Bài tập phương trình đường elip lớp 10

Soạn hình học 10 bài 3: Phương trình đường elip Trang 85

Chuyên mục: : Soạn hình học lớp 10

Bài học giới thiệu nội dung: Phương trình đường elip. Một kiến thức không quá khó song đòi hỏi các bạn học sinh cần nắm được phương pháp để giải quyết các bài toán. Dựa vào cấu trúc SGK hình học lớp 10, Hocthoi sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập 1 cách chi tiết, dễ hiểu. Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn.

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa đường elip

Định nghĩa: Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định \(F_1\) và \(F_2\)

Elip là tập hợp các điểm \(M\) sao cho tổng \(F_1M +F_2M = 2a\) không đổi.

Các điểm \(F_1\) và \(F_2\) gọi là tiêu điểm của elip.

Khoảng cách \(F_1F_2= 2c\) gọi là tiêu cự của elip.

2. Phương trình chính tắc của elip

Cho elip có tiêu điểm \(F_1\) và \(F_2\) chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(F_1(-c ; 0)\) và \(F_2(c ; 0)\). Khi đó người ta chứng minh được:

\(M(x ; y) \in\) elip \(\Rightarrow\frac{x^{2}}{a^{2}}\) + \(\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\) (1)

trong đó: \(b^2= a^2– c^2\)

Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip

3. Hình dạng của elip

Xét elip \((E)\) có phương trình (1):

a) Nếu điểm \(M(x; y)\) thuộc \((E)\) thì các điểm \(M_1(-x ; y) M_2(x ;- y)\) và \(M_3(-x ; -y)\) cũng thuộc \((E)\).

Vậy \((E)\) có các trục đối xứng là \(Ox, Oy\) và có tâm đối xứng là gốc \(O\).

b) Thay \(y = 0\) vào (1) ta có \(x = ±a\) suy ra \((E)\) cắt \(Ox\) tại hai điểm \(A_1(-a ; 0) A_2(a ;0)\).

Tương tự thay \(x = 0\) vào (1) ta được \(y = ±b\), vậy \((E)\) cắt \(Oy\) tại hai điểm \( B_1(0 ; -b) B_2(0 ;b)\).

Các điểm \(A_1, A_2, B_1, B_2\) gọi là các đỉnh của elip

Đoạn thẳng \(A_1A_2\) gọi là trục lớn, đoạn thẳng \(B_1,B_2\) gọi là trục nhỏ của elip.

4. Liên hệ giữa đường tròn và đường elip

Nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì $b$ càng gần $a$, tức là trục nhỏ của elip càng gần bằng trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như hình tròn.

Giải đáp câu hỏi và bài tập

Bài tập 1: Trang 88 - SGK Hình học 10

Xác đinh độ dài các trục, tọa độ tiêu điểm , tọa độ các đỉnh và vẽ các elip có phương trình sau:

a) \(\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9}= 1\)

b) \(4x^2+ 9y^2= 1\)

c) \(4x^2+ 9y^2= 36\)

=> Xem đầy đủ bài giải

Bài tập 3: Trang 88 - SGK Hình học 10

Lập phương trình chính tắc của elip, biết:

a) Trục lớn và trục nhỏ lần lươt là \(8\) và \(6\)

b) Trục lớn bằng \(10\) và tiêu cự bằng \(6\)

=> Xem đầy đủ bài giải

Bài tập 3: Trang 88 - SGK Hình học 10

Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:

a) Elip đi qua các điểm \(M(0; 3)\) và \(N( 3; \frac{-12}{5})\)

b) Một tiêu điểm là \(F_1( -\sqrt3; 0)\) và điểm \(M(1; \frac{\sqrt{3}}{2})\) nằm trên elip

=> Xem đầy đủ bài giải

Bài tập 4: Trang 88 - SGK Hình học 10

Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có các trục lớn là \(80cm\) và trục nhỏ là \(40 cm\) từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước \(80cm \times 40cm\), người ta vẽ một hình elip lên tấm ván như hình bên dưới. Hỏi phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?

=> Xem đầy đủ bài giải

Bài tập 5: Trang 88 - SGK Hình học 10

Cho hai đường tròn \({C_1}({F_1};{R_1})\) và \({C_2}({F_2};{R_2})\). \(C_1\) nằm trong \(C_2\) và \(F_1≠ F_2\). Đường tròn \((C)\) thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với \(C_1\) và tiếp xúc trong với \(C_2\).Hãy chứng tỏ rằng tâm \(M\) của đường tròn \((C)\) di động trên một elip.

