Bài 11 trang 114 sgk Hình học 11: Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi tâm I cạnh a…
Bài 11. Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là một hình thoi tâm \[I\] cạnh \[a\] và có góc \[A\] bằng \[60^{0},\] cạnh \[SC=\frac{a\sqrt{6}}{2}\] và \[SC\] vuông góc với mặt phẳng \[[ABCD]\].
a] Chứng minh mặt phẳng \[[SBD]\] vuông góc với mặt phẳng \[[SAC]\].
b] Trong tam giác \[SCA\] kẻ \[IK\] vuông góc với mặt phẳng \[[SAC]\]. Hãy tính độ dài \[IK\]
c] Chứng minh \[\widehat{BKD}=90^{0}\] và từ đó suy ra mặt phẳng \[[SAB]\] vuông góc với mặt phẳng \[[SAD]\].
[H.3.50]
a] \[SC\] vuông góc với mặt phẳng \[[ABCD]\] suy ra \[SC\bot BD\] [1]
\[ABCD\] là hình thoi nên \[AC\bot BD\] [2]
Quảng cáoTừ [1] và [2] suy ra \[BD ⊥ [SAC]\]
\[BD\subset [SBD]\Rightarrow [SBD] ⊥ [SAC]\].
b] Xét tam giác vuông \[ABI\] có: \[AI=AB.\cos 30^0={{a\sqrt 3 } \over 2}\Rightarrow AC = 2AI = a\sqrt 3 \]
Xét tam giác vuông \[SAC\] có: \[SA=\sqrt {A{C^2} + S{C^2}} = \sqrt {3{a^2} + {{6{a^2}} \over 4}} =\frac{3a}{\sqrt{2}}.\]
Hai tam giác vuông \[SCA\] và \[IKA\] đồng dạng [g.g] nên \[\frac{IK}{SC}=\frac{AI}{AS}\Rightarrow IK=\frac{AI.SC}{AS}=\frac{a}{2}.\]
c] \[IK = IB = ID = \frac{a}{2}\] nên tam giác \[BKD\] vuông tại \[K\]. Vậy \[\widehat{BKD}=90^{0}.\]
\[SA\] cùng vuông góc với \[BD\] và \[IK\] nên \[SA ⊥ [DKB]\]; \[DK\] và \[BK\] cùng vuông góc với \[SA\]. Vậy góc \[\widehat {BKD}\] là góc giữa \[[SAD]\] và \[[SAB]\] và \[\widehat{BKD}=90^{0}\] \[\Rightarrow [SAD] ⊥ [SAB]\].
Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc
Bài 11 trang 114 SGK Hình học 11
Lời giải
Hướng dẫn
a] Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
b] Chứng minh tam giácSCAvàIKAđồng dạng, từ đó suy ra tỉ số các cạnh và tínhIK.
c] Chứng minh tam giácBKDcó đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy.
Xác định góc giữa hai mặt phẳng[SAB]và[SAD]và chứng minh góc đó bằng900.
Xem toàn bộ Giải Toán 11: Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc
a] Mặt phẳng [AB'C'D] vuông góc với mặt phẳng [BCD'A'];
b] Đường thẳng AC' vuông góc với mặt phẳng [A'BD].
Vì \[ABCD.A'B'C'D'\] là hình lập phương nên \[BC\bot [ABB'A']\]
Suy ra: \[ BC\bot AB' \]
\[ABB’A’\] là hình vuông nên \[AB’\bot A’B\]Ta có:
\[\left\{ \begin{align} & AB'\bot A'B \\ & AB'\bot BC \\ \end{align} \right.\Rightarrow AB'\bot \left[ A'BCD' \right] \]
Mà \[AB'\subset \left[ AB'C'D \right] \]
\[\Rightarrow \left[ AB'C'D \right]\bot \left[ A'BCD' \right]\]
b] Ta có:\[ \left\{ \begin{align} & A'B\bot AB' \\ & A'B\bot B'C' \\ \end{align} \right.\Rightarrow A'B\bot \left[ AB'C'D \right] \]
Mà \[AC'\subset \left[ AB'C'D \right] \]
\[\Rightarrow A'B\bot AC'\]
Ta chứng minh được \[\left\{ \begin{align} & BD\bot AC \\ & BD\bot AA' \\ \end{align} \right.\Rightarrow BD\bot \left[ ACC'A' \right] \]
Mà \[AC'\subset \left[ ACC'A' \right] \]
\[\Rightarrow BD\bot AC' \]
Do đó, \[AC'\bot \left[ A'BD \right] \]
Ghi nhớ:
- Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, ta chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng
- Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta chứng minh một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.