Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có

Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức dạng. Lý thuyết Phương trình bậc nhất hai ẩn. Bài 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn.

A. Kiến thức cơ bản:

1. Khái niệm:

Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức dạng:

ax + by = c                  [1]

Trong đó a, b và cc là các số đã biết [a ≠ b hoặc b ≠ 0].

2. Tập hợp nghiệm của phương trình:

a] Một nghiệm của phương trình [1] là một cặp số

[x0, y0] sao cho ax0 + by0 = c.

b] Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c,

kí hiệu là [d].

–  Nếu a ≠ 0 và b ≠ 0 thì công thức nghiệm là:

\[\left\{\begin{matrix} x \in R & & \\ y = \frac{c – ax}{b} & & \end{matrix}\right.\] hoặc \[\left\{\begin{matrix} x = \frac{c – by}{a} & & \\ y \in R & & \end{matrix}\right.\]

Khi đó đường thẳng [d] cắt cả hai trục tọa độ.

– Nếu a = 0, b ≠ 0 thì công thức nghiệm là:

\[\left\{\begin{matrix} x \in R & & \\ y = \frac{c}{b} & & \end{matrix}\right.\] và [d] // Ox

– Nếu a ≠ 0, b = 0 thì công thức nghiệm là:

\[\left\{\begin{matrix} x = \frac{c}{a} & & \\ y \in R & & \end{matrix}\right.\] và [d] // Oy.

1. Các kiến thức cần nhớ

Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn

+] Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng $ax + by = c$

Trong đó $a,b,c$  là những số cho trước $a \ne $$0$  hoặc $b \ne 0$ .

- Nếu các số thực ${x_0},\,{y_0}$ thỏa mãn $ax + by = c$ thì cặp số $[{x_0},\,{y_0}]$ được gọi là nghiệm của phương trình $ax + by = c$.

- Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , mỗi nghiệm $[{x_0},\,{y_0}]$ của phương trình $ax + by = c$ được biểu diễn bới điểm có tọa độ $[{x_0},\,{y_0}]$.

Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$ luôn có vô số nghiệm.

Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng $d:ax + by = c.$

+] Nếu $a \ne 0$ và $b = 0$ thì phương trình có nghiệm  $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{c}{a}\\y \in R\end{array} \right.$

và đường thẳng $d$  song song hoặc trùng với trục tung.

+] Nếu $a = 0$ và $b \ne 0$ thì phương trình có nghiệm  $\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = \dfrac{c}{b}\end{array} \right.$

và đường thẳng $d$  song song hoặc trùng với trục hoành.

+] Nếu $a \ne 0$ và $b \ne 0$ thì phương trình có nghiệm  $\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y =  - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}\end{array} \right.$

và đường thẳng $d$  là đồ thị hàm số $y =  - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}$

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để một cặp số cho trước là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn.

Phương pháp:

Nếu cặp số thực $[{x_0},\,{y_0}]$thỏa mãn $ax + by = c$ thì nó được gọi là nghiệm của phương trình $ax + by = c$.

Dạng 2: Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn. Biểu diễn tập nghiệm trên hệ trục tọa độ.

Phương pháp:

Xét phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$.

1. Để viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình, trước tiên ta biểu diễn $x$ theo $y$ [ hoặc $y$ theo $x$] rồi đưa ra công thức nghiệm tổng quát.

2. Để biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng d có phương trình $ax + by = c$.

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng $ax + by = c$ thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

Ta có thể sử dụng một số lưu ý sau đây khi giải dạng toán này:

1. Nếu \[a \ne 0\] và \[b = 0\] thì phương trình đường thẳng $d: ax + by = c$ có dạng $d:x = \dfrac{c}{a}$.  Khi đó $d$ song song hoặc trùng với $Oy$ .

2. Nếu \[a = 0\] và \[b \ne 0\] thì phương trình đường thẳng $d: ax + by = c$ có dạng $d:y = \dfrac{c}{b}$.  Khi đó $d$ song song hoặc trùng với $Ox$ .

3. Đường thẳng $d:ax + by = c$ đi qua điểm $M[{x_0},\,{y_0}]$ khi và chỉ khi $a{x_0} + b{y_0} = c$.

Dạng 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp:

Để tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$, ta làm như sau:

Cách 1:

Bước 1: Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩnBước 2:  Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ [chẳng hạn $x$ ] theo ẩn kia.Bước 3:  Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của $x$ Bước 4:  Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của $x$ bằng một số nguyên \[t\], ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn $y$ và \[t\]

-  Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên.

Cách 2:

Bước 1. Tìm một nghiệm nguyên $[{x_0},\,{y_0}]$ của phương trình.

Bước 2. Đưa phương trình về dạng $a[x - {x_0}] + b[y - {y_0}] = 0$ từ đó dễ dàng tìm được các nghiệm nguyên của phương trình đã cho.

Định nghĩa [edit]

Phương trình bậc nhất hai ẩn \[x\] và \[y\] là hệ thức có dạng

\[ax+by=c\]

trong đó \[a,\ b\] và \[c\] là các số đã biết \[[a \neq 0\] hoặc \[b \neq 0]\], \[x\] và \[y\] là ẩn.