=> Xem đầy đủ bài giải

Từ trước đến nay ta đã được học nhiều dạng hình khác nhau: hình tròn, hình vuông, hình bình hành…. Thế còn hình Elip là hình gì và phương trình của nó viết như thế nào, chúng ta cùng tìm hiểu trong bài học hôm nay nhé! Bài giảng: Phương trình đường Elip được iToan biên soạn dựa theo sách giáo khoa Hình học lớp 10. Hy vọng bài giảng sẽ giúp em nắm vững kiến thức lý thuyết và làm được các bài tập cơ bản cũng như nâng cao.

Mục tiêu bài học

Qua bài học hôm nay, các em cần nắm được các nội dung sau:

• Khái niệm hình elip, tiêu điểm, tiêu cự
• Viết được phương trình đường Elip và các bài toán liên quan
• Mối quan hệ giữa đường elip và đường tròn

Kiến thức cần nhớ Phương trình đường Elip

Định nghĩa

Cho hai điểm cố định F1 và F2 với F1.F2=2c(c>0). Tâp hơp các điểm M thỏa mãn MF1+MF2=2a (a không đổi và a>c>0  ) là môt đường Elip.

• F1,F2 là hai tiêu điểm.
•  F1F2=2c là tiêu cư của Elip.

Phương trình chính tắc của Elip

Cho Elip (E) có các tiêu điểm F1 và F2. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi F1M+F2M=2a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F1=(−c;0) và F2=(c;0). Khi đó phương trình chính tắc của elip là:
(E):x2/a2+y2/b2=1
Trong đó a^2=b^2+c^2.

Hình dạng của Elip

• Elip có các trục đối xứng là Ox,Oy và có tâm đối xứng là gốc O.
• Elip cắt Ox tại hai điểm A1(−a;0),A2(a;0), cắt Oy tại 2 điểmB1(0;−b),B2(0;b). Các điểm A1,A2,B1,B2, gọi là các đỉnh của elip.
• Đoạn thẳng A1A2  gọi là trục lớn, đoạn thẳng B1B2 gọi là trục nhỏ của elip.

Liên hệ giữa đường tròn và đường Elip

• Từ hệ thức b2=a2−c2 ta thấy nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì b càng gần bằng a, tức là trục nhỏ của elip càng gần trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn.

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn(C) có phương trình

               x2+y2=a2

Với mỗi điểm M(x;y) thuộc đường tròn ta xét điểm M′(x′;y′) sao cho

{x′=xy′=bay với (0<b<a)
Thì tâp hơp điểm  M′(x′;y′) có tọa độ thỏa mãn phương trình x′2a2+y′2b2=1  là một elip
(E)  Khi đó ta nói đường tròn (C) được co thành elip (E).

Giải bài tập SGK trang 88 Phương trình đường Elip

Bài 1 (trang 88 SGK Hình học 10):

Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh của các elip có phương trình sau:

Lời giải

a) 

 có a = 5, b = 3 ⇒ c = √(a2 – b2) = 4.

Tọa độ các đỉnh là A1 = (–5 ; 0) ; A2 = (5 ; 0) ; B1 = (0 ; –3) ; B2 = (0 ; 3)

Tọa độ hai tiêu điểm là F1 = (–4 ; 0) và F2 = (4 ; 0)

Độ dài trục lớn bằng A1A2 = 10

Độ dài trục nhỏ bằng B1B2 = 6.

Tọa độ các đỉnh là : A1 = (–3 ; 0) ; A2 = (3 ; 0) ; B1 = (0 ; –2) ; B2 = (0 ; 2)

Tọa độ hai tiêu điểm là F1 = (–√5 ; 0) và F2 = (√5 ; 0)

Độ dài trục lớn là A1A2 = 2a = 6

Độ dài trục nhỏ là B1B2 = 2b = 4.

Bài 2 (trang 88 SGK Hình học 10):

Lập phương trình chính tắc của elip, biết:

a, Độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 8 và 6.

b, Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.

Lời giải

a) Độ dài trục lớn bằng 8 ⇒ 2a = 8 ⇒ a = 4

Độ dài trục nhỏ bằng 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3

Vậy phương trình chính tắc của Elip là: 

b) Độ dài trục lớn bằng 10 ⇒ 2a = 10 ⇒ a = 5

Tiêu cự bằng 6 ⇒ 2c = 6 ⇒ c = 3

⇒ b2 = a2 – c2 = 16 ⇒ b = 4.

Vậy phương trình chính tắc của Elip là: 

Bài 3 (trang 88 SGK Hình học 10):

Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:

a) Elip đi qua các điểm M(0; 3) và 

 ;

b) Elip có một tiêu điểm là 

 và điểm  nằm trên elip.

