Đề bài
Cho đường tròn [O]. Hai dây AB và CD song song với nhau. Biết \[AB = 30cm, CD = 40cm\], khoảng cách giữa hai dây là 35cm. Tính bán kính đường tròn [O].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì qua trung điểm của dây ấy.
- Định lý Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương các cạnh góc vuông
Lời giải chi tiết
Kẻ \[OH AB\], ta có:
\[HA = HB = {{AB} \over 2} = {{30} \over 2} = 15\,\left[ {cm} \right]\] [định lí đường kính dây cung]
Mặt khác: vì AB // CD [gt]
nên \[OH CD\] tại K, ta có:
\[KC = KD = {{CD} \over 2} = {{40} \over 2} = 20cm\]
Khi đó các tam giác AHO và CKO vuông. Theo định lí Pi-ta-go :
\[\eqalign{ & A{H^2} + O{H^2} = O{A^2}\left[ { = {R^2}} \right] \cr & C{K^2} + O{K^2} = O{C^2}\left[ { = {R^2}} \right] \cr & \Rightarrow A{H^2} + O{H^2} = C{K^2} + O{K^2}\,\left[ * \right] \cr} \]
Đặt \[OK = x OH = 35 x\] [**]
Thay [**] vào [*], ta có:
\[\eqalign{ & {15^2} + {\left[ {35 - x} \right]^2} = {20^2} + {x^2} \cr & \Leftrightarrow 225 + 1225 - 70x + {x^2} = 400 + {x^2} \cr & \Leftrightarrow 70x = 1050 \Leftrightarrow x = 15 \cr} \]
Xét tam giác vuông CKO ta có:
\[C{O^2} = O{K^2} + C{K^2}\] [định lí Pi-ta-go]
hay \[{R^2} = {15^2} + {20^2} \Rightarrow {R^2} = 625\]
\[\Rightarrow R = 25\,\left[ {cm} \right]\]
Vậy bán kính đường tròn là 25cm.