Tóm tắt kiến thức
1. Tập hợp số tự nhiên, kí hiệu \[\mathbb N\]
\[\mathbb N=\left\{0, 1, 2, 3, ...\right\}\].
2. Tập hợp số nguyên, kí hiệu là \[\mathbb Z\]
\[\mathbb Z=\left\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\right\}\].
Tập hợp số nguyên gồm các phần tử là số tự nhiên và các phần tử đối của các số tự nhiên.
Tập hợp các số nguyên dương kí hiệu là \[\mathbb N^*\]
3. Tập hợp số hữu tỉ, kí hiệu là \[\mathbb Q\]
\[\mathbb Q=\left\{\frac{a}{b} | a, b∈\mathbb Z, b≠0\right\}\]
Mỗi số hữu tỉ có thể biểu diễn bằng một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.
4. Tập hợp số thực, kí hiệu là \[\mathbb R\]
Một số được biểu diễn bằng một số thập phân vô hạn không tuần hoàn được gọi là một số vô tỉ. Tập hợp các số vô tỉ kí hiệu là \[\mathbb I\].
Tập hợp số thực gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ: \[\mathbb R = \mathbb Q ∪ \mathbb I\]
5. Một số tập hợp con của tập hợp số thực.
Loigiaihay.com
Lý thuyết tập hợp các số tự nhiên
Các số 0; 1; 2; 3; 4…. là các số tự nhiên. Tập hợp các số tự nhiên được kí hiệu là N. Như vậy N = {0; 1; 2; 3…}.
1. Khái niệm số tự nhiên là gì?
Các số 0; 1; 2; 3; 4…. là các số tự nhiên. Tập hợp các số tự nhiên được kí hiệu là N. Như vậy N = {0; 1; 2; 3…}.
Các số tự nhiên được biểu diễn trên một tia số. Mỗi số được biểu diễn bởi một điểm. Điểm biểu diễn số tự nhiên a được gọi là điểm a.
Tập hợp các số tự nhiên khác O được kí hiệu là N*, N* = {1; 2; 3;…}
2. Thứ tự trong tập số tự nhiên
a] Trong hai số tự nhiên khác nhau có một số nhỏ hơn số kia. Khi số a nhỏ hơn số b, ta viết a < b hoặc b > a.
Ta viết a ≤ b để chỉ a < b hoặc a = b; viết b ≥ a để chỉ b > a hoặc b = a.
Trong hai điểm trên tia số như hình vẽ trên, điểm ben trái biểu diễn số nhỏ hơn.
b] Nếu a < b và b < c thì a < c.
c] Mỗi số tự nhiên có một số liền sau. Chẳng hạn, số 1 là số liền sau của số 0, số 6 là số liền sau của số 5; khi đó ta cũng nói số 0 là số liền trước của số 1, số 5 là số liền trước của số 6.
d] Số 0 là số tự nhiên nhỏ nhất. Không có số tự nhiên lớn nhất.
e] Tập hợp số tự nhiên có vô số phần tử.
Lý thuyết tập hợp, phần tử của tập hợp
Cần nắm vững vàng kiến thức toán học thì mới có thể giải nhanh và đúng được các bài toán. Trong đó những kiến thức về số tự nhiên là những kiến thức được học trong toán học cấp 2. Trong bài viết này chúng ta sẽ tìm hiểu về số tự nhiên là gì, tính chất và tập hợp các số tự nhiên như thế nào nhé!
Trong toán học, số tự nhiên là tập hợp những số lớn hơn hoặc bằng 0, được ký hiệu là N. Ví dụ như các số 0; 1; 2; 3; 4; 5…. Được gọi là các số tự nhiên.
Số tự nhiên được kí hiệu là N. Như vậy kí hiệu tập hợp các số tự nhiên sẽ là N = {0; 1; 2; 3; 4; 5…}.
Các số tự nhiên được biểu diễn trên một tia số. Mỗi số được biểu diễn bởi một điểm. Hình vẽ dưới đây biểu diễn dãy số tự nhiên theo hình tia.
Các số tự nhiên khác 0 được kí hiệu là N*, tập hợp của nó sẽ là N* = {1; 2; 3; 4; 5; 6…}
- Tính chất của số tự nhiên
Bởi số tự nhiên được sử dụng nhiều nhất trong toán học và cả trong thực tế hằng ngày. Vì vậy các bạn cần lưu ý nắm rõ về khái niệm, tính chất một cách chính xác để có thể áp dụng vào công việc, học tập của mình. Một số tính chất tập hợp số tự nhiên như sau:
- Trong dãy số tự nhiên liên tiếp thì luôn có tính tăng dần. Tức hai số liên tiếp sẽ có một số nhỏ và một số lớn hơn. Ví dụ như hai số 6, 7 thì ta có 6 < 7 [ sáu bé hơn bảy] hay 7 > 6 [bảy lớn hơn sáu].
- Số tự nhiên được biểu diễn hình tia thì luôn có chiều mũi tên từ trái sang phải và các điểm trên tia có tính tăng dần.
- Khi số a nhỏ hơn số b, ta viết a < b hoặc b > a. Nếu a < b, b < c thì ta có a < c
- Một số tự nhiên chỉ có một số liền sau duy nhất. Ví dụ số 5 thì số liền sau của số 5 là số 6.
- Một số tự nhiên chỉ có một số liền trước duy nhất, trừ số 0 bởi số 0 là số nhỏ nhất.
- Số tự nhiên nhỏ nhất là số 0
- Không tồn tại số tự nhiên lớn nhất.
- Tổng số phần tử của tập hợp các số tự nhiên là vô số.
Kết luận: Với những kiến thức trên, dễ dàng cho các bạn hiểu số tự nhiên là gì hay kí hiệu N là gì rồi đúng không nào. Chúng các bạn học tốt và thành công hơn nữa trong cuộc sống!
Tập hợp là một khái niệm quen thuộc chúng ta đã học ở lớp 6.Trong đó, ngay từ bài đầu tiên ta đã làm quen với tập hợp số tự nhiên và học thêm các tập hợp số khác như số nguyên, số hữu tỉ, số vô tỉ, số thực trong chương trình toán THCS. Hôm nay, chúng tôi xin giới thiệu với các em các tập hợp số lớp 10 nằm trong chương I: Mệnh đề -Tập hợp của chương trình đại số 10.
Tài liệu sẽ bao gồm lý thuyết và bài tập về các tập hợp số, mối liên hệ giữa các tập hợp, cách biểu diễn các khoảng, đoạn, nửa khoảng, các tập hợp con thường gặp của tập số thực. Hy vọng, đây sẽ là một bài viết bổ ích giúp các em học tốt chương mệnh đề-tập hợp.
I/ Lý thuyết về các tập hợp số lớp 10
Trong phần này, ta sẽ đi ôn tập lại định nghĩa các tập hợp số lớp 10, các phần tử của mỗi tập hợp sẽ có dạng nào và cuối cùng là xem xét mối quan hệ giữa chúng.
1. Tập hợp của các số tự nhiên được quy ước kí hiệu là N
N={0, 1, 2, 3, 4, 5, ..}.
2. Tập hợp của các số nguyên được quy ước kí hiệu là Z
Z={..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}.
Tập hợp số nguyên bao gồm các phân tử là các số tự nhiên và các phần tử đối của các số tự nhiên.
Tập hợp của các số nguyên dương kí hiệu là N*
3. Tập hợp của các số hữu tỉ, được quy ước kí hiệu là Q
Q={ a/b; a, b∈Z, b≠0}
Một số hữu tỉ có thể được biểu diễn bằng một số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn.
4. Tập hợp của các số thực được quy ước kí hiệu là R
Mỗi số được biểu diễn bằng một số thập phân vô hạn không tuần hoàn được ta gọi là một số vô tỉ. Tập hợp các số vô tỉ được quy ước kí hiệu là I. Tập hợp của các số thực bao gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ.
5. Mối quan hệ các tập hợp số
Ta có : R = Q ∪ I.
Tập N ; Z ; Q ; R.
Khi đó quan hệ bao hàm giữa các tập hợp số là : N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Mối quan hệ giữa các tập hợp số lớp 10 còn được thể hiện trực quan qua biểu đồ Ven:
6. Các tập hợp con thường gặp của tập hợp số thực
Kí hiệu –∞ đọc là âm vô cực [hoặc âm vô cùng], kí hiệu +∞ đọc là dương vô cực [hoặc dương vô cùng]
II/ Bài tập về các tập hợp số lớp 10
Sau khi ôn tập lý thuyết, chúng ta sẽ vận dụng những kiến thức trên để giải các bài tập về các tập hợp số lớp 10. Các dạng bài tập chủ yếu là liệt kê các phần tử trên tập hợp, các phép toán giao, hợp, hiệu giữa các tập hợp con của tập hợp số thực.
a] [a;b] ⊂ [a;b]
b] [a;b] ⊂ [a;b]
c] [a;b] ⊂ [a;b]
d] [a;b], [a;b] đều là tập con của [a;b]
Giải:
Chọn đáp án D. vì [a;b] là tập lớn nhất trong 4 tập hợp:
Bài 2: Xác định mỗi tập hợp sau:
a] [-2;4]∪[0;5]
b] [-1;6]∩[1;7]
c] [-∞;7]\[1;9]
Giải:
a] [-2;4]∪[0;5]=[-2;5]
b] [-1;6]∩[1;7]=[1;6]
c] [-∞;7]\[1;9]=[-∞;1]
Đây là dạng toán thường gặp nhất, để giải nhanh dạng toán này ta cần vẽ các tập hợp lên trục số thực trước, phần lấy ta sẽ giữa nguyên còn phần không lấy ta sẽ gạch bỏ đi. Sau đó việc lấy giao, hợp hay hiệu sẽ dễ dàng hơn.
Bài 3: Xác định mỗi tập hợp sau
a] [-∞;1]∩[1;2]
b] [-5;7]∩[3;8]
c] [-5;2]∪[-1;4]
d] [-3;2]\[0;3]
e] R\[-∞;9]
Giải:
a] [-∞;1]∩[1;2] ≠ ∅
b] [-5;7]∩[3;8] = [3;7]
c] [-5;2]∪[-1;4] = [-1;2]
d] [-3;2]\[0;3] = [-3;0]
e] R\[-∞;9] = [9;+∞]
Bài 4: Xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê
Bài 5: Liệt kê các phần tử của các tập hợp sau đây
Bài 6: Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số
a] [-3;1] ∪ [0;4]
b] [-3;1] ∩ [0;4]
c] [-∞;1] ∪ [2;+∞]
d] [-∞;1] ∩ [2;+∞]
Bài 7: A=[-2;3] và B=[1;5]. Xác định các tập hợp: A ∪ B, A ∩ B, A\B, B\A.
Bài 8: Cho A={x € R||x ≤ 4}; B={x€ R|-2 ≤ x+1 < 3}
Viết các tập sau dưới dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng: A ∩ B, A\B, B\A, R\[A∪B]
Bài 9: Cho A={x € R|-3 ≤ x ≤ 5} và B = {x € Z|-1< x ≤ 5}
Xác định các tập hợp: A ∪ B, A ∩ B, A\B, B\A
Bài 10: Cho và A={x € R|x>2} và B={x € R|-1 < x ≤ 5}
Xác định các tập hợp: A ∪ B, A ∩ B, A\B, B\A
Bài 11: Cho A={2,7} và B=[-3,5]. Xác định các tập hợp: A ∪ B, A ∩ B, A\B, B\A
Bài 12: Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số
a] R\[[0;1] ∪ [2;3]]
b] R\[[3;5] ∩ [4;6]
c] [-2;7]\[1;3]
d] [[-1;2] ∪ [3;5]]\[1;4]
Bài 13: Cho A={x € R| 1 ≤ x ≤ 5}, B={x € R| 4 ≤ x ≤ 7} và C={x € R| 2 ≤ x < 6}.
a] Xác định các tập hợp:
b] Gọi D ={x € R| a ≤ x ≤ b}. Xác định a, b để D⊂A∩B∩C
Bài 14: Viết phần bù trong R các tập hợp sau:
A={x € R|-2 ≤ x < 10}
B={x € R||x| > 2}
C={x € R|-4< x + 2 ≤ 5}
Bài 15: Cho A = {x € R|x ≤ -3 hoặc x > 6}, B={x€ R|x2- 25 ≤ 0}
a] Tìm khoảng – đoạn – nửa khoảng sau đây: A\B, B\A, R\[A ∪ B], R\[A∩B], R\[A\B]
b] Cho C={x € R|x≤a}; D={x € R|x ≥b}. Xác định a,b biết rằng C∩BvμD∩B là các đoạn có chiều dài lần lượt là 7 và 9. Tìm C∩D.
Bài 16: Cho các tập hợp
A={x € R|-3 ≤ x ≤ 2}
B= {x € R|0 ≤ x ≤ 7}
C= {x € R|x ≤ -1}
D= {x € R|x ≥ 5}
a] Dùng kí hiệu đoạn, khoảng, nửa khoảng để viết lại các tập hợp trên
b] Biểu diễn các tập hợp A, B, C, D trên trục số
Chúng ta vừa ôn tập xong các tập hợp số lớp 10 đã học như số tự nhiên, số nguyên, số thực, số hữu tỉ, số vô tỉ và các tập hợp con của tập số thực. Nắm vững các kiến thức về các tập hợp số sẽ giúp các em học đại số tốt hơn vì rất nhiều dạng toán sẽ liên quan đến tập hợp, ví dụ như tìm tập xác định của một hàm số, hay kết luận tập nghiệm của một bất phương trình. Để làm tốt các bài tập về các tập hợp số, các em cần phải nắm chắc định nghĩa của các tập hợp số, dạng đặc trưng của phần tử từng tập hợp và các phép toán trên tập hợp như giao, hợp, hiệu, phần bù. Để dễ học thuộc các tập hợp các em có thể dùng biểu đồ ven để minh họa trực quan. Hy vọng, bài viết này sẽ giúp các em nắm vững các tập hợp số và làm các bài tập liên quan đến tập hợp thật chính xác.