ĐƯỜNG TRÒNCâu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng [d]: x y2 – –5 0= và đường tròn [C’]: x y x2 220 50 0+ − + =. Hãy viết phương trình đường tròn [C] đi qua ba điểm A, B, C[1; 1].• A[3; 1], B[5; 5] ⇒ [C]: x y x y2 24 8 10 0+ − − + =Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 32, A[2; –3], B[3; –2], trọng tâm của ∆ABC nằm trên đường thẳng d x y:3 – –8 0=. Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C.• Tìm được C [1; 1]1−, C2[ 2; 10]− −.+ Với C1[1; 1]− ⇒ [C]: 2 2x y x y11 11 1603 3 3+ − + + =+ Với C2[ 2; 10]− − ⇒ [C]: 2 2x y x y91 91 41603 3 3+ − + + =Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d x y1: 2 3 0+ − =, d x y2:3 4 5 0+ + =, d x y3: 4 3 2 0+ + =. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d1 và tiếp xúc với d2 và d3.• Gọi tâm đường tròn là I t t[ ;3 2 ]− ∈ d1. Khi đó: d I dd I d2 3] [ , ][ , = ⇔ t tt t3 4[3 2 ] 554 3[3 2 ] 25+ − +=+ − + ⇔ tt24==Vậy có 2 đường tròn thoả mãn: x y2 24925[ 2] [ 1] =− + + và x y2 29[ 4] [ 5]25− + + =.Câu hỏi tương tự: a] Với d x y1: –6 –10 0=, d x y2:3 4 5 0+ + =, d x y3: 4 3 5 0− − =.ĐS: x y2 2[ 10] 49− + = hoặc x y2 2 210 70 743 43 43 − + + = ÷ ÷ ÷ .Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng∆:x y3 8 0+ + =, x y':3 4 10 0∆− + = và điểm A[–2; 1]. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng ∆, đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ∆′.• Giả sử tâm I t t[ 3 8; ]− − ∈ ∆ Ta có: d I IA[ , ]∆′= ⇔ t tt t2 22 23[ 3 8] 4 10[ 3 8 2] [ 1]3 4− − − += − − + + −+ ⇔ t 3= − ⇒ I R[1; 3], 5− =PT đường tròn cần tìm: x y2 2[ 1] [ 3] 25− + + =.Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng x y: 4 3 3 0∆− + = và x y':3 4 31 0∆− − =. Lập phương trình đường tròn C[ ] tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại điểm có tung độ bằng 9 và tiếp xúc với '.∆Tìm tọa độ tiếp điểm của C[ ]và '∆.• Gọi I a b[ ; ] là tâm của đường tròn [C]. C[ ] tiếp xúc với ∆ tại điểm M[6;9] và C[ ] tiếp xúc với ∆′ nên aa b a bd I d Ia aIM ua ba b54 34 3 3 3 4 31[ , ] [ , ']4 3 3 6 8545 5[3;4]3[ 6] 4[ 9] 03 4 54∆∆ ∆−− + − −= − + = −=⇔ ⇔ ⊥ = − + − =+ =uuurra aa baa bb25 150 4 6 8510; 654 3190; 1564− = −= =⇔ ⇔−= − ==Vậy: C x y2 2[ ]:[ 10] [ 6] 25− + − = tiếp xúc với '∆ tại N[13;2]hoặc C x y2 2[ ]:[ 19 0] [ 156] 60025+ + − = tiếp xúc với '∆ tại N[ 43; 40]− −Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn đi qua A[2; 1]− và tiếp xúc với các trục toạ độ.• Phương trình đường tròn có dạng: x a y a a ax a y a a b2 2 22 2 2[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]− + + =− + − =a] ⇒ a a1; 5= =b] ⇒ vô nghiệm.Kết luận: x y2 2[ 1] [ 1] 1− + + = và x y2 2[ 5] [ 5] 25− + + =.Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x y[ ]: 2 4 0− − =. Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng [d].• Gọi I m m d[ ;2 4] [ ]− ∈là tâm đường tròn cần tìm. Ta có:m m m m42 4 4,3= − ⇔ = =.• m43= thì phương trình đường tròn là: x y2 24 4 163 3 9 − + + = ÷ ÷ .• m 4= thì phương trình đường tròn là: x y2 2[ 4] [ 4] 16− + − =.Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A[–1;1] và B[3;3], đường thẳng [∆]: x y3 –4 8 0+ =. Lập phương trình đường tròn qua A, B và tiếp xúc với đường thẳng [∆].• Tâm I của đường tròn nằm trên đường trung trực d của đoạn ABd qua M[1; 2] có VTPT là AB [4;2]=uuur⇒ d: 2x + y – 4 = 0 ⇒ Tâm I[a;4 – 2a]Ta có IA = d[I,D] a a a211 8 5 5 10 10⇔ − = − + ⇔ 2a2 – 37a + 93 = 0 ⇔ aa3312==• Với a = 3 ⇒ I[3;–2], R = 5 ⇒ [C]: [x – 3]2 + [y + 2]2 = 25• Với a = 312 ⇒ I31; 272 − ÷ , R = 652 ⇒ [C]: x y2231 4225[ 27]2 4 − + + = ÷ Câu 9. Trong hệ toạ độ Oxycho hai đường thẳng d x y: 2 3 0+ − = và x y: 3 5 0∆+ − =. Lập phương trình đường tròn có bán kính bằng 2 105 , có tâm thuộc d và tiếp xúc với ∆.• Tâm I ∈ d ⇒I a a[ 2 3; ]− +. [C] tiếp xúc với ∆ nên: 2d I R[ , ]∆=a 22 10510−⇔ =aa62=⇔= −⇒ [C]: x y2 28[ 9] [ 6]5+ + − = hoặc [C]: x y2 28[ 7] [ 2]5− + + =.Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn [C]: x y x2 24 3 4 0+ + − =. Tia Oy cắt [C] tại A. Lập phương trình đường tròn [C′], bán kính R′ = 2 và tiếp xúc ngoài với [C] tại A. • [C] có tâm I[ 2 3;0]−, bán kính R= 4; A[0; 2]. Gọi I′ là tâm của [C′]. PT đường thẳng IA : x ty t2 32 2== +, I IA'∈ ⇒ I t t[2 3 ;2 2]′+. AI I A t I12 '[ 3;3]2′= ⇔ = ⇒uur uur ⇒ [C′]: x y2 2[ 3] [ 3] 4− + − =Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn [C]: x y y2 2–4 –5 0+ =. Hãy viết phương trình đường tròn [C′] đối xứng với đường tròn [C] qua điểm M4 2;5 5 ÷ • [C] có tâm I[0;2], bán kính R = 3. Gọi I’ là điểm đối xứng của I qua M ⇒ I′8 6;5 5 − ÷ ⇒ [C′]: x y2 28 695 5 − + + = ÷ ÷ Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn [C]: x y x y2 22 4 2 0+ − + + =. Viết phương trình đường tròn [C′] tâm M[5; 1] biết [C′] cắt [C] tại hai điểm A, B sao cho AB 3=.• [C] có tâm I[1; –2], bán kínhR 3=. PT đường thẳng IM: x y3 4 11 0− − =. AB 3=.Gọi H x y[ ; ] là trung điểm của AB. Ta có: H IMIH R AH2 232∈= − = ⇔ x yx y2 23 4 11 09[ 1] [ 2]4− − =− + + =⇔ x yx y1 2 9;5 1011 11;5 10= − = −= = − ⇒ H1 29;5 10 − − ÷ hoặc H11 11;5 10 − ÷ .• Với H1 29;5 10 − − ÷ . Ta có R MH AH2 2 243′= + = ⇒ PT [C′]: x y2 2[ 5] [ 1] 43− + − =.• Với H11 11;5 10 − ÷ . Ta có R MH AH2 2 213′= + = ⇒ PT [C′]: x y2 2[ 5] [ 1] 13− + − =.Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn [C]: x y2 2[ 1] [ 2] 4− + − = và điểm K[3;4]. Lập phương trình đường tròn [T] có tâm K, cắt đường tròn [C] tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất, với I là tâm của đường tròn [C].• [C] có tâm I[1;2], bán kính R 2=. IABS∆ lớn nhất ⇔ ∆IAB vuông tại I ⇔ AB 2 2=.Mà IK 2 2= nên có hai đường tròn thoả YCBT.3+ T1[ ] có bán kính R R12= = ⇒ T x y2 21[ ]: [ 3] [ 4] 4− + − =+ T2[ ] có bán kính R2 22[3 2] [ 2] 2 5= + = ⇒ T x y2 21[ ]: [ 3] [ 4] 20− + − =.Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các đỉnh: A[–2;3], B C1;0 , [2;0]4 ÷ .• Điểm D[d;0] d124 < = + ⇒ C C1 2[ ],[ ] ngoài nhau. Xét hai trường hợp:+ Nếu d // Oy thì phương trình của d có dạng: x c 0+ =.Khi đó: d I d d I d c c1 2[ , ] [ , ] 4= ⇔ = + ⇔ c 2= − ⇒ d x: 2 0− =.