Nội dung bài được KHODETHI.ORG Kiến thức Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác xin tổng hợp lại bạn đọc về Giải phương trình lượng giác bằng cách đặt ẩn phụ, dữ liệu được tham khảo từ nhiều nguồn, Nếu bạn thấy hay hoặc cần thông tin gì vui lòng để lại comment bình luận
Bài viết hướng dẫn giảiphương trình lượng giác bằng cách đặt ẩn phụ thông qua các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.
Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình lượng giác: Để giải một phương trình lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ, ta sử dụng $2$ kỹ thuật đặt ẩn phụ thường gặp sau:
+Chọn góc để đặt ẩn phụ, đưa phương trình lượng giác đã cho về một phương trình lượng giác đơn giản hơn [phương trình lượng giác cơ bản, phương trình lượng giác thường gặp, ].
+Chọn biểu thức lượng giác để đặt ẩn phụ,đưa phương trình lượng giác đã cho về phương trình [hoặc hệ phương trình] đại số.
1. Chọn góc để đặt ẩn phụ
Ví dụ 1. Giải các phương trình lượng giác sau:
a.$sin left[ frac{{3pi }{10} fracx2} right]$$ = frac12sin left[ frac{pi {10} + frac{3x}2} right].$
b.$cos x 2sin left[ frac{{3pi }2 fracx2} right] = 3.$
c.$sin left[ 3x frac{pi 4} right]$$ = sin 2x.sin left[ x + frac{pi 4} right].$
d.$sin left[ frac{{5x}2 fracpi 4} right] cos left[ frac{x2 fracpi 4} right]$$ = sqrt 2 cos frac{3x}2.$
a.Nhận xét: Nhìn vào phương trình này ta nghĩ ngay đến việc dùng công thức biến đổi $sin$ của một tổng nhưng đừng vội làm như thế, ta xem mối quan hệ giữa hai cung$left[ frac{{3pi }{10} fracx2} right]$ và$left[ frac{pi {10} + frac{3x}2} right]$có quan hệ với nhau như thế nào?
Thật vậy, nếu ta đặt $t = frac{3pi }{10} fracx2$$ Rightarrow 3t = frac{9pi }{10} frac{3x}2$$ = pi left[ frac{pi {10} + frac{3x}2} right]$thì khi đó sử dụng công thức góc nhân ba là biến đổi dễ dàng.
Đặt $t = frac{3pi }{10} fracx2$$ Rightarrow fracpi {10} + frac{3x}2 = pi 3t.$
$PT Leftrightarrow sin t = frac12sin left[ pi 3t right]$$ Leftrightarrow sin t = frac12sin 3t$
$ Leftrightarrow sin t = frac12left[ 3sin t 4{{sin ^3}t} right]$$ Leftrightarrow sin tleft[ 1 4{{sin ^2}t} right] = 0$
$ Leftrightarrow left[ beginarrayl
sin t = 0\
sin t = frac12\
sin t = frac12
endarray right.$$ Leftrightarrow left[ beginarrayl
t = kpi \
t = fracpi 6 + k2pi \
t = frac{5pi }6 + k2pi \
t = frac{ pi }6 + k2pi \
t = frac{7pi }6 + k2pi
endarray right.$$left[ k in Z right].$
Thay $x = frac{3pi }5 2t$, suy ra phương trình đã cho có nghiệm:$x = frac{3pi }5 k2pi $,$x = frac{4pi }{15} k4pi $,$x = frac{ 16pi }{15} k4pi $,$x = frac{14pi }{15} k4pi $,$x = frac{ 26pi }{15} k4pi $$left[ k in Z right].$
b.Đặt$t = frac{3pi }2 fracx2$$ Rightarrow x = 3pi 2t.$
$PT Leftrightarrow cos left[ 3pi 2t right]$$ 2sin t = 3$$ Leftrightarrow cos 2t 2sin t = 3$
$ Leftrightarrow 2sin ^2t 1 2sin t = 3$$ Leftrightarrow sin ^2t sin t 2 = 0$
$ Leftrightarrow left[ beginarrayl
sin t = 1\
sin t = 2 [loại]
endarray right.$$ Leftrightarrow t = frac{ pi }2 + k2pi $$left[ k in Z right].$
Thay $x = 3pi 2t$,suy ra phương trình đã cho có nghiệm:$x = 4pi + k4pi $$left[ k in Z right]$,hay có thể viết gọn $x = l4pi $ $left[ l in Z right].$
c. Đặt$t = x + fracpi 4$$ Rightarrow x = t fracpi 4$$ Rightarrow 3x fracpi 4 = 3t pi .$
$PT Leftrightarrow sin left[ 3t pi right]$$ = sin left[ 2t frac{pi 2} right].sin t$$ Leftrightarrow sin 3t = cos 2t.sin t$
$ Leftrightarrow sin 3t = frac12sin 3t + frac12sin left[ t right]$$ Leftrightarrow sin 3t = sin left[ t right]$
$ Leftrightarrow left[ beginarrayl
3t = t + k2pi \
3t = pi + t + k2pi
endarray right.$$ Leftrightarrow left[ beginarrayl
t = kfracpi 2\
t = fracpi 2 + kpi
endarray right.$$ Leftrightarrow t = kfracpi 2left[ k in Z right].$
Thay$x = t fracpi 4$,suy ra phương trình đã cho có nghiệm:$x = frac{ pi }4 + kfracpi 2$$left[ k in Z right].$
d.Đặt$t = fracx2 fracpi 4$$ Rightarrow x = 2t + fracpi 2$$ Rightarrow frac{3x}2 = 3t + frac{3pi }4$,$frac{5x}2 fracpi 4 = 5t + pi .$
$PT Leftrightarrow sin left[ 5t + pi right] cos t$$ = sqrt 2 cos left[ 3t + frac{{3pi }4} right]$$ Leftrightarrow sin 5t + cos t$$ = cos 3t + sin 3t$
$ Leftrightarrow sin 5t sin 3t$$ = cos 3t cos t$$ Leftrightarrow 2cos 4tsin t$$ = 2sin 2tsin t$
$ Leftrightarrow cos 4tsin t + sin 2tsin t = 0$$ Leftrightarrow sin tleft[ cos 4t + sin 2t right] = 0$
$ Leftrightarrow left[ beginarrayl
sin t = 0\
cos 4t + sin 2t = 0
endarray right.$$ Leftrightarrow left[ beginarrayl
sin t = 0\
sin left[ frac{pi 2 4t} right] sin left[ 2t right] = 0
endarray right.$
$ Leftrightarrow left[ beginarrayl
sin t = 0\
sin left[ frac{pi 2 4t} right] = sin left[ 2t right]
endarray right.$$ Leftrightarrow left[ beginarrayl
t = kpi \
t = fracpi 4 kpi \
t = frac{ pi }{12} kfracpi 3
endarray right.$$left[ k in Z right].$
Thay$x = 2t + fracpi 2$,suy ra phương trình đã cho có nghiệm:$left[ beginarrayl
x = fracpi 2 + k2pi \
x = pi k2pi \
x = fracpi 3 kfrac{2pi }3
endarray right.$$left[ k in Z right].$
Ví dụ 2. Giải các phương trình lượng giác sau:
a.$8cos ^3left[ x + frac{pi 3} right] = cos 3x.$
b.$tan ^3left[ x frac{pi 4} right] = tan x 1.$
a.Đặt$t = x + fracpi 3$$ Rightarrow x = t fracpi 3$$ Rightarrow 3x = 3t pi .$
$PT Leftrightarrow 8cos ^3t = cos left[ 3t pi right]$$ Leftrightarrow 8cos ^3t = cos 3t$
$ Leftrightarrow 8cos ^3t = 3cos t 4cos ^3t$$ Leftrightarrow cos tleft[ 12{{cos ^2}t 3} right] = 0$
$ Leftrightarrow left[ beginarrayl
cos t = 0\
cos t = frac12\
cos t = frac{ 1}2
endarray right.$$ Leftrightarrow left[ beginarrayl
t = fracpi 2 + kpi \
t = fracpi 3 + k2pi \
t = frac{ pi }3 + k2pi \
t = frac{2pi }3 + k2pi \
t = frac{ 2pi }3 + k2pi
endarray right.$$ Leftrightarrow left[ beginarrayl
t = fracpi 2 + kpi \
t = fracpi 3 + kpi \
t = frac{2pi }3 + kpi
endarray right.$$[kZ].$
Thay$x = t fracpi 3$,suy ra phương trình đã cho có nghiệm:$left[ beginarrayl
x = fracpi 6 + kpi \
x = kpi \
x = fracpi 3 + kpi
endarray right.$ $[kZ].$
b.Điều kiện:$left begin{arrayl
cos left[ x frac{pi 4} right] ne 0\
cos x ne 0
endarray right.$$ Leftrightarrow left begin{arrayl
x ne frac{3pi }4 + kpi \
x ne fracpi 2 + kpi
endarray right.$$left[ k in Z right].$
Đặt $t = x fracpi 4$$ Rightarrow x = t + fracpi 4.$
$PT Leftrightarrow tan ^3t$$ = tan left[ t + frac{pi 4} right] 1$$ Leftrightarrow tan ^3t = frac{tan t + 1}{1 tan t} 1$
$ Leftrightarrow tan ^3t = frac{2tan t}{1 tan t}$$ Leftrightarrow tan ^3tleft[ 1 tan t right] 2tan t = 0$
$ Leftrightarrow tan tleft[ {{tan ^2}t {tan ^3}t 2} right] = 0$$ Leftrightarrow left[ beginarrayl
tan t = 0\
tan t = 1
endarray right.$
$ Leftrightarrow left[ beginarrayl
t = kpi \
t = frac{ pi }4 + kpi
endarray right.$$left[ k in Z right].$
Thay $x = t + fracpi 4$,suy ra phương trình đã cho có nghiệm$left[ beginarrayl
x = kpi \
x = fracpi 4 + kpi
endarray right.$$left[ k in Z right].$
[adsbygoogle = window.adsbygoogle || []].push[];
2. Chọn biểu thức lượng giác để đặt ẩn phụ
Ví dụ 3.Giải các phương trình lượng giác sau:
a.$3sin x + 4cos x$$ + frac6{3sin x + 4cos x + 1} = 6.$
b.$sin x + sqrt 3 cos x$$ + sqrt sin x + sqrt 3 cos x = 2.$
c.$cos ^2x + frac1{{{cos ^2}x}}$$ = cos x + frac1{cos x}.$
d.$2cos ^22x + cos 2x$$ = 4sin ^22xcos ^2x.$
e.$1 + 3tan x = 2sin 2x.$
a.Nhận xét: Nhận thấy biểu thức $3sin x+4cos x$ xuất hiện $2$ lần, ta đặt $t=3sin x+4cos x+1$ vừa giúp chuyển phương trình đã cho về phương trình ẩn $t$, vừa làm gọn mẫu số.
Điều kiện: $3sin x+4cos x+1ne 0.$
Đặt $t=3sin x+4cos x+1$ $left[ tne 0 right].$
$PT Leftrightarrow t 1 + frac6t = 6$$ Leftrightarrow t^2 7t + 6 = 0$$ Leftrightarrow left[ beginarrayl
t = 1\
t = 6
endarray right.$
+Với$t = 1$, ta có:$3sin x + 4cos x = 0$$ Leftrightarrow frac35sin x + frac45cos x = 0.$
Gọi $alpha $là giá trị thỏa mãn:$left begin{arrayl
cos alpha = frac35\
sin alpha = frac45
endarray right.$
$frac35sin x + frac45cos x = 0$$ Leftrightarrow cos alpha .sin x + sin alpha .cos x = 0$
$ Leftrightarrow sin left[ x + alpha right] = 0$$ Leftrightarrow x = alpha + kpi $$left[ k in Z right].$
+Với$t = 6$, ta có:$3sin x + 4cos x = 5$$ Leftrightarrow frac35sin x + frac45cos x = 1$
$ Leftrightarrow cos alpha .sin x + sin alpha .cos x = 1$$ Leftrightarrow sin left[ x + alpha right] = 1$$ Leftrightarrow x = fracpi 2 alpha + k2pi $$left[ k in Z right].$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm:$left[ beginarrayl
x = alpha + kpi \
x = fracpi 2 alpha + k2pi
endarray right.$$left[ k in Z right].$
b. Điều kiện:$sin x + sqrt 3 cos x ge 0.$
Đặt $t = sqrt sin x + sqrt 3 cos x $$left[ t ge 0 right].$
$PT Leftrightarrow t^2 + t = 2$$ Leftrightarrow left[ beginarrayl
t = 1\
t = 2 left[ loại right]
endarray right.$
Với $t = 1$, ta có:$sin x + sqrt 3 cos x = 1$$ Leftrightarrow frac12sin x + frac{sqrt 3 }2cos x = frac12$
$ Leftrightarrow sin left[ x + frac{pi 3} right] = frac12$$ Leftrightarrow left[ beginarrayl
x = frac{ pi }6 + k2pi \
x = fracpi 2 + k2pi
endarray right.$$left[ k in Z right].$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm:$left[ beginarrayl
x = frac{ pi }6 + k2pi \
x = fracpi 2 + k2pi
endarray right.$$left[ k in Z right].$
c.Điều kiện:$cos x ne 0$$ Leftrightarrow x ne fracpi 2 + kpi $$left[ k in Z right].$
Đặt $t = cos x + frac1{cos x}$$ Rightarrow t^2 = cos ^2x + frac1{{{cos ^2}x}} + 2.$
$PT Leftrightarrow t^2 2 = t$$ Leftrightarrow left[ beginarrayl
t = 1\
t = 2
endarray right.$
+ Với$t = 1$, ta có:$cos x + frac1{cos x} = 1$$ Leftrightarrow cos ^2x + cos x + 1 = 0$$[PTVN].$
+ Với$t = 2$, ta có:$cos x + frac1{cos x} = 2$$ Leftrightarrow cos ^2x 2cos x + 1 = 0$$ Leftrightarrow cos x = 1$$ Leftrightarrow x = k2pi $$left[ k in Z right].$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm:$ Leftrightarrow x = k2pi $$left[ k in Z right].$
d.$PT Leftrightarrow 2cos ^22x + cos 2x$$ = 2left[ 1 {{cos ^2}2x} right]left[ 1 + cos 2x right].$
Đặt $t = cos 2x$,$left| t right| le 1.$
$PT Leftrightarrow 2t^2 + t$$ = 2left[ 1 {t^2} right]left[ 1 + t right]$$ Leftrightarrow 2t^3 + 4t^2 t 2 = 0$
$ Leftrightarrow left[ beginarrayl
t = 2 left[ loại right]\
t = frac{sqrt 2 }2\
t = frac{ sqrt 2 }2
endarray right.$
Thay $t = cos 2x$,suy ra phương trình đã cho có nghiệm:$left[ beginarrayl
x = fracpi 8 + kpi \
x = frac{ pi }8 + kpi \
x = frac{3pi }8 + kpi \
x = frac{ 3pi }8 + kpi
endarray right.$$left[ k in Z right].$
e.Điều kiện:$cos x ne 0.$
Đặt$t = tan x$$ Rightarrow sin 2x = frac{2t}{1 + {t^2}}.$
$PT Leftrightarrow 1 + 3t = frac{4t}{1 + {t^2}}$$ Leftrightarrow left[ 1 + 3t right]left[ 1 + {t^2} right] = 4t$
$ Leftrightarrow 3t^3 + t^2 t + 1 = 0$$ Leftrightarrow t = 1.$
Thay $t = tan x$,suy ra phương trình đã cho có nghiệm$x = frac{ pi }4 + kpi $$left[ k in Z right].$
Lưu ý:Một số phương trình lượng giác được giải bằng cách đặt ẩn phụ không hoàn toàn, tức là sau khi đặt ẩn phụ, ẩn cũ và ẩn mới cùng tồn tại trong phương trình [biểu thức chứa ẩn cũ còn lại ấy được xem là tham số của phương trình]. Ta xét một số ví dụ sau đây:
Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác sau:$[sin x + 3]sin ^4fracx2$$ [sin x + 3]sin ^2fracx2 + 1 = 0.$
Đặt $sin ^2fracx2 = t$$[0 le t le 1]$, phương trình đã cho trở thành:$left[ sin x + 3 right]t^2$$ [sin x + 3]t + 1 = 0$$[*].$
Do$sin x + 3 > 0$ với mọi $xR$ nên ta xem phương trình $[*]$là phương trình bậc hai ẩn $t.$
Ta có:$Delta = [sin + 3]^2 4[sin x + 3]$$ = [sin x 1][sin x + 3].$
Vì$left begin{arrayl
sin x 1 le 0\
sin x + 3 > 0
endarray right.$ nên $Δ0, xR.$
Do đó phương trình$left[ * right] Leftrightarrow left begin{arrayl
Delta = 0\
t = fracb{2a}
endarray right.$$ Leftrightarrow left begin{arrayl
sin x = 1\
sin ^2fracx2 = frac12
endarray right.$$ Leftrightarrow left begin{arrayl
sin x = 1\
frac{1 cos 2x}2 = frac12
endarray right.$$ Leftrightarrow left begin{arrayl
sin x = 1\
cos x = 0
endarray right.$$ Leftrightarrow x = fracpi 2 + k2pi $ $[kZ].$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = fracpi 2 + k2pi $$[kZ].$
Ví dụ 5. Giải phương trình lượng giác sau:$frac9{{{81^{{sin ^2}x}}}}$$ + 2[cos 2x 2]frac3{{9^{{{sin ^2}x}}}}$$ + 4cos ^2x 3 = 0.$
Đặt$t = frac3{{9^{{{sin ^2}x}}}}$,$left[ t > 0 right].$
Ta có:$t = frac3{{9^{{{sin ^2}x}}}}$$ = 3^{1 2{{sin ^2}x}} = 3^{cos 2x}.$
Phương trình đã cho trở thành:$t^2 + 2[cos 2x 2]t$$ + 4cos ^2x 3 = 0$$ Leftrightarrow t^2 + 2[cos 2x 2]t$$ + 2cos 2x 5 = 0$
$ Leftrightarrow left[ beginarrayl
t = 1left[ loại right]\
t = 5 2cos 2x
endarray right.$
Với $t = 5 2cos 2x$, ta có:$3^{cos 2x} = 5 2cos 2x$$ Leftrightarrow 3^{cos 2x} + 2cos 2x = 5$ $[*].$
Đặt $y = cos 2x$,$left| y right| le 1$ thìphương trình $[*]$ trở thành:$3^y + 2y = 5.$
Vì hàm số$f[y] = 3^y + 2y$ luôn đồng biến trên $R$ nên phương trình $f[y]=5$ có nghiệm duy nhất. Mặc khác$f[1] = 5$, suy ra $y=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình $f[y]=5.$
Với $y=1$, suy ra phương trình đã cho có nghiệm$x = kpi $ $[kZ].$