Phương trình bậc hai hệ số thực. Có dạng $a{x^2} + bx + c = 0$, với $a,b,c \in \mathbb{R}.$ Công thức nghiệm $${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}, \hbox{ với } \Delta = {b^2} - 4ac.$$
Ví dụ 1. Giải phương trình ${x^2} + 2x + 5 = 0\;\;\;\;\;\;\left[ 1 \right]$.
Giải. Ta có $\Delta = {b^2} - 4ac = {2^2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = - 16 = {\left[ {4i} \right]^2}.$ Suy ra $\Delta$ có một căn bậc hai là $\sqrt \Delta = 4i.$ Hai nghiệm của phương trình $\left[ 1 \right]$ là $$\begin{gathered} {x_1} = \frac{{ - 2 + 4i}}{2} = - 1 + 2i; \hfill \\ {x_2} = \frac{{ - 2 - 4i}}{2} = - 1 - 2i. \hfill \\
\end{gathered} $$
Bình luận 1. Ở Ví dụ 1, $\Delta$ có hai căn bậc hai là $4i$ và $-4i$. Một trong hai căn bậc hai này, ta dùng đại lượng nào cũng được. Ở đây ta đã dùng $4i$ để thao tác tính dễ dàng hơn.
Phương trình bậc hai hệ số phức. Có dạng $a{x^2} + bx + c = 0$, với $a,b,c \in \mathbb{C}.$ Công thức tính nghiệm cũng giống như trường hợp có hệ số thực.
Ví dụ 2. Giải phương trình ${x^2} + \left[ {1 - \sqrt 3 } \right]ix + \sqrt 3 = 0\;\;\;\;\;\;\left[ 2 \right]$.
Giải. Ta có $$\Delta = {\left[ {\left[ {1 - \sqrt 3 } \right]i} \right]^2} - 4\sqrt 3 = - {\left[ {1 - \sqrt 3 } \right]^2} - 4\sqrt 3 = - {\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]^2} = {\left[ {\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]i} \right]^2}.$$ Suy ra một căn bậc hai của $\Delta$ là $\sqrt \Delta = \left[ {1 + \sqrt 3 } \right]i$. Từ đây ta được nghiệm của $\left[ 2 \right]$ là $$\begin{gathered} {x_1} = \frac{{ - \left[ {1 - \sqrt 3 } \right]i + \left[ {1 + \sqrt 3 } \right]i}}{2} = \sqrt 3 i, \hfill \\ {x_2} = \frac{{ - \left[ {1 - \sqrt 3 } \right]i - \left[ {1 + \sqrt 3 } \right]i}}{2} = - i. \hfill \\ \end{gathered} $$
Bình luận 2. Ở Khi giải phương trình bậc hai hệ số phức, thường thì $\Delta$ sẽ là một số phức. Do đó ta nên xem lại cách lấy căn bậc hai của số phức ở bài trước. Như ví dụ sau đây
Ví dụ 3. Giải phương trình ${x^2} + \left[ {1 + 5i} \right]x + 5i - 12 = 0.$
Giải. Ta có $$\Delta = {\left[ {1 + 5i} \right]^2} - 4\left[ {5i - 12} \right] = 24 - 10i = {\left[ {5 - i} \right]^2}.$$ Suy ra một căn bậc hai của $\Delta$ là $\sqrt \Delta = 5 - i$. Từ đây ta có nghiệm của phương trình là $$\eqalign{ & {x_1} = \frac{{ - \left[ {1 + 5i} \right] + \left[ {5 - i} \right]}}{2} = 2 - 3i, \cr
& {x_2} = \frac{{ - \left[ {1 + 5i} \right] - \left[ {5 - i} \right]}}{2} = - 3 - 2i. \cr} $$
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Phương trình quy về phương trình bậc hai trên tập số phức, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Phương trình quy về phương trình bậc hai trên tập số phức:
Dạng 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai. 1. Phương pháp giải: Nắm vững cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức. Nắm vững cách giải một số phương trình quy về bậc hai, hệ phương trình đại số bậc cao. Ví dụ: Giải phương trình: 4z + 6 = 0 trên tập số phức. Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm. Tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình. Khi đó, tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình đã cho bằng? Bài tập 2: Kí hiệu 1z 2z 3z 4z là bốn nghiệm phức của phương trình. Giá trị z1 z2 bằng? Phương trình có bốn nghiệm lần lượt là: 1z 2z 3z. Bài tập 3: Gọi 1z 2z 3z là các nghiệm phức của phương trình. Giá trị của biểu thức 1z 2z 3z. Bài tập 5: Cho số thực a, biết rằng phương trình có bốn nghiệm thỏa mãn. Tìm a. Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn 2018 2017. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Lý thuyết cơ bản
1. Căn bậc hai của số phức
Số phức được gọi là một căn bậc hai của số phức
.
Nhận xét:
-
- Một số phức luôn có hai căn bậc hai là hai số đối nhau và .
Tổng quát: Căn bậc của một số phức luôn có giá trị.
-
- Nếu là số thực dương thì có hai căn bậc hai là .
-
- Nếu là số thực âm thì có hai căn bậc hai là .
2. Phương trình bậc hai ẩn phức
-
Phương trình bậc hai với hệ số thực:
có .-
+ , phương trình có một nghiệm thực .
-
+ , phương trình có 2 nghiệm thực .
-
+ , ta có có căn bậc hai là . Khi đó phương trình có hai nghiệm phức .
-
-
Phương trình bậc hai với hệ số phức:
có .
-
+ , phương trình có nghiệm kép .
-
+ , tìm một căn bậc hai của . Khi đó phương trình có 2 nghiệm .
-
Chú ý: Định lí Viet vẫn đúng trên tập số phức.
B. Bài tập
Dạng 1. Tìm căn bậc hai của
A. Phương pháp
Cách 1: Biến đổi thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu.
Cách 2: Giả sử là một căn bậc hai của , khi đó
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1.1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
a] . b]. c].
d]. e].
Lời giải:
a] Căn bậc hai của là .
b] , suy ra có hai căn bậc hai là .
c] .
Do đó có hai căn bậc hai là và .
Cách 2: Giả sử là một căn bậc hai của , ta có
Hệ phương trình có hai nghiệm .
Do đó có hai căn bậc hai là và .
d]
Do đó có hai căn bậc hai là .
e]
Do đó z có hai căn bậc hai là và .
Dạng 2. Giải phương trình bậc hai ẩn phức
A. Bài tập ví dụ
Ví dụ 2.1: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a] . b] .
c] . d] .
Lời giải:
a] .
Cách 1: Ta có . Suy ra phương trình có 2 nghiệm .
Cách 2:
b] .
Cách 1: Ta có . Suy ra phương trình có 2 nghiệm .
Cách 2:
.
c]
-
Nếu
- Nếu .
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là .
d] .
Ta có .
Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là .
Ví dụ 2.2 [THPT Chuyên KHTN – Hà Nội] Gọi là 2 nghiệm của phương trình . Tính giá trị của .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Cách 1: có .
Suy ra phương trình có nghiệm .
Cách 2:
Ta có .
Chứng minh tương tự .
.
Chọn đáp án B.
Ví dụ 2.3 [ THPT Gia Lộc II] Gọi là 2 nghiệm của phương trình trên tập số phức. Tính giá trị của biểu thức .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Theo định lí Viet có .
Ta có .
Chọn A.
Ví dụ 2.4 [THPT Chuyên Quang Trung – Bình Phước] Cho hai số phức thỏa mãn và . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Cách 1:
Từ giả thiết, ta có
Chọn A.
Cách 2: Đặt và .
Từ giả thiết
.
Chọn A.
Dạng 3. Giải phương trình quy về bậc hai ẩn phức
A. Phương pháp
Đối với dạng này ta thường gặp phương trình bậc 3 hoặc phương trình bậc 4 dạng đặc biệt có thể quy được về bậc hai.
Đối với phương trình bậc 3 [hoặc cao hơn], về nguyên tắc ta cố gắng phân tích vế trái thành nhân tử [ để đưa về phương trình tích] từ đó dẫn đến việc giải phương trình bậc nhất và bậc hai.
Đối với một số phương trình khác, ta có thể đặt ẩn phụ để quy về phương trình bậc hai mà ta đã biết cách giải.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 3.1: Giải các phương trình sau trên tập số phức
a] . b]. c] .
Lời giải:
a] Đặt .
-
Với
.
-
Với
.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phức là .
b]
.
Vậy phương trình có 3 nghiệm phức là .
c] .
Đặt . Phương trình trở thành .
-
Với .
-
Với .
Vậy phương trình có 4 nghiệm phức .
Ví dụ 3.2: Giải các phương trình sau:
a] . b] .
c] .
Lời giải:
a]
.
b] Do tổng tất cả các hệ số của phương trình [1] bằng 0 nên [1] có nghiệm.
Phương trình tương đương
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
c] [1]
Do không phải là nghiệm của phương trình [1] nên
.
Đặt , phương trình trở thành .
-
Với [2]
Ta có .
Phương trình [2] có 2 nghiệm .
-
Với [3]
.
Phương trình [3] có 2 nghiệm .
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Ví dụ 3.3: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a] biết phương trình có nghiệm thuần ảo
b] c]
Lời giải:
a] Giả sử là một nghiệm của phương trình . Khi đó, ta có:
là một nghiệm của phương trình. Nên ta biến đổi phương trình đã cho về dạng:
.
b] Vì không là nghiệm của phương trình nên
Phương trình
Đặt , ta có: .
.
c] Đặt , ta có:
.
.