+ Nếu d không song song với Oy thì phương trình của d có dạng: d y ax b: = +.Khi đó: d I dd I d d I d11 2[ , ] 2[ , ] [ , ]== ⇔ bab a ba a22 21211 4 41 1− +=+− + − +=+ + ⇔ a ba ba b3 7;4 23 3;4 27 37;24 12= == = −= − =⇒ d x y:3 4 14 0− + = hoặc d x y:3 4 6 0− − = hoặc d x y: 7 24 74 0+ − =.Vậy: d x: 2 0− =; d x y:3 4 14 0− + =; d x y:3 4 6 0− − =; d x y: 7 24 74 0+ − =.Câu 24. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn C x y y2 21[ ]: 4 5 0+ − − = và C x y x y2 22[ ]: 6 8 16 0+ − + + =. Viết phương trình tiếp tuyến chung của C1[ ] và C2[ ].• C1[ ] có tâm I1[0;1], bán kính R13=; C2[ ] có tâm I2[3; 4]−, bán kính R23=.Giả sử tiếp tuyến chung ∆ của C C1 2[ ], [ ] có phương trình: ax by c a b2 20 [ 0]+ + = + ≠.∆ là tiếp tuyến chung của C C1 2[ ], [ ]⇔ d I Rd I R1 12 2[ , ][ , ]∆∆== ⇔ b c a ba b c a b2 22 22 3 [1]3 4 3 [2]+ = +− + = +Từ [1] và [2] suy ra a b2= hoặc a bc3 22− +=.+ TH1: Với a b2=. Chọn b 1= ⇒ a c2, 2 3 5= = − ± ⇒ x y: 2 2 3 5 0∆+ − ± =6+ TH2: Với a bc3 22− +=. Thay vào [1] ta được: aa b a ba b2 202 243=− = + ⇔= −.⇒ y: 2 0∆+ = hoặc x y: 4 3 9 0∆− − =.Câu 25. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn [C]: x y x2 24 3 4 0+ + − =. Tia Oy cắt [C] tại điểm A. Lập phương trình đường tròn [T] có bán kính R′ = 2 sao cho [T] tiếp xúc ngoài với [C] tại A.• [C] có tâm I[ 2 3;0]−, bán kính R 4=. Tia Oy cắt [C] tại A[0;2]. Gọi J là tâm của [T].Phương trình IA: x ty t2 32 2== +. Giả sử J t t IA[2 3 ;2 2] [ ]+ ∈.[T] tiếp xúc ngoài với [C] tại A nên AI JA t J12 [ 3;3]2= ⇒ = ⇒uur uur.Vậy: T x y2 2[ ]:[ 3] [ 3] 4− + − =.Câu 26. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn [C]: x y2 21+ = và phương trình: x y m x my2 2–2[ 1] 4 –5 0+ + + = [1]. Chứng minh rằng phương trình [1] là phương trình của đường tròn với mọi m. Gọi các đường tròn tương ứng là [Cm]. Tìm m để [Cm] tiếp xúc với [C].• [Cm] có tâm I m m[ 1; 2 ]+ −, bán kính R m m2 2' [ 1] 4 5= + + +,[C] có tâm O[0; 0] bán kính R = 1, OI m m2 2[ 1] 4= + +, ta có OI < R′ Vậy [C] và [Cm] chỉ tiếp xúc trong. ⇒ R′ – R = OI [ vì R’ > R] ⇒ m m31;5= − =.Câu 27. Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường tròn có phương trình C x y2 211[ ]:[ 1]2− + = và C x y2 22[ ]:[ 2] [ 2] 4− + − =. Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với C1[ ] và cắt C2[ ] tại hai điểm M N, sao cho MN 2 2=.• C1[ ] có tâm I1[1;0], bán kính R112=; C2[ ] có tâm I1[2;2], bán kính R22=. Gọi H là trung điểm của MN ⇒ MNd I d I H R222 2 2[ , ] 22 = = − = ÷ Phương trình đường thẳng d có dạng: ax by c a b2 20 [ 0]+ + = + ≠.Ta có: d I dd I d121[ , ]2[ , ] 2== ⇔ a c a ba b c a b2 22 222 2 2+ = ++ + = +. Giải hệ tìm được a, b, c.Vậy: d x y d x y: 2 0; : 7 6 0+ − = + − =; d x y: 2 0− − =; d x y: 7 2 0− − =Câu 28. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn [C]: x y x2 2–6 5 0+ + =. Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của [C] mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 060.• [C] có tâm I[3;0] và bán kính R = 2. Gọi M[0; m] ∈ Oy7 Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB ⇒ ··AMBAMB0060 [1]120 [2]== Vì MI là phân giác của ·AMB nên: [1] ⇔ ·AMI = 300 IAMI0sin30⇔ = ⇔ MI = 2R ⇔m m29 4 7+ = ⇔ = ± [2] ⇔ ·AMI = 600 IAMI0sin60⇔ = ⇔ MI = 2 33R ⇔m24 393+ = Vô nghiệm Vậy có hai điểm M1[0;7] và M2[0;7−]Câu 29. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn [C] và đường thẳng ∆ định bởi: C x y x y x y2 2[ ]: 4 2 0; : 2 12 0∆+ − − = + − =. Tìm điểm M trên ∆ sao cho từ M vẽ được với [C] hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 600.• Đường tròn [C] có tâm I[2;1] và bán kính R 5=.Gọi A, B là hai tiếp điểm. Nếu hai tiếp tuyến này lập với nhau một góc 600 thì IAM là nửa tam giác đều suy ra IM R=2 52=.Như thế điểm M nằm trên đường tròn [T] có phương trình: x y2 2[ 2] [ 1] 20− + − =.Mặt khác, điểm M nằm trên đường thẳng ∆, nên tọa độ của M nghiệm đúng hệ phương trình: x yx y2 2[ 2] [ 1] 20 [1]2 12 0 [2]− + − =+ − =Khử x giữa [1] và [2] ta được: [ ] [ ]yy y y yy2 2232 10 1 20 5 42 81 0275=− + + − = ⇔ − + = ⇔=Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: [ ]M 6;3 hoặc M6 27;5 5 ÷ Câu 30. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn [C]: x y2 2[ 1] [ 2] 9− + + = và đường thẳng d x y m: 0+ + =. Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn [C] [B, C là hai tiếp điểm] sao cho tam giác ABC vuông.• [C] có tâm I[1; –2], R = 3. ABIC là hình vuông cạnh bằng 3IA 3 2⇒ =⇔ mmmm153 2 1 672−= −= ⇔ − = ⇔=Câu hỏi tương tự:a] C x y d x y m2 2[ ]: 1, : 0+ = − + =ĐS: m 2= ±.Câu 31. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn [C]: x y2 2[ 1] [ 2] 9− + + = và đường thẳng d x y m:3 4 0− + =. Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới đường tròn [C] [A, B là hai tiếp điểm] sao cho PAB là tam giác đều. • [C] có tâm I[1; 2]−, bán kính R 3=. ∆PAB đều ⇒ PI AI R2 2 6= = = ⇒ P nằm trên đường tròn [T] có tâm I, bán kính r 6=. Do trên d có duy nhất một điểm P thoả YCBT nên d là tiếp tuyến của [T] ⇒ mmd I dm1119[ , ] 6 6415+== ⇔ = ⇔= −.8Câu 32. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn C x y x y2 2[ ]: 18 6 65 0+ − − + = và C x y2 2[ ] : 9′+ =. Từ điểm M thuộc đường tròn [C] kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn [C′], gọi A, B là các tiếp điểm. Tìm tọa độ điểm M, biết độ dài đoạn AB bằng 4,8.• [C’] có tâm [ ]O 0;0, bán kính R OA 3= =. Gọi H AB OM= ∩⇒ H là trung điểm của AB ⇒ AH125=. Suy ra: OH OA AH2 295= − = và OAOMOH25= =.Giả sử M x y[ ; ]. Ta có: M C x y x yOMx y2 22 2[ ] 18 6 65 0525∈ + − − + =⇔ =+ = x xy y4 53 0 = =⇔ ∨ = = Vậy M[4;3] hoặc M[5;0].Câu 33. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn [C]: x y2 2[ 1] [ 2] 4− + + =. M là điểm di động trên đường thẳng d y x: 1= +. Chứng minh rằng từ M kẻ được hai tiếp tuyến MT1, MT2 tới [C] [T1, T2 là tiếp điểm] và tìm toạ độ điểm M, biết đường thẳng T T1 2 đi qua điểm A[1; 1]−.• [C] có tâm I[1; 2]−, bán kính R 2=. Giả sử M x x d0 0[ ; 1]+ ∈. IM x x x R2 2 20 0 0[ 1] [ 3] 2[ 1] 8 2= − + + = + + > = ⇒ M nằm ngoài [C] ⇒ qua M kẻ được 2 tiếp tuyến tới [C].Gọi J là trung điểm IM ⇒ x xJ0 01 1;2 2 + − ÷ . Đường tròn [T] đường kính IM có tâm J bán kính IMR12= có phương trình x x x xT x y2 22 20 0 0 01 1 [ 1] [ 3][ ]:2 2 4 + − − + +− + − = ÷ ÷ Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MT1, MT2 đến [C] ⇒ ··IT M IT M T T T01 2 1 290 , [ ]= = ⇒ ∈T T C T1 2{ , } [ ] [ ]⇒ = ∩ ⇒ toạ độ T T1 2, thoả mãn hệ:x x x xx yx x x y xx y2 22 20 0 0 00 0 02 21 1 [ 1] [ 3][ ] [ ][1 ] [3 ] 3 0 [1]2 2 4[ 1] [ 2] 4+ − − + +− + − =⇒ − − + − − =− + + =Toạ độ các điểm T T1 2, thoả mãn [1], mà qua 2 điểm phân biệt xác định duy nhất 1 đường thẳng nên phương trình T T1 2 là x x y x x0 0 0[1 ] [3 ] 3 0− − + − − =.A[1; 1]− nằm trên T T1 2 nên x x x0 0 01 [3 ] 3 0− + + − − = ⇔ x01= ⇒ M[1;2].Câu 34. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn [C]: x y2 2[ –1] [ 1] 25+ + = và điểm M[7; 3]. Lập phương trình đường thẳng [d] đi qua M cắt [C] tại hai điểm A, B phân biệt sao cho MA = 3MB.• M CP/[ ]27 0= > ⇒ M nằm ngoài [C]. [C] có tâm I[1;–1] và R = 5.Mặt khác: M CP MA MB MB MB BH2/[ ]. 3 3 3= = ⇒ = ⇒ =uuur uuurIH R BH d M d2 24 [ ,[ ]]⇒ = − = =Ta có: pt[d]: a[x – 7] + b[y – 3] = 0 [a2 + b2 > 0].9aa bd M da ba b2 206 4[ ,[ ]] 4 4125=− −= ⇔ = ⇔= −+. Vậy [d]: y – 3 = 0 hoặc [d]: 12x – 5y – 69 = 0.Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A[1; 2] và cắt đường tròn [C] có phương trình x y2 2[ 2] [ 1] 25− + + = theo một dây cung có độ dài bằng l 8=.• d: a[x – 1]+ b[y –2] = 0 ⇔ ax + by – a – 2b = 0 [ a2 + b2 > 0]Vì d cắt [C] theo dây cung có độ dài l 8= nên khoảng cách từ tâm I[2; –1] của [C] đến d bằng 3.[ ]a b a bd I d a b a ba b2 22 22 2, 3 3 3− − −= = ⇔ − = ++ aa aba b208 6 034=⇔ + = ⇔= −• a = 0: chọn b = 1 ⇒ d: y – 2 = 0 • a = b34−: chọn a = 3, b = – 4 ⇒ d: 3x – 4 y + 5 = 0.Câu hỏi tương tự:a] d đi qua O, C x y x y2 2[ ]: 2 6 15 0+ − + − =, l 8=. ĐS: d x y:3 4 0− =; d y: 0=.b] d đi qua Q[5;2], C x y x y2 2[ ]: 4 8 5 0+ − − − =, l 5 2=.ĐS: d x y: 3 0− − =; d x y:17 7 71 0− − =.c] d đi qua A[9;6], C x y x y2 2[ ]: 8 2 0+ − − =, l 4 3=.ĐS: d y x: 2 12= −; d y x1 21:2 2= − +Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn [C] : x y x y2 22 8 8 0+ + − − =. Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d x y:3 2 0+ − = và cắt đường tròn [C] theo một dây cung có độ dài l 6=.• [C] có tâm I[–1; 4], bán kính R = 5. PT đường thẳng ∆ có dạng: x y c c3 0, 2+ + = ≠.Vì ∆ cắt [C] theo một dây cung có độ dài bằng 6 nên:[ ]ccd Ic23 44 10 1, 44 10 13 1∆− + += −⇒ = = ⇔= − −+.Vậy phương trình ∆ cần tìm là: x y3 4 10 1 0+ + − =hoặc x y3 4 10 1 0+ − − =.Câu hỏi tương tự:a] C x y2 2[ ]:[ 3] [ 1] 3− + − =, d x y:3 4 2012 0− + =, l 2 5=.ĐS: x y:3 4 5 0∆− + =; x y:3 4 15 0∆− − =.Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn C x y2 2[ ]:[ 4] [ 3] 25+ + − = và đường thẳng x y:3 4 10 0∆− + =. Lập phương trình đường thẳng d biết d [ ]∆⊥ và d cắt [C] tại A, B sao cho AB = 6.• [C] có tâm I[– 4; 3] và có bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm AB, AH = 3. Do d∆⊥ nên PT của d có dạng: x y m4 3 0+ + =.Ta có: d I1[ ,[ ]]∆ = IH = AI AH2 2 2 25 3 4− = − = ⇔ mmm2 22716 94134 3=− + += ⇔= −+Vậy PT các đường thẳng cần tìm là: x y4 3 27 0+ + = và x y4 3 13 0+ − =.10Câu 38. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn [C]: x y x y2 22 2 3 0+ − − − = và điểm M[0; 2]. Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt [C] tại hai điểm A, B sao cho AB có độ dài ngắn nhất.• [C] có tâm I[1; 1] và bán kính R = 5. IM = 2 5< ⇒ M nằm trong đường tròn [C].Giả sử d là đường thẳng qua M và H là hình chiếu của I trên d. Ta có: AB = 2AH = IA IH IH IM2 2 2 22 2 5 2 5 2 3− = − ≥ − =.Dấu "=" xảy ra ⇔ H ≡ M hay d ⊥ IM. Vậy d là đường thẳng qua M và có VTPT MI [1; 1]= −uuur⇒ Phương trình d: x y 2 0− + =.Câu hỏi tương tự: a] Với [C]: x y x y2 28 4 16 0+ − − − =, M[–1; 0]. ĐS: d x y: 5 2 5 0+ + =Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn [C] có tâm O, bán kính R = 5 và điểm M[2; 6]. Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt [C] tại 2 điểm A, B sao cho ∆OAB có diện tích lớn nhất.• Tam giác OAB có diện tích lớn nhất ⇔ ∆OAB vuông cân tại O. Khi đó d O d5 2[ , ]2=.Giả sử phương trình đường thẳng d: A x B y A B2 2[ 2] [ 6] 0 [ 0]− + − = + ≠d O d5 2[ , ]2= ⇔ A BA B2 22 6 5 22− −=+ ⇔ B AB A2 247 48 17 0+ − = ⇔ B AB A24 5 554724 5 5547− −=− +=+ Với B A24 5 5547− −=: chọn A = 47 ⇒ B = 24 5 55− − ⇒ d: [ ]x y47[ 2] 24 5 55 [ 6] 0− − + − =+ Với B A24 5 5547− +=: chọn A = 47 ⇒ B = 24 5 55− + ⇒ d: [ ]x y47[ 2] 24 5 55 [ 6] 0− + − + − =Câu hỏi tương tự:a] C x y x y2 2[ ]: 4 6 9 0+ + − + =, M[1; 8]−. ĐS: x y x y7 1 0; 17 7 39 0+ + = + + =.Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn [C]: x y x y2 26 2 6 0+ − + − = và điểm A[3;3]. Lập phương trình đường thẳng d qua A và cắt [C] tại hai điểm sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng độ dài cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn [C]. • [C] có tâm I[3; –1], R = 4. Ta có: A[3 ;3] ∈ [C]. PT đường thẳng d có dạng: a x b y a b2 2[ 3] [ 3] 0, 0− + − = + ≠ ⇔ ax by a b3 3 0+ − − =. Giả sử d qua A cắt [C] tại hai điểm A, B ⇒ AB = 42. Gọi I là tâm hình vuông. Ta có: d I d AD AB1 1[ , ] 2 2 [ ]2 2= = =a b a ba b2 23 3 32 2− − −⇔ =+b a b a b a b2 2 2 24 2 2⇔ = + ⇔ = ⇔ = ±. Chọn b = 1 thì a = 1 hoặc a = –1.Vậy phương trình các đường thẳng cần tìm là: x y 6 0+ − = hoặc x y 0− =.11Câu 41. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn [C1]: x y2 213+ = và [C2]: x y2 2[ 6] 25− + =. Gọi A là một giao điểm của [C1] và [C2] với yA > 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt [C1], [C2] theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.• [C1] có tâm O[0; 0], bán kính R1 = 13. [C2] có tâm I2[6; 0], bán kính R2 = 5. Giao điểm A[2; 3]. Giả sử d: a x b y a b2 2[ 2] [ 3] 0 [ 0]− + − = + ≠. Gọi d d O d d d I d1 2 2[ , ], [ , ]= =.Từ giả thiết ⇒ R d R d2 2 2 21 1 2 2− = − ⇔ d d2 22 112− = ⇔ a a b a ba b a b2 22 2 2 2[6 2 3 ] [ 2 3 ]12− − − −− =+ +⇔ b ab23 0+ = ⇔ bb a03== −.• Với b = 0: Chọn a = 1 ⇒ Phương trình d: x 2 0− =.• Với b = –3a: Chọn a = 1, b = –3 ⇒ Phương trình d: x y3 7 0− + =.Câu 42. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆: mx y4 0+ =, đường tròn [C]: x y x my m2 2 22 2 24 0+ − − + − = có tâm I. Tìm m để đường thẳng ∆ cắt đường tròn [C] tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 12.• [C] có tâm I m[1; ], bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm của dây cung AB. m m mIH d Im m2 24 5[ , ]16 16+= ∆ = =+ +; mAH IA IHmm22 222[5 ] 20251616= − = − =++IABS 12∆= ⇔ md I AH m mm23[ , ]. 