Lời giải

Gọi Elip cần tìm có dạng : (E) : 

Vậy phương trình chính tắc của elip: 

b)  là tiêu điểm của (E) ⇒ a2 – b2 = 3 ⇒ a2 = b2 + 3

Phương trình chính tắc của Elip là : 

Bài 4 (trang 88 SGK Hình học 10):

Để một bảng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là 80cm và trục nhỏ là 40cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80cm x 40cm, người ta vẽ hình elip trên tấm ván ép như hình dưới. Hỏi phải ghìm hai cái đinh cách mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?

Lời giải

Giả sử Elip có phương trình 

Độ dài trục lớn bằng 80cm ⇒ 2a = 80cm ⇒ a =40cm

Độ dài trục nhỏ bằng 40cm ⇒ 2b = 40cm ⇒ b = 20cm

Khi đó 

 ⇒ F1F2 = 2c = 40√3 cm

Khoảng cách từ vị trí hai chiếc đinh F1, F2 đến hai mép là:

Độ dài vòng dây cuốn: MF1 + MF2 + F1F2 = 2a + 2c = 80 + 40√3 ≈ 149,3cm.

Bài 5 (trang 88 SGK Hình học 10):

Cho hai đường tròn C1(F1,R1) và C2(F2,R2) . C1 nằm trong C2 và F1 ≠F2 . Đường tròn C thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với C1 và tiếp xúc trong với C2. Hãy chứng tỏ rằng tâm M của đường tròn C di động trên một elip.

Lời giải

Gọi C(M ; R).

C tiếp xúc ngoài với C1 ⇒ MF1 = R + R1

C tiếp xúc trong với C2 ⇒ MF2 = R2 – R

⇒ MF1 + MF2 = R + R1 + R2 – R = R1 + R2 = const.

Điểm M có tổng các khoảng cách MF1 + MF2 đến hai điểm cố định F1 và F2 bằng một độ dài không đổi R1 + R2.

Vậy M nằm trên elip có hai tiêu điểm F1, F2 và có độ dài trục lớn bằng R1 + R2.

Bài tập tự luyện Phương trình đường Elip

Các bài tập tự luyện do iToan biên soạn giúp các em ôn tập cả lý thuyết lẫn bài tập:

Phần câu hỏi

Câu 1: Khái niệm nào sau đây định nghĩa về elip?

A. Cho điểm F cố định và một đường thẳng Δ cố định không đi qua F . Elip (E) là tập hợp các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến F bằng khoảng cách từ M đến Δ) .

B. Cho F1,F2 cố định với F1F2=2c,(c>0) . Elip (E) là tập hợp điểm M sao cho |MF1−MF2|=2a với a là một số không đổi và a < c .

C. Cho F1,F2 cố định với F1F2=2c,(c>0) và một độ dài 2a không đổi (a>c) . Elip (E) là tập hợp các điểm M sao cho M∈(P)⇔MF1+MF2=2a.

D. Cả ba định nghĩa trên đều không đúng định nghĩa của Elip.

Câu 2: Cho Elip (E) có phương trình chính tắc là x^2/ a^2+y^2/ b^2=1 , với a>b>0. Khi đó khẳng định nào sau đây sai?

A. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục lớn là A1(a;0),A2(−a;0) .

B. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục nhỏ là B1(0;b),B2(0;−b), .

C. Với c^2=a^2−b^2(c>0) , độ dài tiêu cự là 2c .

D. Với c^2=a^2−b^2(c>0) , tâm sai của elip là e=a/c .

Câu 3: Đường Elip (E): x^2/16 + y^2/7=1 có tiêu cự bằng bao nhiêu?

A. 3

B. 6

C. 9/16

D. 6/7

Câu 4: Tìm phương trình chính tắc của Elip có tâm sai bằng 1/3 và trục lớn bằng 6 .

A. x^2/6+y^2/9=1

B. x^2/9+y^2/8=1

C. x^2/16+y^2/9=1

D. D. x^2/5+y^2/3=1

Phần đáp án

1.C      2.D     3.D     4.B

Lời kết

Vậy là chúng ta đã kết thúc chương trfinh Hình học 10 tại đây. Sắp đến kì thi cuối kì, các em hãy tích cực ôn luyện lại những chuyên đề và dạng bài đã học. Để nghe lại bài giảng cũng như làm đề thi ôn tập, các em có thể truy cập Toppy. Toppy sẽ giúp em bổ sung kiến thức và ôn luyện cho các kì thi sắp tới.

Cùng Toppy học tốt em nhé!

>>Xem thêm: