- lý thuyết
- trắc nghiệm
- hỏi đáp
- bài tập sgk
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=-x2 +[m-1]x+2 nghịch biến trên khoảng [1;2]
Các câu hỏi tương tự
- Toán lớp 10
- Ngữ văn lớp 10
- Tiếng Anh lớp 10
I. Tính đơn điệu của hàm số
1. Nhắc lại định nghĩa
- Định nghĩa:
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f[x] xác định trên K. Ta nói:
Hàm số y = f[x] đồng biến [tăng] trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f[x1] nhỏ hơn f[x2], tức là
x1 < x2 ⇒ f[x1] < f[x2].
Hàm số y = f[x] nghịch biến [giảm] trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f[x1] lớn hơn f[x2], tức là
x1 < x2 ⇒ f[x1] > f[x2].
- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.
- Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:
a] f[x] đồng biến trên K ⇔f[x2]-f[x1]x2-x1>0;∀x1;x2∈K;[x1≠x2].
f[x] nghịch biến trên K ⇔f[x2]-f[x1]x2-x1 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] đồng biến trên K.
b] Nếu f’[x] < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] nghịch biến trên K.
- Chú ý:
Nếu f’[x] = 0 với ∀x∈K thì f[x] không đổi trên K.
Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
a] y = x2 + 2x – 10;
b] y=x+ 52x-3.
Lời giải:
a] Hàm số đã cho xác định với mọi x∈R.
Ta có đạo hàm y’ = 2x + 2
Và y’ = 0 khi x = – 1.
Lập bảng biến thiên:
| x | -∞ | – 1 | +∞ |
| f’[x] | – | 0 | + |
| f[x] | – 11 |
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng [-1;+∞] và nghịch biến trên khoảng [-∞;-1].
b] y=x+ 52x-3
Hàm số đã cho xác định với ∀x≠32
Ta có: y'=-13[2x-3]2 0 với ∀x≠2.
Theo định lí mở rộng, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên \[\mathbb{R}\].
II. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
1. Quy tắc
- Bước 1. Tìm tập xác định.
- Bước 2. Tính đạo hàm f’[x]. Tìm các điểm xi [ i = 1; 2; …; n] mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Bước 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
- Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
2. Áp dụng
Ví dụ 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x4 – 2x2 – 3.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Ta có: y’ = 4x3 – 4x
y’ = 0 ⇔[x=0x=±1
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên [– 1; 0] và [1;+∞]
Hàm số nghịch biến trên [-∞;-1] và [0; 1].
Ví dụ 4. Cho hàm số y=-x3+6x2- 9x+ 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Ta có: y’ = – 3x2 + 12x – 9
Và y’ = 0 ⇔[x= 1x= 3
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên [1; 3]; nghịch biến trên [-∞; 1] và [3;+∞].
Câu hỏi
Nhận biết
Tổng tất cả các giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số \[y = {x^3} + mx - \frac{3}{{28{x^2}}}\], đồng biến trên khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right]\] bằng:
A.
B.
C.
D.
Tải trọn bộ tài liệu tự học tại đây
Giải chi tiết:
TXĐ: \[D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\]. Ta có \[y' = 3{x^2} + m - \frac{3}{{28}}\left[ { - 2\frac{1}{{{x^3}}}} \right] = 3{x^2} + m + \frac{3}{{14{x^3}}}\].
Để hàm số đồng biến trên khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right]\] thì \[y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right]\] và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{x^2} + m + \frac{3}{{14{x^3}}} \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right]\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + \frac{3}{{14{x^3}}} \ge - m\,\,\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right]\end{array}\]
Đặt \[f\left[ x \right] = 3{x^2} + \frac{3}{{14{x^3}}} \Rightarrow f\left[ x \right] \ge - m\,\,\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right] \Leftrightarrow - m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right]} f\left[ x \right]\].
Xét hàm số \[f\left[ x \right] = 3{x^2} + \frac{3}{{14{x^3}}}\] trên \[\left[ {0; + \infty } \right]\] ta có:
\[f'\left[ x \right] = 6x + \frac{3}{{35}}.\left[ { - \frac{3}{{{x^4}}}} \right] = 6x - \frac{9}{{14{x^4}}} = 0 \Leftrightarrow 6x = \frac{9}{{14{x^4}}} \Leftrightarrow {x^5} = \frac{3}{{28}} \Leftrightarrow x = \sqrt[5]{{\frac{3}{{28}}}}\].
BBT:
\[\Rightarrow - m \le 2,05 \Leftrightarrow m \ge - 2,05\]. Mà m là số nguyên âm \[\Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1} \right\}\]. Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là -2 – 1 = -3.
Chọn C.