Đề bài
Cho biểu thức:
\[A = \left[ {\dfrac{x}{{{x^2} - 4}} + \dfrac{2}{{2 - x}} + \dfrac{1}{{x + 2}}} \right]:\]\[\,\left[ {\left[ {x - 2} \right] + \dfrac{{10 - {x^2}}}{{x + 2}}} \right]\]
a] Rút gọn biểu thức \[A\].
b] Tính giá trị của \[A\] tại \[x\], biết \[\left| x \right| = \dfrac{1}{2}\].
c] Tìm giá trị của \[x\] để \[A < 0\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Tìm ĐKXĐ, tìm mẫu thức chung sau đó qui đồng và rút gọn biểu thức.
b] \[|x| = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = \dfrac{1}{2} \hfill \\
x = - \dfrac{1}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Thay giá trị tương ứng của x vào biểu thức đã được rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức đó.
c] Giải bất phương trình với vế trái là biểu thức \[A\] vế phải là \[0\]
Lời giải chi tiết
ĐKXĐ:\[x \ne \pm 2\]
a]\[A = \left[ {\dfrac{x}{{{x^2} - 4}} + \dfrac{2}{{2 - x}} + \dfrac{1}{{x + 2}}} \right]:\]\[\,\left[ {\left[ {x - 2} \right] + \dfrac{{10 - {x^2}}}{{x + 2}}} \right]\]
\[\begin{array}{l}
= \left[ {\dfrac{x}{{\left[ {x + 2} \right]\left[ {x - 2} \right]}} - \dfrac{2}{{x - 2}} + \dfrac{1}{{x + 2}}} \right]:\left[ {\left[ {x - 2} \right] + \dfrac{{10 - {x^2}}}{{x + 2}}} \right]\\
= \dfrac{{x - 2\left[ {x + 2} \right] + x - 2}}{{\left[ {x - 2} \right]\left[ {x + 2} \right]}}:\dfrac{{\left[ {x - 2} \right]\left[ {x + 2} \right] + 10 - {x^2}}}{{x + 2}}\\
= \dfrac{{x - 2x - 4 + x - 2}}{{\left[ {x - 2} \right]\left[ {x + 2} \right]}}:\dfrac{{{x^2} - 4 + 10 - {x^2}}}{{x + 2}}\\
= \dfrac{{ - 6}}{{\left[ {x - 2} \right]\left[ {x + 2} \right]}}.\dfrac{{x + 2}}{6}\\
= \dfrac{{ - 6.\left[ {x + 2} \right]}}{{\left[ {x - 2} \right]\left[ {x + 2} \right].6}}\\
= \dfrac{1}{{2 - x}}
\end{array}\]
b]
\[|x| = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = \dfrac{1}{2} \hfill \\
x = - \dfrac{1}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
+] Tại \[x = \dfrac{1}{2}\] [tmđk] thì \[ A = \dfrac{1}{{2 - \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{4}{2} - \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{3}{2}}} = \dfrac{2}{3}\]
+] Tại \[x = { - \dfrac{1}{2}}\] [tmđk] thì \[ A = \dfrac{1}{{2 - \left[ { - \dfrac{1}{2}} \right]}} = \dfrac{1}{{2 + \dfrac{1}{2}}} \]\[\,= \dfrac{1}{{\dfrac{4}{2} + \dfrac{1}{2}}} \]\[\,= \dfrac{1}{{\dfrac{5}{2}}} = \dfrac{2}{5}\]
c] \[A=\dfrac{1}{{2 - x}} < 0\] \[ \Leftrightarrow 2 - x < 0\] \[\Leftrightarrow x > 2\] [tmđk]
Vậy \[x>2\] thì \[A