- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Quảng cáo
Cách 1:
+ Cả hai trường hợp đều suy ra
Mà [P] và [Q] cắt nhau
=>Véc tơ chỉ phương của d là
+ Tìm một điểm M thuộc đường thẳng d.
+ Đường thẳng d đi qua M và nhận vecto làm vecto chỉ phương
=> phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
Cách 2:
Nếu d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau [P] và [Q] thì với mỗi điểm
M [ x; y;z] thuộc d là nghiệm của hệ phương trình:
Đặt x= t [ hoặc y= t hoặc z= t] thay vào hệ [*] rồi rút y; z theo t
Từ đó suy ra phương trình của đường thẳng d.
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng [α]:x-3y+z=0 và [α']:x+y-z+4=0 . Viết phương trình tham số của đường thẳng d
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
* Cách 1: Điểm M [x; y; z] ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
Đặt y = t, ta có:
Vậy phương trình tham số của d là:
Cách 2: Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho y = 0 trong hệ [*]
Ta có hệ
Vậy điểm M0[-2;0;2] thuộc đường thẳng d.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là
Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là
Vậy phương trình tham số của d là:
Chọn C.
Quảng cáo
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của mặt phẳng [P]: y – 2z + 3 = 0 và mặt phẳng tọa độ [Oyz].
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Mặt phẳng [Oyz] có phương trình x= 0
Điểm M [x; y; z] ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
Chọn A.
Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A [1; 2; - 1] và song song với đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng [α]:x+y-z+3=0 và [α']:2x-y+5z-4=0
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng là:
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là
Vậy phương trình đường thẳng d là
Chọn C.
Ví dụ 4: Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng [α]:2x+y+1=0 và [β]:x-y+z-1=0
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Quảng cáo
Hướng dẫn giải
Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là
Điểm M [x; y; z] ∈ d khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho x = 0 trong hệ [*]
Ta có hệ
Vậy điểm M0[0;-1;0] thuộc đường thẳng d.
Vậy phương trình đường thẳng d là
Chọn C.
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng [α]: x- 2y – z+10= 0 và [β]: 2x+2y – 3z – 40= 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M[2; 3; 1] và song song với đường thẳng Δ là
A.
B.
C.
D.
giải
Mặt phẳng [α] có vec tơ pháp tuyến
Mặt phẳng [β ] có vec tơ pháp tuyến
Đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương là
Vậy phương trình của d là:
Chọn D.
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai mặt phẳng [P]: x- 2y+ 2z- 9= 0 và [Q]: 3x- 5y – 2z + 9= 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M[-2; -3; 5] và song song với hai mặt phẳng [P] và [ Q] là
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Mặt phẳng [P] có vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng [Q] có vectơ pháp tuyến
Đường thẳng d đi qua điểm M[ -2; -3;5] và có vectơ chỉ phương là:
Vậy phương trình của d là
Chọn A
Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ [Oxyz] cho mặt phẳng [P]: 2x- y+ 2z- 3= 0. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A[2; -3; -1 ], song song với hai mặt phẳng [ P] và [ Oyz] là.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Mặt phẳng [P] có vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng [Oyz] có phương trình x= 0 nên có vectơ pháp tuyến
Đường thẳng d đi qua điểm A[ 2; -3; -1] và có vectơ chỉ phương là
Vậy phương trình của d là
Chọn B.
Ví dụ 8. Trong không gian với hệ trục oxyz; cho đường thẳng d đi qua A[1; 0; -3] và song song với hai mặt phẳng [ Oxy] và [ Oxz]. Viết phương trình của đường thẳng d?
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Mặt phẳng [Oxy] có phương trình z= 0 nên có vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng [Oxz] có phương trình y= 0 nên có vectơ pháp tuyến
Đường thẳng d đi qua điểm A[1;0;-3] và có vectơ chỉ phương là
Vậy phương trình của d là:
Chọn A.
Chọn C.
Câu 1:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng [P]:2x+ y+z-4=0 và [Q]:x+2y-z-5=0 . Viết phương trình tham số của đường thẳng d
A.
B.
C.
D.
Giao tuyến của 2 mặt phẳng [P] và [Q] thỏa mãn hệ phương trình:
Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho x = 0 trong hệ [*]
Ta có hệ
Vậy điểm M0[0;3;1] thuộc đường thẳng d.
Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng là:
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là
Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là
Vậy phương trình tham số của d là:
Chọn D
Câu 2:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của mặt phẳng [P]: 2x- z+ 2 = 0 và mặt phẳng tọa độ [Oxy].
A.
B.
C.
D.
Điểm M[ x; y;z] thuộc giao tuyến d của 2 mặt phẳng [P] và [Oxy] thỏa mãn hệ phương trình:
Vậy điểm M[-1;y;0] chọn y= 0 ta được điểm M’[ -1; 0; 0] thuộc đường thẳng d.
Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng là:
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là:
Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là
Vậy phương trình tham số của d là:
Chọn A.
Câu 3:
Viết phương trình đường thẳng d đi qua A [-2; -3; 1] và song song với đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng [P] :x-2z+3=0 và [Q]:2x-3y-4=0
A.
B.
C.
D.
Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng là:
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là
Vậy phương trình đường thẳng d là
Chọn C.
Câu 4:
Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng [P]:x+2z=0 và [Q]: 3x+ y-2z-8=0
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là
Điểm M [x; y; z] ∈ d khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho y = 0 trong hệ [*]
Ta có hệ
Vậy điểm M0 [2;0; -1] thuộc đường thẳng d.
Vậy phương trình đường thẳng d là
Chọn B.
Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng [α]: x +10= 0 và [β]: x+2y – z – 0= 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M[ 1; 2; 3] và song song với đường thẳng Δ là
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Mặt phẳng [α] có vec tơ pháp tuyến
Mặt phẳng [β ] có vec tơ pháp tuyến
Đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương là
Vậy phương trình của d là:
Chọn D.
Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng [P]: 2x- y+ 2z- 9= 0 và [Q] đi qua ba điểm A[1; 0; 0] ; B[0; -1; 0] và C[ 0;0; 1]. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M[ 2; 1; 8] và song song với hai mặt phẳng [P] và [ Q] là
A.
B.
C.
D.
Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng [Q]:
⇔ [Q] : x- y + z – 1= 0
Mặt phẳng [P] có vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng [Q] có vectơ pháp tuyến
Đường thẳng d đi qua điểm M[ 2; 1; 8] và có vectơ chỉ phương là:
Vậy phương trình của d là
Chọn A
Câu 7:
Trong không gian với hệ tọa độ [Oxyz]; cho mặt phẳng [P]: x+ 2y- z-10 = 0. Gọi [Q] là mặt phẳng song song với mặt phẳng [P] và đi qua gốc tọa độ. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A[ 1; 0; 1] và song song với hai mặt phẳng [ Q] và [Oyz]?
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
+ Do mặt phẳng [Q] song song với mặt phẳng [ P]: x+ 2y – z- 10= 0 nên phương trình mặt phẳng [ Q] có dạng: x+ 2y – z+ D = 0
Mà mặt phẳng [Q] đi qua điểm O[0; 0;0] nên thay tọa độ điểm O vào phương trình [Q] ta được: 0+ 2.0 – z+ D= 0 ⇔ D=0
Vậy phương trình mặt phẳng [Q]: x+ 2y- z= 0
+ Mặt phẳng [Q] có vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng [Oyz] có phương trình x= 0 nên có vectơ pháp tuyến
+ Đường thẳng d đi qua điểm A[ 1;0; 1] và có vectơ chỉ phương là
=> Đường thẳng d không có phương trình chính tắc
Chọn D.
Câu 8:
Trong không gian với hệ trục Oxyz; cho đường thẳng d đi qua A[1; -1; 0] và song song với hai mặt phẳng [ Oyz] và [ Oxz]. Viết phương trình của đường thẳng d?
A.
B.
C.
D.
Mặt phẳng [Oyz] có phương trình x= 0 nên có vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng [Oxz] có phương trình y= 0 nên có vectơ pháp tuyến
Đường thẳng d đi qua điểm A[1; -1; 0] và có vectơ chỉ phương là
Vậy phương trình của d là:
Chọn B.
Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp