Cho phương trình \[2m{\cos ^2}x + 2\sin 2x + m - 1 = 0\]. Có bao nhiêu số nguyên của m để phương trình trên có đúng một nghiệm thuộc \[\left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\] ?
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,2m{\cos ^2}x + 2\sin 2x + m - 1 = 0\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]\\ \Leftrightarrow 2m{\cos ^2}x + 4\sin x\cos x + m - 1 = 0\end{array}\]
TH1: \[\cos x = 0 \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\].
Khi đó phương trình có nghiệm \[x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\].
Họ nghiệm này không có nghiệm thuộc \[\left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right] \Rightarrow m = 1\] loại.
TH2: \[\cos x \ne 0\], chia cả 2 vế của phương trình cho \[{\cos ^2}x\] ta được:
\[\begin{array}{l} \Rightarrow 2m + 4\tan x + \left[ {m - 1} \right]\left[ {1 + {{\tan }^2}x} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {m - 1} \right]{\tan ^2}x + 4\tan x + 3m - 1 = 0\,\,\,\left[ 2 \right]\end{array}\]
Đặt \[\tan x = t\], với \[x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\] thì \[t \in \left[ {0;1} \right]\], khi đó phương trình [2] trở thành:
\[\left[ {m - 1} \right]{t^2} + 4t + 3m - 1 = 0\,\,\,\,\left[ 3 \right]\]
Để phương trình [1] có nghiệm duy nhất thuộc \[\left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\] thì phương trình [3] có nghiệm \[t\] duy nhất thuộc \[\left[ {0;1} \right].\]
Ta có: \[\left[ 3 \right] \Leftrightarrow m\left[ {{t^2} + 3} \right] = {t^2} - 4t + 1\]\[ \Leftrightarrow m = \dfrac{{{t^2} - 4t + 1}}{{{t^2} + 3}}\,\,\left[ * \right]\]
Đặt \[g\left[ t \right] = \dfrac{{{t^2} - 4t + 1}}{{{t^2} + 3}}\] ta có:
\[\begin{array}{l}g'\left[ t \right] = \dfrac{{\left[ {2t - 4} \right]\left[ {{t^2} + 3} \right] - \left[ {{t^2} - 4t + 1} \right]2t}}{{{{\left[ {{t^2} + 3} \right]}^2}}}\\g'\left[ t \right] = \dfrac{{2{t^3} + 6t - 4{t^2} - 12 - 2{t^3} + 8{t^2} - 2t}}{{{{\left[ {{t^2} + 3} \right]}^2}}}\\g'\left[ t \right] = \dfrac{{4{t^2} + 4t - 12}}{{{{\left[ {{t^2} + 3} \right]}^2}}}\\g'\left[ t \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{2}\,\,\,\left[ {ktm} \right]\\t = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{2}\,\,\,\left[ {ktm} \right]\end{array} \right.\end{array}\]
Bảng biến thiên:
Để phương trình [*] có nghiệm duy nhất \[t \in \left[ {0;1} \right]\] thì \[m \in \left[ { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3}} \right]\].
Mà \[m \in \mathbb{Z}\] nên \[m = 0\].
Vậy có duy nhất một giá trị của \[m\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn B.
Page 2
| Quảng cáo |
Số nghiệm của phương trình 2 sinx + 3 cosx = 0 trong đoạn 0 ; 5 π 2 là
A.2
B. 3
C. 1
D. 4
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Tìm m để phương trình: [3cosx-2][2cosx+3m-1]=0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng 0;3π2
Xem đáp án » 18/06/2021 4,989
Phương trình cos2x+2cosx-3=0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng [0;2019]
Xem đáp án » 18/06/2021 4,584
Số nghiệm của phương trình sinx=0 trên đoạn [0;π] là:
Xem đáp án » 18/06/2021 3,112
Phương trình sinx=cosx có số nghiệm thuộc đoạn -π;π là
Xem đáp án » 18/06/2021 3,047
Số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình sin2x+π3=12 trên đường tròn lượng giác là
Xem đáp án » 18/06/2021 3,043
Tổng các nghiệm thuộc khoảng [-π2;π2] của phương trình 4sin22x-1=0 bằng
Xem đáp án » 18/06/2021 2,478
Phương trình sinx+cosx=1 có 1 nghiệm là
Xem đáp án » 18/06/2021 1,852
Tìm số nghiệm của phương trình sin[cos2x]=0 trên [0;2π]
Xem đáp án » 18/06/2021 1,515
Gọi m là số nghiệm của phương trình sin[2x+30°]=32 trên khoảng -180°;180°. Tìm m
Xem đáp án » 18/06/2021 1,294
Phương trình 2sinx-1=0 có tập nghiệm là:
Xem đáp án » 18/06/2021 331
Nghiệm của phương trình cot3x=-1 là
Xem đáp án » 18/06/2021 294
Giải phương trình 1+cosx=0 được nghiệm:
Xem đáp án » 18/06/2021 279
Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình: sinx+m-1cosx=2m-1 có nghiệm là:
Xem đáp án » 18/06/2021 182
Chọn đáp án sai trong các câu sau
Xem đáp án » 18/06/2021 141
Phương trình cotx+3=0 có các nghiệm là
Xem đáp án » 18/06/2021 114
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Nghiệm của phương trình cosx+sinx=0 là:
Xem đáp án » 19/06/2021 262
Phương trình tanx=3 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng [−2017π;2017π]?
Xem đáp án » 19/06/2021 230
Nghiệm của phương trình tanx=tan3x là:
Xem đáp án » 19/06/2021 148
Nghiệm của phương trình sin3x=cosx là:
Xem đáp án » 19/06/2021 135
Nghiệm của phương trình tan2x−150=1, với −900