Cách vẽ ngũ giác đều
Hôm nay chúng ta sẽ xem xét một cáchdựng hìnhngũ giác đềubằng thước và compa dựa vào công thức lượng giác sau đây $$\cos{\frac{\pi}{5}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}.$$
Bạn đang xem: Cách vẽ ngũ giác đều
Chúng ta có thể dễ dàng dựng được hình tam giác đều, hình vuông, hình lục giác đều [6 cạnh] và hình bát giác đều [8 cạnh]. Vậy hình ngũ giác đều [5 cạnh], hình thất giác đều [7 cạnh] và hình cửu giác đều [9 cạnh] thì sao?Hoá ra, dùng thước và compa, chúng ta có thể dựng được hình ngũ giác đều. Nhưng thất giác đều và cửu giác đều thì câu trả lời là không thể! Hôm nay chúng ta sẽ xem xét cách dựng ngũ giác đều, còn thất giác đều và cửu giác đều thì chúng ta để dành cho các kỳ sau.Bây giờ chúng ta hãy cùng phân tích. Ở hình vẽ sau đây, chúng ta thấy rằng nếu chúng ta dựng được điểm $H$, thì từ điểm $H$, chúng ta có thể dựng được đỉnh $N_3$ và $N_4$, và từ đó chúng ta dễ dàng dựng được hình ngũ giác đều $N_1 N_2 N_3 N_4 N_5$.
Vì $$\angle N_3 O H = \frac{1}{2} \angle N_3 O N_4 = \frac{\pi}{5}$$ nên $$OH = r \cos{\frac{\pi}{5}}$$ trong đó $r$ là bán kính của đường tròn tâm $O$.Vậy để dựng điểm $H$, chúng ta cần tính $\cos{\frac{\pi}{5}}$.Tính $\cos{\frac{\pi}{5}}$Góc $\frac{\pi}{5}$ có tính chất sau đây $$2 \frac{\pi}{5} + 3 \frac{\pi}{5} = \pi$$ cho nên, nếu chúng ta đặt $x = \frac{\pi}{5}$ thì $2 x + 3 x =\pi$, tức là $2x$ và $3x$ là hai góc bù nhau, và chúng ta suy ra $$\cos{2x} = - \cos{3x}.$$Áp dụng công thức lượng giác cho góc gấp đôi và góc gấp ba chúng ta có $$\cos{2 x} = 2 \cos^2{x} - 1,$$ $$\cos{3 x} = 4 \cos^3{x} - 3 \cos{x},$$
Xem thêm:
Trở lại với hình vẽ trên $$OH = r \cos{\frac{\pi}{5}} = \frac{[1 + \sqrt{5}] r}{4}$$Để dựng được đoạn $OH$ thì chúng ta cần dựng đoạn thẳng có độ dài $[1 + \sqrt{5}] r$ rồi chia nó ra làm 4 phần bằng nhau.Để dựng được đoạn thẳng có độ dài $[1 + \sqrt{5}] r$ thì chúng ta cần dựng đoạn thẳng có độ dài $\sqrt{5} r$.Nói đến số $\sqrt{5}$, chúng ta sực nhớ ra định lý Pitagovì $5 = 1^2 + 2^2$.
Định lý Pitago nói rằng trong một tam giác vuông thì bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông. Cho nên nếu chúng ta dựng một hình tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là $r$ và $2r$ thì cạnh huyền sẽ bằng $\sqrt{5} r$
Chuyên mục: Tổng hợp
Bạn đang xem: Cách vẽ ngũ giác đều
Chúng ta có thể dễ dàng dựng được hình tam giác đều, hình vuông, hình lục giác đều [6 cạnh] và hình bát giác đều [8 cạnh]. Vậy hình ngũ giác đều [5 cạnh], hình thất giác đều [7 cạnh] và hình cửu giác đều [9 cạnh] thì sao?Hoá ra, dùng thước và compa, chúng ta có thể dựng được hình ngũ giác đều. Nhưng thất giác đều và cửu giác đều thì câu trả lời là không thể! Hôm nay chúng ta sẽ xem xét cách dựng ngũ giác đều, còn thất giác đều và cửu giác đều thì chúng ta để dành cho các kỳ sau.Bây giờ chúng ta hãy cùng phân tích. Ở hình vẽ sau đây, chúng ta thấy rằng nếu chúng ta dựng được điểm $H$, thì từ điểm $H$, chúng ta có thể dựng được đỉnh $N_3$ và $N_4$, và từ đó chúng ta dễ dàng dựng được hình ngũ giác đều $N_1 N_2 N_3 N_4 N_5$.
Vì $$\angle N_3 O H = \frac{1}{2} \angle N_3 O N_4 = \frac{\pi}{5}$$ nên $$OH = r \cos{\frac{\pi}{5}}$$ trong đó $r$ là bán kính của đường tròn tâm $O$.Vậy để dựng điểm $H$, chúng ta cần tính $\cos{\frac{\pi}{5}}$.Tính $\cos{\frac{\pi}{5}}$Góc $\frac{\pi}{5}$ có tính chất sau đây $$2 \frac{\pi}{5} + 3 \frac{\pi}{5} = \pi$$ cho nên, nếu chúng ta đặt $x = \frac{\pi}{5}$ thì $2 x + 3 x =\pi$, tức là $2x$ và $3x$ là hai góc bù nhau, và chúng ta suy ra $$\cos{2x} = - \cos{3x}.$$Áp dụng công thức lượng giác cho góc gấp đôi và góc gấp ba chúng ta có $$\cos{2 x} = 2 \cos^2{x} - 1,$$ $$\cos{3 x} = 4 \cos^3{x} - 3 \cos{x},$$
Xem thêm:
Trở lại với hình vẽ trên $$OH = r \cos{\frac{\pi}{5}} = \frac{[1 + \sqrt{5}] r}{4}$$Để dựng được đoạn $OH$ thì chúng ta cần dựng đoạn thẳng có độ dài $[1 + \sqrt{5}] r$ rồi chia nó ra làm 4 phần bằng nhau.Để dựng được đoạn thẳng có độ dài $[1 + \sqrt{5}] r$ thì chúng ta cần dựng đoạn thẳng có độ dài $\sqrt{5} r$.Nói đến số $\sqrt{5}$, chúng ta sực nhớ ra định lý Pitagovì $5 = 1^2 + 2^2$.
| Định lý Pitago: $c^2 = a^2+ b^2$. |
| $$[r]^2 + [2r]^2 = [\sqrt{5} r]^2$$ |
Chuyên mục: Tổng hợp