Ví dụ 1:

1] \[3x+y=2\] là phương trình bậc nhất hai ẩn \[x\] và \[y\] với \[a=3,\ b=1\] và \[c=2\].

2] \[5x+0y=8\] là phương trình bậc nhất hai ẩn \[x\] và \[y\] với \[a=5,\ b=0\] và \[c=8\].

3] \[-x^2+y=4\] không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn vì ẩn \[x\] có bậc \[2\].

Nghiệm [edit]

Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn là các cặp giá trị \[[x_1; y_1],\ [x_2; y_2],\ \dots \] của hai ẩn số \[x\] và \[y\] thỏa mãn tính chất: khi thay vào phương trình thì giá trị tương ứng của hai biểu thức ở hai vế của phương trình bằng nhau.

Cặp \[[x_1; y_1]\] là một nghiệm của phương trình \[ax+by=c\] khi và chỉ khi \[ax_1+by_1=c.\]

Khi đó ta viết phương trình đã cho có nghiệm là \[[x; y]=[x_1; y_1].\]

Ví dụ 2:

1] Cặp số \[[2; -1]\] là nghiệm của phương trình \[x+3y=-1\]     \[[1]\]

Thay \[x=2,\ y=-1\] vào biểu thức ở vế trái \[VT=x+3y\], ta được:

Mà vế phải \[VP=-1\].

Suy ra \[VT=VP\].

Vậy \[[2; -1]\] là nghiệm của phương trình \[[1]\]. \[\square\]

2] Cặp số \[[5; -2]\] cũng là nghiệm của phương trình \[[1]\].

Thay \[x=5,\ y=-2\] vào biểu thức ở vế trái \[x+3y\], ta được:

Mà vế phải \[VP=-1\].

Suy ra \[VT=VP\].

Vậy \[[5; -2]\] cũng là nghiệm của phương trình \[[1]\]. \[\square\]

Tập nghiệm [edit]

Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn là tập tất cả các nghiệm của phương trình.

Hai phương trình tương đương

Hai phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là tương đương  nếu chúng có cùng tập nghiệm [hoặc có tập nghiệm giống nhau].

Chú ý:

- Khi viết \[[x_1; y_1]\] là nghiệm của phương trình ta luôn hiểu rằng \[x=x_1\] và \[y=y_1\].

- Mỗi nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một điểm. Nghiệm \[[x_1; y_1]\] được biểu diễn bởi điểm có tọa độ là \[[x_1; y_1]\].

- Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn đều có vô số nghiệm.

Các phép biến đổi [edit]

Quy tắc chuyển vế

Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.

Quy tắc nhân

Trong một phương trình, ta có thể nhân [chia] cả hai vế với cùng một số khác \[0\].

Cách giải [edit]

Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn đều có vô số nghiệm. Mỗi nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một điểm. Tập hợp các nghiệm của phương trình được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng.

Xét phương trình bậc nhất hai ẩn \[ax+by=c\ \ [2]\] với \[a \neq 0\] hoặc \[b \neq 0\].

+] TH1: \[a \neq 0\] và \[b \neq 0\].

Chia cả hai vế của \[[2]\] cho \[b\], ta được:

     \[ax+by=c\]

\[\Leftrightarrow by=-ax+c\]

\[\Leftrightarrow y=-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b}\]

Với mỗi giá trị của \[x\] ta nhận được một giá trị tương ứng của \[y\].

Do đó phương trình \[[2]\] có vô số nghiệm.

Nghiệm tổng quát của phương trình \[[2]\] là:

\[\left\{\begin{array}{ll} x \in \mathbb{R}\\ y=-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b}\end{array} \right. \]

Tập nghiệm của phương trình \[[2]\] được biểu diễn bởi đường thẳng \[y=-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b}\].

+] TH2: \[a=0\] và \[b \neq 0\].

Chia cả hai vế của \[[2]\] cho \[b\], ta được:

     \[ax+by=c\]

\[\Leftrightarrow by=c\]

\[\Leftrightarrow y=\dfrac{c}{b}\]

Nghiệm tổng quát của phương trình \[[2]\] là:

\[\left\{\begin{array}{ll} x \in \mathbb{R}\\ y=\dfrac{c}{b} \end{array} \right. \]

Tập nghiệm của phương trình \[[2]\] được biểu diễn bởi đường thẳng \[y=\dfrac{c}{b}\] song song [hoặc trùng] với trục hoành.

+] TH3: \[a \neq 0\] và \[b=0\].

Chia cả hai vế cho \[a\], ta được:

     \[ax+by=c\]

\[\Leftrightarrow ax=c\]

\[\Leftrightarrow x=\dfrac{c}{a}\]

Nghiệm tổng quát của phương trình \[[2]\] là:

\[\left\{\begin{array}{ll} x=\dfrac{c}{a} \\ y \in \mathbb{R} \end{array} \right. \]

Tập nghiệm của phương trình \[[2]\] được biểu diễn bởi đường thẳng \[x=\dfrac{c}{a}\] song song [hoặc trùng] với trục tung.

Khoảng cách từ đường thẳng đến gốc tọa độ [edit]

Xét đường thẳng \[[d]:\ ax+by=c\] giao với hai trục tọa độ tại điểm \[A\] và \[B\] như hình vẽ:

Ta có \[A\left[0; \dfrac{c}{b} \right]\] và \[B \left[\dfrac{c}{a}; 0 \right]\] \[\Rightarrow OA=\left| \dfrac{c}{b} \right|\] và \[OB=\left| \dfrac{c}{a} \right| \].

Kẻ đường cao \[OH \bot AC\] với \[H \in AC\].

Khi đó, hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông \[\Delta OAB\] là:

     \[\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OA^2} +\dfrac{1}{OB^2}\]

\[\Leftrightarrow \dfrac{1}{OH^2}= \dfrac{b^2}{c^2} + \dfrac{a^2}{c^2}\]

\[\Leftrightarrow \dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{a^2+b^2}{c^2}\]

\[\Leftrightarrow OH=\dfrac{\sqrt{c^2}}{\sqrt{a^2+b^2}} \]

\[\Leftrightarrow OH=\dfrac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}. \]

Vậy khoảng cách từ đường thẳng \[ax+by=c\] đến gốc tọa độ là: \[\dfrac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\ \square\]

Tổng quát:

Khoảng cách từ đường thẳng \[ax+by=c\] đến gốc tọa độ \[O[0;0]\] được tính bởi công thức: \[\dfrac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]

Page 2

Page 3

Đường hướng và cách tiếp cận xây dựng khoá học

Khoá học được xây dựng dựa trên năng lực đầu ra của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo dành cho học sinh hết lớp 9. Mục tiêu của mỗi bài học được xây dựng bám theo thang tư duy mới của Bloom đi từ thấp lên cao, hướng tới khả năng vận dụng kiến thức và kỹ năng của học sinh. Các bài học về thành tố ngôn ngữ như Từ vựng, Phát âm, Ngữ pháp được xây dựng theo hướng tiếp cận lồng ghép, gắn kết với nhau và với chủ đề của bài học, tạo cho học sinh có thêm nhiều cơ hội sử dụng tiếng Anh. Các bài học về kỹ năng được xây dựng nhằm hình thành năng lực chủ đạo theo chương trình sách giáo khoa, đồng thời có mở rộng sang một số năng lực chưa được hướng dẫn kỹ càng trong sách giáo khoa. Các tiểu kỹ năng của năng lực đọc hiểu và viết được hướng dẫn chi tiết, cụ thể, theo từng bước nhỏ, giúp học sinh có khả năng hình thành được năng lực đọc và viết sau khi kết thúc bài học.

Nội dung khoá học

Khoá học bám sát chương trình sách giáo khoa tiếng Anh 9 [chương trình thí điểm của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo] về chủ đề, chủ điểm, kỹ năng, kiến thức. Mỗi bài học được chia thành các nội dung chính: [1] Tóm tắt lý thuyết [Lesson summary]: hướng dẫn về kiến thức ngôn ngữ/ kỹ năng ngôn ngữ dưới dạng hình ảnh hoá hay sơ đồ tư duy để học sinh dễ dàng ghi nhớ kiến thức/ các bước kỹ năng. [2] Video bài giảng [phát âm]: video ngắn giúp học sinh ghi nhớ những kiến thức trọng tâm với sự hướng dẫn của thầy/ cô giáo. [3] Bài tập thực hành [practice task] giúp học sinh thực hành nội dung kiến thức, kỹ năng vừa được học. [4] Quiz: đây là hình thức đánh giá thường xuyên dưới dạng trặc nghiệm khách quan giúp giáo viên người học đánh giá được năng lực vừa được hình thành trong mỗi bài học. [5] Kiểm tra cả bài [unit test]: đây là hình thúc đánh giá tổng kết dưới dạng trắc nghiệm khách quan, và tự luận giúp giáo viên và người học đánh giá được năng lực được hình thành trong cả bài học lớn [unit].

Mục tiêu khoá học

Khoá học tiếng Anh 9 được xây dựng với mục đích hỗ trợ học sinh theo học chương trình tiếng Anh 6 mới của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo một cách cách dễ dàng và hiệu quả hơn. Kết thúc mỗi bài học trong khoá học, học sinh có khả năng vận dụng được những kiến thức và kỹ năng học được trong chương trình sách giáo khoa mới vào những bối cảnh thực hành tiếng Anh tương tự.

Đối tượng của khóa học

Khóa học được thiết kế dành cho các em học sinh lớp 9, tuy nhiên các em học sinh lớp trên vẫn có thể học để ôn lại kiến thức, hoặc sử dụng để tra cứu các kiến thức đã quên.

• Người quản lý: Nguyễn Huy Hoàng
• Người quản lý: Phạm Xuân Thế