thể chở 30 con lợn và 1 tấn cám. Tiền thuê một xe lớn là 4 triệu đồng, một xe nhỏ là 2 triệu đồng. Hỏi trang trại phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thuê xe là thấp nhất?
Bài 3 [6,0 điểm]
- Giải bất phương trình $\sqrt{2 x+5} \leq 2 x-1$.
- Giải phương trình $10 \sqrt{x^3+1}=3\left[x^2+2\right]$.
- Tính giá trị biểu thức $P=\cos 2 1{\circ}+\cos 2 2{\circ}+\cos 2 3{\circ}+\ldots+\cos 2 180{\circ}$.
Bài 4 [4,0 điểm]. Cho tam giác ${A B C}$ có $A C=2 A B, A B=\sqrt{3}, \widehat{B A C}=60^{\circ}, A D$ là đường phân giác trong của góc $\widehat{B A C}$. Lấy điểm $I$ thỏa mãn $\overrightarrow{A I}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A D}$, đường thẳng ${B I}$ cắt ${A C}$ tại $M$.
- Chứng minh $\overrightarrow{A D}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}$;
- Tính độ dài cạnh ${B C}$, ${A D}$.
- Tính giá trị biểu thức $P=\frac{A M}{A C}+\frac{B I}{B M}$.
Bài 5 [3,0 điểm]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $\mathrm{O} x y$, cho hình chữ nhật ${A B C D}$ có diện tích bằng 12 , $B D=\sqrt{26}$ và điểm $A[2 ;-1]$. Biết điểm $C$ có hoành độ dương và nằm trên đường thẳng $d: x-y+1=0$.
- Viết phương trình đường thẳng ${A C}$.
- Tìm tọa độ điểm ${B}$ biết $B$ có hoành độ lớn hơn 4.
Hướng dẫn giải:
Bài 2.
Gọi ${x, y}$ lần lượt là số xe lớn và số xe nhỏ cần phài thuê.
Điều kiện: $00$
$A{{C}{2}}=B{{D}{2}}=26$ $\Leftrightarrow {{[c-2]}{2}}+{{[c+1+1]}{2}}=26$ $.\,.\,.\,\,\Rightarrow C[3;4]$.
- Cách 1:
Có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} A{{B}{2}}+B{{C}{2}}=B{{D}{2}} \\ AB\cdot BC={{S}_{ABCD}} \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} A{{B}{2}}+B{{C}{2}}=26 \\ AB.BC=12 \\\end{array} \right.$ giải ra $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} A{{B}{2}}=8 \\ B{{C}{2}}=18 \\\end{array} \right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{*{35}{l}} A{{B}{2}}=18 \\ B{{C}^{2}}=8 \\\end{array} \right.$.
Gọi $B[x ; y]$ với $x>4$.
Trường hợp 1: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} A{{B}{2}}=8 \\ B{{C}{2}}=18 \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{[x-2]}{2}}+{{[y+1]}{2}}=8 \\ & {{[x-3]}{2}}+{{[y-4]}{2}}=18 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}{2}}+{{y}{2}}-4x+2y=3 \\ {{x}{2}}+{{y}{2}}-6x-8y=-7 \\ \end{array} \right.\text{ }$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=5-5y \\ {{x}{2}}+{{y}{2}}-4x+2y=3 \\ \end{array} \right.$ và giải tiếp.
Trường hợp 2: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} A{{B}{2}}=18 \\ B{{C}{2}}=8 \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{[x-2]}{2}}+{{[y+1]}{2}}=18 \\ & {{[x-3]}{2}}+{{[y-4]}{2}}=8 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}{2}}+{{y}{2}}-4x+2y=13 \\ {{x}{2}}+{{y}{2}}-6x-8y=-17 \\ \end{array} \right.\text{ }$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=15-5y \\ {{x}{2}}+{{y}{2}}-4x+2y=13 \\ \end{array} \right.$ và giải tiếp.
Kết luận: . . .
Cách 2:
Gọi $B[a,b]\,\,\,[a>4]$
Vì ${A B C D}$ là hình chữ nhật nên suy ra $\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}=0 \Rightarrow[a-3][a-2]+[b-4][b+1]=0[1]$
Ta có $S_{A B C D}=A C \cdot d[B, A C]=12 \Leftrightarrow d[B, A C]=\frac{12}{\sqrt{26}} \Leftrightarrow \frac{|5 a-b-11|}{\sqrt{26}}=\frac{12}{\sqrt{26}}$ $\Leftrightarrow d[B,AC]=\frac{12}{\sqrt{26}}\Leftrightarrow \frac{|5a-b-11|}{\sqrt{26}}=\frac{12}{\sqrt{26}}$ $\Leftrightarrow|5 a-b-11|=12 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}5 {a}-b=23 \\5 {a}-b=-1\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} 5{a}-b=23 \\ 5{a}-b=-1 \\\end{array} \right.$.
Trường hợp 1: $5 {a}-b=-1 \Rightarrow b=5 {a}+1$ thay vào $[1]$ ta có $[a-3][a-2]+[5a+1-4][5{a}+1+1]=0$ $\Leftrightarrow 26{{{a}}^{2}}-10{a}=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=0[l] \\ a=\frac{5}{13}[l] \\ \end{array} \right.$
Trường hợp 2: $5 {a}-b=23 \Rightarrow b=5 {a}-23$ thay vào [1] ta có $[a-3][a-2]+[5a-23-4][5{a}-23+1]=0$ $\Leftrightarrow 26{{{a}}^{2}}-250{a}+600=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=5\Rightarrow b=2 \\ a=\frac{60}{13}\Rightarrow b=\frac{1}{13} \\ \end{array} \right.$.