12 3 25 48 0163= ±∆ = ⇔ − + = ⇔= ±Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn C x y2 2[ ]: 1+ =, đường thẳng d x y m[ ]: 0+ + =. Tìm m để C[ ]cắt d[ ] tại A và B sao cho diện tích tam giác ABO lớn nhất.• [C] có tâm O[0; 0] , bán kính R = 1. [d] cắt [C] tại A, B d O d[ ; ] 1⇔ ⇔ ∈Ta có: ·S IA IB AIB IA IBIAB1 1 9. sin .2 2 2= ≤ =12Vậy: SIAB lớn nhất là 92 khi ·AIB090= ⇔ AB =R 2 3 2= ⇔d I d3 2[ , ]2=⇔m m3 221 2 22− = +m m22 16 32 0⇔ + + = m 4⇔ = −Câu hỏi tương tự:a] Với d x my m: –2 3 0+ + =, C x y x y2 2[ ]: 4 4 6 0+ + + + =. ĐS: m m8015= ∨ =Câu 45. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn C x y x y2 2[ ]: 4 6 9 0+ + − + = và điểm M[1; 8]−. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, cắt [C] tại hai điểm A, B phân biệt sao cho tam giác ABI có diện tích lớn nhất, với I là tâm của đường tròn [C].• [C] có tâm I[ 2;3]−, bán kính R 2=. PT đường thẳng d qua M[1; 8]− có dạng: d ax by a b: 8 0+ − + = [a b2 20+ ≠]. · ·IABS IA IB AIB AIB1. .sin 2sin2∆= =. Do đó: IABS∆ lớn nhất ⇔ ·AIB090= ⇔ d I d IA2[ , ] 22= =⇔ b aa b2 211 32−=+ ⇔ a ab b2 27 66 118 0− + = ⇔ a ba b77 17==.+ Với b a1 7= ⇒ = ⇒ d x y: 7 1 0+ + =+ Với b a7 17= ⇒ = ⇒ d x y:17 7 39 0+ + =Câu 46. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn [C]: x y x y2 24 4 6 0+ + + + = và đường thẳng ∆: x my m–2 3 0+ + = với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn [C]. Tìm m để ∆ cắt [C] tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích ∆IAB lớn nhất.• [C] có tâm là I [–2; –2]; R =2. Giả sử ∆ cắt [C] tại hai điểm phân biệt A, B. Kẻ đường cao IH của ∆IAB, ta có: S∆ABC = ·IABS IA IB AIB1. .sin2= = ·AIBsinDo đó IABS lớn nhất ⇔ sin·AIB = 1 ⇔ ∆AIB vuông tại I ⇔ IH = IA12= [thỏa IH < R] ⇔ mm21 411−=+ ⇔ 15m2 – 8m = 0 ⇔ m = 0 hay m = 815Câu hỏi tương tự:a] Với C x y x y2 2[ ]: 2 4 4 0+ − + − =, x my: 2 1 2 0∆+ + − =. ĐS: m 4= −.b] Với C x y x y2 2[ ]: 2 4 5 0+ − − − =, x my: 2 0∆+ − =. ĐS: m 2= −Câu 47. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x y–5 –2 0= và đường tròn [C]: x y x y2 22 4 8 0+ + − − =. Xác định tọa độ các giao điểm A, B của đường tròn [C] và đường thẳng d [cho biết điểm A có hoành độ dương]. Tìm tọa độ C thuộc đường tròn [C] sao cho tam giác ABC vuông ở B.• Tọa độ giao điểm A, B là nghiệm của hệ phương trình13y xx y x yy xx y2 20; 22 4 8 01; 35 2 0= =+ + − − =⇔ = − = −− − =. Vì Ax 0> nên ta được A[2;0], B[–3;–1].Vì ·ABC090= nên AC là đường kính đường tròn, tức điểm C đối xứng với điểm A qua tâm I của đường tròn. Tâm I[–1;2], suy ra C[–4;4].Câu 48. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn [C]: x y x y2 22 4 8 0+ + − − = và đường thẳng [∆]: x y2 3 1 0− − =. Chứng minh rằng [∆] luôn cắt [C] tại hai điểm phân biệt A, B . Tìm toạ độ điểm M trên đường tròn [C] sao cho diện tích tam giác ABM lớn nhất.• [C] có tâm I[–1; 2], bán kính R = 13. d I R9[ , ]13∆= < ⇒ đường thẳng [∆] cắt [C] tại hai điểm A, B phân biệt. Gọi M là điểm nằm trên [C], ta có ABMS AB d M1. [ , ]2∆∆=. Trong đó AB không đổi nên ABMS∆ lớn nhất ⇔ d M[ , ]∆ lớn nhất.Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I và vuông góc với [∆]. PT đường thẳng d là x y3 2 1 0+ − =.Gọi P, Q là giao điểm của đường thẳng d vời đường tròn [C]. Toạ độ P, Q là nghiệm của hệ phương trình: x y x yx y2 22 4 8 03 2 1 0+ + − − =+ − =⇔x yx y1, 13, 5= = −= − = ⇒ P[1; –1]; Q[–3; 5]Ta có d P4[ , ]13∆=; d Q22[ , ]13∆=. Như vậy d M[ , ]∆ lớn nhất ⇔ M trùng với Q. Vậy tọa độ điểm M[–3; 5].Câu 49. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn [C]: x y x y2 22 4 5 0+ − − − = và A[0; –1] ∈ [C]. Tìm toạ độ các điểm B, C thuộc đường tròn [C] sao cho ∆ABC đều.• [C] có tâm I[1;2] và R=10. Gọi H là trung điểm BC. Suy ra AI IH2.=uur uur H3 7;2 2 ⇔ ÷ ABC∆ đều ⇒ I là trọng tâm. Phương trình [BC]: x y3 12 0+ − =Vì B, C ∈ [C] nên tọa độ của B, C là các nghiệm của hệ phương trình:x y x y x y x yx y x y2 2 2 22 4 5 0 2 4 5 03 12 0 12 3 + − − − = + − − − =⇔ + − = = − Giải hệ PT trên ta được: B C7 3 3 3 3 7 3 3 3 3; ; ;2 2 2 2 + − − + ÷ ÷ hoặc ngược lại.Câu 50. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn [C]: x y2 2[ 3] [ 4] 35− + − = và điểm A[5; 5]. Tìm trên [C] hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.• [C] có tâm I[3; 4]. Ta có: AB ACIB IC== ⇒ AI là đường trung trực của BC. ∆ABC vuông cân tại A nên AI cũng là phân giác của ·BAC. Do đó AB và AC hợp với AI một góc 045. Gọi d là đường thẳng qua A và hợp với AI một góc 045. Khi đó B, C là giao điểm của d với [C] và AB = AC. Vì IA [2;1]=uur ≠ [1; 1], [1; –1] nên d không cùng phương với các trục toạ độ ⇒ VTCP của d có hai thành phần đều khác 0. Gọi u a[1; ]=r là VTCP của d. Ta có:14[ ]a aIA ua a2 2 22 2 2cos ,21 2 1 5 1+ += = =+ + +uurr ⇔ a a22 2 5 1+ = + ⇔ aa313== −+ Với a = 3, thì u [1;3]=r ⇒ Phương trình đường thẳng d: x ty t55 3= += +. Ta tìm được các giao điểm của d và [C] là: 9 13 7 3 13 9 13 7 3 13; , ;2 2 2 2 + + − − ÷ ÷ + Với a = 13−, thì u11;3 = − ÷ r ⇒ Phương trình đường thẳng d: x ty t5153= += −. Ta tìm được các giao điểm của d và [C] là: 7 3 13 11 13 7 3 13 11 13; , ;2 2 2 2 + − − + ÷ ÷ +Vì AB = AC nên ta có hai cặp điểm cần tìm là: 7 3 13 11 13 9 13 7 3 13; , ;2 2 2 2 + − + + ÷ ÷ và7 3 13 11 13 9 13 7 3 13; , ;2 2 2 2 − + − − ÷ ÷ Câu 51. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn [C]: x y2 24+ = và các điểm A81;3 − ÷ , B[3;0]. Tìm toạ độ điểm M thuộc [C] sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 203.• AB AB x y64 104 ; : 4 3 12 09 3= + = − − =. Gọi M[x;y] và h d M AB[ , ]=.Ta có: x yx yh AB hx y4 3 121 204 3 8 0. 4 44 3 32 02 3 5− −− + == ⇔ = ⇔ = ⇔− − =+ x yM Mx y2 24 3 8 014 48[ 2;0]; ;25 754 − + =⇒ − − ÷+ = + x yx y2 24 3 32 04− − =+ = [vô nghiệm]Câu 52. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn C x y x y2 2[ ]: 2 6 9 0+ + − + = và đường thẳng d x y:3 4 5 0− + =. Tìm những điểm M ∈ [C] và N ∈ d sao cho MN có độ dài nhỏ nhất. • [C] có tâm I[ 1;3]−, bán kính R 1= ⇒ d I d R[ , ] 2= > ⇒ d C[ ]∩ = ∅.Gọi ∆ là đường thẳng qua I và vuông góc với d ⇒ x y[ ]: 4 3 5 0∆+ − =. Gọi N d N0 01 7;5 5∆ = ∩ ⇒ ÷ . Gọi M M1 2, là các giao điểm của ∆ và [C] ⇒ M M1 22 11 8 19; , ;5 5 5 5 − − ÷ ÷ ⇒ MN ngắn nhất khi M M N N1 0,≡ ≡. Vậy các điểm cần tìm: M C2 11; [ ]5 5 − ∈ ÷ , N d1 7;5 5 ∈ ÷ .15