Vế phải của phương trình sai phân không chứa sai phân của tín hiệu vào
Xét hệ thống rời rạc có quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra mô tả bởi phương trình sai phân:
Chú ý: Ở phương trình trên hệ số ao = 1. Nếu ao # 1 ta chia hai vế cho ao để được phương trình sai phân có dạng [7.26].
Tương tự như đã làm đối với hệ liên tục, ta đặt các biến trạng thái để biến đổi tương đương phương trình sai phân bậc n ở trên thành hệ n phương trình sai phân bậc một.
Đặt các biến trạng thái như sau:
Thay vào phương trình [7.26] ta được:
Kết hợp phương trình trên với các biểu thức đặt biến trạng thái ta được hệ phương trình sau:
Viết lại dưới dạng ma trận:
Đáp ứng của hệ thống:
Đặt:
Ta được hệ phương trình biến thái:
Ví dụ 7.9. Cho hệ thống điều khiển rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân:
Hãy viết hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống.
Giải. Ta có:
Đặt biến trạng thái như sau:
Hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống đã cho là:
trong đó:
Vế phải của phương trình sai phân có chứa sai phân của tín hiệu vào
Xét hệ thống rời rạc có quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra mô tả bởi phương trình sai phân:
Chú ý: Ở phương trình trên hệ số ao = 1. Nếu ao ? 1 ta chia hai vế cho ao để được phương trình sai phân có dạng [7.27]
Đặt các biến trạng thái như sau:
Từ cách đặt biến trạng thái trên ta rút ra phương trình sau:
Trong đó:
Do đó hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống có dạng:
Trong đó:
Ví dụ 7.10. Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân:
Hãy viết hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống trên.
Giải. Ta có:
Đặt các biến trạng thái:
Trong đó:
Hệ phương trình biến trạng thái có dạng:
Trong đó:
Thành lập phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc
Cho hệ thống mô tả bởi hàm truyền:
Chú ý: Ở hàm truyền trên hệ số ao = 1. Nếu a0 ? 1 ta chia tử số và mẫu số cho ao để được hàm truyền có dạng [7.28].
Cách 1: Biến đổi tương đương hàm truyền về dạng phương trình sai phân:
Áp dụng phương pháp đã trình bày ở mục 7.4.1.2 ta rút ra được hệ phương trình biến trạng thái.
Ví dụ . Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có hàm truyền là:
Giải.Cách 1: Hàm truyền đã cho tương đương với:
xem tiếp lời giải đã trình bày ở ví dụ 7.10.
Cách 2: Do
nên ta có thể đặt biến phụ E[z] sao cho:
Áp dụng phương pháp đã trình bày ở mục 7.4.1.1, đặt các biến trạng thái:
Ta được phương trình:
Tóm lại ta được hệ phương trình trạng thái:
Trong đó:
Ví dụ. Cho hệ thống mô tả bởi hàm truyền:
Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái.
Giải. Hàm truyền đã cho tương đương với:
Đặt biến phụ E [z] sao cho:
Đặt biến trạng thái:
Ta được hệ phương trình:
Trong đó:
Ví dụ . Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có hàm truyền là:
Giải. Đặt biến phụ E[z] sao cho:
Đặt biến trạng thái:
Ta được hệ phương trình:
Trong đó:
Phương pháp này chỉ áp dụng được cho hệ thống có sơ đồ khối như sau:
Bước 1: Thành lập hệ phương trình biến trạng thái liên tục:
Bước 2: Tính ma trận quá độ của hệ liên tục:
Với:
Bước 3: Rời rạc hóa phương trình biến trạng thái ở bước 1, ta được:
Trong đó:
Bước 4: Hệ phương trình biến trạng thái của hệ rời rạc cần tìm với tín hiệu vào r[kT] là:
Chứng minh: Bước 1 và bước 2 thành lập phương trình trạng thái và tính ma trận quá độ của hệ liên tục không có gì phải chứng minh. Ta chứng minh từ bước 3, ở bước này ta suy ra phương trình trạng thái của hệ rời rạc từ phương trình trạng thái của hệ liên tục.
Bước 3: Ở chương 2, ta đã biết nghiệm của phương trình trạng thái hệ liên tục cho bởi công thức:
Tổng quát:
Áp dụng công thức trên với:
Ta được:
Ta lại có:
[do eR[t] là tín hiệu ở ngõ ra của khâu giữ ZOH]
Thay vào công thức trên, ta được:
Do e[kT] không phụ thuộc vào biến lấy tích phân
Đổi biến phép tính lấy tích phân, ta được:
Rời rạc hóa phương trình ngõ ra của hệ liên tục, ta được:
Bước 4: Theo sơ đồ khối của hệ thống, ta thấy:
Thay vào [7.31] ta được kết quả cần chứng minh.
Ví dụ. Cho hệ thống rời rạc có sơ đồ như hình vẽ. Hãy thành lập hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống với các biến trạng thái được xác định trên hình vẽ.
Giải
Bước 1: Thành lập hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ liên tục:
Theo hình vẽ ta có:
Kết hợp [7.32] và [7.33] ta được hệ phương trình:
Đáp ứng của hệ thống:
Do đó:
Bước 2: Tính ma trận quá độ:
Bước 3: Rời rạc hóa các phương trình trạng thái của hệ liên tục, ta được:
Trong đó:
Bước 4: Hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống rời rạc với tín hiệu vào r[kT] là:
Trong đó:
Ví dụ bằng số cụ thể: a = 2, T = 0,5sec, K = 10
Kết luận: hệ phương trình biến trạng thái cần tìm là:
Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi hệ phương trình biến trạng thái:
Bài toán đặt ra là tìm hàm truyền:
Biến đổi Z hệ phương trình trạng thái, ta được:
Lập tỉ số, ta được:
Ví dụ. Cho hệ thống mô tả bởi phương trình trạng thái:
Trong đó:
Hãy viết hàm truyền của hệ thống trên.
Giải. Áp dụng công thức [7.35], hàm truyền của hệ thống là:
Ta có:
Vậy: