Phương pháp giải:
- Gọi \[E,\,\,F\] lần lượt là trung điểm của \[AB,\,\,CD\]. Chứng minh \[CD \bot \left[ {SEF} \right]\], từ đó xác định \[d\left[ {E;\left[ {SCD} \right]} \right]\].
- Đổi đỉnh \[A\] sang đỉnh \[E\].
- Trong \[\left[ {SEF} \right]\] kẻ \[SH \bot EF\], chứng minh \[SH \bot \left[ {ABCD} \right]\].
- Chứng minh \[SE = 2SH\], đặt \[SH = x\], sử dụng định lí Pytago suy ra phương trình của \[x\] theo \[a\].
- Giải \[x\] theo \[a\].
- Thể tích khối chóp \[V = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}\].
Lời giải chi tiết:
Gọi \[E,\,\,F\] lần lượt là trung điểm của \[AB,\,\,CD\].
Vì tam giác \[SAB\] cân tại \[S\] nên \[SE \bot AB\].
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SE\\AB \bot EF\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left[ {SEF} \right]\].
Mà \[CD\parallel AB\] nên \[CD \bot \left[ {SEF} \right]\].
Trong \[\left[ {SEF} \right]\], kẻ \[SH \bot EF\,\,\left[ {H \in EF} \right].\]
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}CD \bot \left[ {ESF} \right] \Rightarrow CD \bot SH\\SH \bot EF\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow SH \bot \left[ {ABCD} \right].\]
Cũng trong \[\left[ {SEF} \right]\] ta kẻ \[EK \bot SF\,\,\left[ {K \in SF} \right].\]
Khi đó ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}EK \bot CD\,\,\,\,\left[ {CD \bot \left[ {SEF} \right]} \right]\\EK \bot SF\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow EK \bot \left[ {SCD} \right].\]
\[ \Rightarrow d\left[ {A;\left[ {SCD} \right]} \right] = d\left[ {E;\left[ {SCD} \right]} \right] = EK = a\] [do \[AE\parallel \left[ {SCD} \right]\]].
Ta có: \[{S_{SEF}} = \dfrac{1}{2}SH.EF{\rm{ = }}\dfrac{1}{2}.EK.SF\].
\[ \Rightarrow SH.2a = SF.a \Leftrightarrow SF = 2SH\].
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \[SAE\] ta có: \[SE = \sqrt {S{A^2} - A{E^2}} = \sqrt {2{a^2} - {a^2}} = a\].
Đặt \[SH = x \Rightarrow SF = 2x\].
Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông ta có:
\[\begin{array}{l}EH = \sqrt {S{E^2} - S{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {x^2}} \\FH = \sqrt {S{F^2} - S{H^2}} = \sqrt {4{x^2} - {x^2}} = x\sqrt 3 \end{array}\]
Mà \[EH + FH = EF = 2a\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {{a^2} - {x^2}} + x\sqrt 3 = 2a\\ \Leftrightarrow {a^2} - {x^2} = {\left[ {2a - x\sqrt 3 } \right]^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} - {x^2} = 4{a^2} - 4\sqrt 3 ax + 3{x^2}\\ \Leftrightarrow 3{a^2} - 4\sqrt 3 ax + 4{x^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {a\sqrt 3 - 2x} \right]^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2x = a\sqrt 3 \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = SH\end{array}\]
Vậy thể tích khối chóp \[S.ABCD\] là \[{V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.{\left[ {2a} \right]^2} = \dfrac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\].
Chọn C.