Với Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.
Dạng 1: Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 [a ≠ 0]
1. Phương pháp.
- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình bậc hai.
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1,
- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1,
- Nếu không rơi vào trường hợp [1] và [2] thì tính ∆ = b2 – 4ac
+ ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm
+ ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:
+ ∆ < 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Lưu ý: Nếu b = 2bꞌ thì giải phương trình theo công thức nghiệm thu gọn
Ta có ∆ꞌ = [bꞌ]2 – ac
+ Nếu ∆ꞌ < 0 thì phương trình vô nghiệm
+ Nếu ∆ꞌ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:
+ Nếu ∆ꞌ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt
2. Ví dụ
Giải các phương trình sau
Giải
a. Ta có: a = 1; b = 1; c = - 6 ⇒ ∆ = b2 – 4ac = 1 + 24 = 25 > 0
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Dạng 2: Tìm 2 số khi biết tổng và tích của hai số đó
1. Phương pháp:
Nếu hai số x1; x2 có x1 + x2 = S ; x1.x2 = P thì x1 và x2 có thể là hai nghiệm của phương trình bậc hai: x2 - Sx + P = 0
Tính ∆ = [-S]2 – 4P = S2 – 4P = ?
+ Nếu S2 – 4P < 0 thì không tồn tại x1 và x2.
+ Nếu S2 – 4P ³ 0 thì tồn tại hai nghiệm x1 và x2 tính theo công thức nghiệm
Hoặc tính Tính ∆ꞌ = [-Sꞌ]2 – P = [Sꞌ]2 – P = ? [ với S = 2Sꞌ]
+ Nếu [Sꞌ]2 – P < 0 thì không tồn tại x1 và x2.
+ Nếu [Sꞌ]2 – 4P ³ 0 thì tồn tại hai nghiệm x1 và x2 tính theo công thức nghiệm thu gọn
2. Ví dụ
Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441
Giải
Ta có: u + v = 42 và u.v = 441 nên u và v có thể là nghiệm của phương trình bậc hai:
x2 – 42x + 441 = 0 [*]
Ta có: ∆ꞌ = [- 21]2 - 441 = 0
Phương trình [*] có nghiệm x1 = x2 = 21
Vậy u = v = 21
Dạng 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai
1. Phương pháp.
- Xác định điều kiện của phương trình nếu có
- Quy đồng, biến đổi, đặt ẩn phụ...để đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai.
2. Ví dụ
Giải phương trình sau
Giải
a. Đặt t = |x| [t ≥ 0] ⇒ t2 = x2. Khi đó phương trình [1] trở thành: t2 – t – 6 =0
Ta có: ∆ = b2 – 4ac = [-1]2 – 4.1 .[-6] = 25 > 0
Do đó phương trình [1] có 2 nghiệm phân biệt
Với t = 3 ⇔ |x| = 3 ⇔ x = 3 hoặc x = -3
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 3 hoặc x = -3
b. ĐK: x ≠ -1; x ≠ 4
Phương trình [2]
⇒ 2x[x- 4] = x2 – x + 8
⇔ x2 – 7x – 8 = 0 [*]
Do a – b + c = 1- [-7] + [- 8] = 0 nên phương trình [*] có hai nghiệm
x1 = -1[không thoả mãn ĐK] ; x2 = 8 [thoả mãn ĐK]
Vậy phương trình [2] có nghiệm x = 8
Dạng 4: Phương trình bậc hai chứa tham số
1.Phương pháp: cho phương trình ax2 + bx + c =0[a ≠ 0]
a. Điều kiện để phương trình
1. Có nghiệm ⇔ Δ ≥ 0
2. Vô nghiệm ⇔ Δ < 0
3. Có nghiệm kép ⇔ Δ = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt [khác nhau] ⇔ Δ > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu ⇔ Δ ≥ 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu khi a.c < 0
7. Hai nghiệm dương [lớn hơn 0] ⇔ Δ ≥ 0 ; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm [nhỏ hơn 0] ⇔ Δ ≥ 0 ; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ Δ ≥ 0 và S = 0
10. Hai nghiệm nghịch đảo của nhau ⇔ Δ ≥ 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn khi ac < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn khi
ac < 0 và S > 0
b. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho x1 = px2 [với p là một số thực]
B1- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt .
B2- Áp dụng định lý Vi - ét tìm:
B3- Kết hợp [1] và [3] giải hệ phương trình:
⇒ x1 và x2
B4- Thay x1 và x2 vào [2] ⇒ Tìm giá trị tham số.
c. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện: |x1 - x2|= k [k ∈ R]
- Bình phương trình hai vế: [x1 - x2]2 = k2 ⇔ ... ⇔ [x1 + x2]2-4x1x2 = k2
- Áp dụng định lý Vi-ét tính x1 + x2 và x1x2 thay vào biểu thức ⇒ kết luận.
d. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kỳ:
B1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm [∆ ≥ 0]
B2: Áp dụng Vi-ét tính x1 + x2 và x1x2 [*]
+/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm > α
Ta có
+/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm < α
Ta có
+/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm: x1 < α < x2
Ta có [x1 - α][x2 - α] < 0 [*] .Thay biểu thức Vi-ét vào [*] để tìm m
2. Ví dụ
Cho phương trình x2 + 5x + 3m - 1 = 0 [x là ẩn số, m là tham số]
a. Tìm m để phương trình có hai nghiệm
b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x13 - x23 + 3x1x2 = 75
Giải
a. Phương trình có 2 nghiệm khi:
Vậy với
b. Với thì phương trình có 2 nghiệm x1, x2
Chia hai vế của [*] cho 25 - x1x2 ≠ 0 ta được:
Kết hợp x1 + x2 = -5 suy ra x1 = -1; x2 = -4. Thay vào x1x2 = 3m - 1 suy ra
Vậy
Câu 1: Cho phương trình x2 - [2m - 1]x + m2 - 1 = 0 [x là ẩn số]
Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Giải
Δ = [2m - 1]2 - 4.[m2 - 1] = 5 - 4m
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Δ > 0 ⇔ 5 - 4m > 0 ⇔ m < 5/4
Đáp án là C
Câu 2: Tập nghiệm của phương trình x2 - 10x + 9 = 0 là
Giải
Phương trình x2 - 10x + 9 = 0 có a + b + c = 1 + [-10] + 9 = 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1,9}
Đáp án B
Câu 3: Tìm m để phương trình mx2 –2[m – 1]x + m - 3 = 0 [1] có 2 nghiệm phân biệt
A. m > -2 và m ≠ 0
B. m > -1 và m ≠ 0
C. m > 2 và m ≠ 1
D. m > 3 và m ≠ 0
Giải
Điều kiện để phương trình [1] có 2 nghiệm phân biệt là
Vậy với m > -1 và m ≠ 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
Đáp án là B
Câu 4: Tìm m để phương trình [m – 2]x2 –2[m + 1]x + m = 0 [1] có 1 nghiệm
Giải
TH1: m-2 = 0 ⇔ m = 2, thay m = 2 vào phương trình [1] ta được:
-6x + 2 = 0
với m = 2 phương trình [1] có nghiệm duy nhất nên m = 2 nhận
TH2: m - 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2, khi đó [1] là phương trình bậc hai.
với
Vậy với hoặc m = 2 thì phương trình [1] có nghiệm duy nhất
Đáp án A
Câu 5: Cho phương trình x2 –[m - 1]x - m = 0 [1], kết luận nào sau đây đúng về phương trình [1]
Phương trình vô nghiệm với mọi m
B. Phương trình có nghiệm kép với mọi m
C. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
D. Phương trình có nghiệm với mọi m
Giải
Phương trình [1] là phương trình bậc hai có hệ số a = 1, b = -m + 1, c = -m
⇒ a – b + c = 1 + m – 1 – m = 0
Do đó [1] có 2 nghiệm x = -1, x = m
Vì nếu m = -1 thì [1] có 1 nghiệm x = -1 nên ta chỉ có thể khẳng định [1] có nghiệm với mọi m
Đáp án D
Câu 6: Số nghiệm của phương trình: 5x4 + 3x2 – 2 = 0 [1]
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Giải
Đặt t = x2 [điều kiện: t ≥ 0], phương trình [1] có dạng: 5t2 + 3t – 2 = 0
Ta có: a = 5, b = 3, c = -2
Đáp án B
Câu 7: Số nghiệm của phương trình [2x2 + 3]2 – 10x3 – 15x = 0 [1]
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Giải
+] 2x2 + 3 = 0 ⇔ 2x2 = –3 ⇒ x2 =
+] 2x2 – 5x + 3 = 0, đây là phương trình bậc hai có: a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0
nên có 2 nghiệm:
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm:
Đáp án B
Câu 8: Cho phương trình x2 - 2[m + 1]x + m2 + m - 1 = 0 [m là tham số]
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện
A. m = 2
B. m = 3
C. m = 0
D. m = 1
Giải
Ta có: Δ' = [m + 1]2 - m2 - m + 1 = m2 + 2m + 1 - m2 - m + 1 = m+ 2
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ' > 0 ⇔ m + 2 > 0 ⇔ m > -2
Kết hợp với điều kiện m > -2
Đáp án D
Câu 9: Tìm m để phương trình x2 – 10mx + 9m = 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 - 9x2 = 0
A. m = 1
B. m = 2
C. m = 3
D. m = 4
Giải
Ta có: Δ' = [-5m]2 - 1.9m = 25m2 - 9m
Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là: Δ' > 0 ⇔ 25m2 - 9m > 0
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
từ [*] và giả thiết ta có hệ phương trình:
Với m = 0 ta có Δ' = 25m2 - 9m = 0 không thỏa mãn điều kiện phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Với m = 1 ta có Δ' = 25m2 - 9m = 16 > 0 thỏa mãn điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Kết luận: Vậy với m = 1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 - 9x2 = 0.
Đáp án A
Câu 10: Tổng các nghiệm của phương trình x2 – x + 5 = 0 là
A. -1
B. 1
C. Không tồn tại
D. 5
Giải
Phương trình x2 – x + 5 = 0 có ∆ = [-1]2 – 4.1.5 = 1 – 20 = -19 < 0
phương trình vô nghiệm nên không tồn tại tổng các nghiệm
Đáp án là C
Câu 11: Số nghiệm của phương trình
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Giải
Điều kiện: x ≥ 0
Đặt √x = t [điều kiện: x ≥ 0], khi đó phương trình đã cho trở thành: 4t2 - 29t + 52 = 0 [1]
có a = 4, b = -29, c = 52
Phương trình [1] có hai nghiệm phân biệt:
KL: Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là:
Đáp án B
Câu 12: Tổng các nghiệm của phương trình
A. 13
B. 14
C. 15
D. 16
Giải
Phương trình [1] có hai nghiệm phân biệt:
Với t = 4 ⇒ √[x+1] = 4 ⇔ x + 1 = 16 ⇔ x = 15 [t/m]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 15, do đó tổng các nghiệm bằng 15
Đáp án C
Câu 13: Cho phương trình x2 + 2x - m2 - 1 = 0 [m là tham số]. Khẳng định nào sau đây đúng
A. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
B. Phương trình vô nghiệm
C. Phương trình có nghiệm kép khi m = 2
D. Phương trình có một nghiệm x = -3 khi m = 1
Giải
Ta có: Δ' = 12 - 1.[-m2 - 1] = 1 + m2 + 1 = m2 + 2 > 0, với mọi m
Vì Δ' > 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Đáp án A
Câu 14: Cho phương trình x2 + 2x - m2 = 0
Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa: x1 = -3x2
Giải
Ta có: Δ' = 12 - 1.[-m2] = 1 + m2 = m2 + 1 > 0, với mọi m
Vì Δ' > 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.
theo Vi-ét ta có:
Ta có x1 + x2 = -2 [do trên] và x1 = -3x2 nên ta có hệ phương trình sau:
Thay [*] vào biểu thức x1x2 = -m2 ta được:
Đáp án D
Câu 15: Cho phương trình
A. Phương trình có nghiệm dương
B. Phương trình có một nghiệm
C. Phương trình có nghiệm là số chia hết cho 3
D. Phương trình có nghiệm âm
Giải
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 3
Đáp án D
Câu 16: Số nghiệm của phương trình x2 + |x - 1| = 1 là
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Giải
Vậy phương trình có hai nghiệm
Đáp án B