ÔN TẬP CUỐI NĂM
- Cho hàm số fix] = ax2 - 2[a + l]x + a + 2 [a * 0]. Chứng tỏ rằng phương trình Rx] = 0 luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó. Tính tổng s và tích p của các nghiệm của phương trình Kx] = 0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của s và p theo a. tfiải Vì a + [-2a - 2] + a + 2 = 0 nên phương trình fix] = 0 luôn có hai nghiệm thực Xi = 1; x2 = a + 2 a a a 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của s = 2 + —; a Tập xác định: R \ [01 2 S' = - —5- < 0, Vạ # 0 nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng [-00; 0] a và [0; +00] a —00 0 +CO S' — — s 2 - +c0'
- —00 ~ — 2 Tiệm cận đứng a = 0; tiệm cận ngang s = Giao của [Cj]: s = 2 + — với Oa: s = 0 => a 2 Đồ thị [Cl]: s = 2 + — là đường nét liền a Tịnh tiến đồ thị [Ci] song song với trục tung xuôìig dưới 1 đơn vị ta được đồ thị
- Cho hàm sô' y = - i X3 + [a - l]x2 + [a + 3]x - 4 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm sô' khi a = 0. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi [C] và các đường thẳng y = 0, X = -1, X = 1. [C2]: p = 1 + — [nét đứt], a Diện tích hình phẳng cần tìm là: s = J”~x3 - X2 + 3x - 4 dx = j[ỉx3 + X2 - 3x + 4^j dx 1 4 1 3 oxz . -77-X + ~x ‘ - 3™- + 4x 12 3 2 = [đvdt] 3
- Cho hàm sô’ y = X3 + ax2 + bx + 1 Tìm a và b đề đồ thị của hàm sô’ đi qua hai điểm A[l; 2] và B[-2; -1]. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm sô’ ứng với các giá trị tìm được của a và b. Tính thế’ tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phắng giới hạn bởi các đường y = 0, X = 0, x = 1 và đồ thị [C] xung quanh trục hoành. Ốịiải Để đồ thị của hàm sô' đi qua hai điểm A[l; 2] và B[-2; -1], ta phải có [2 = l + a + b + l ia + b = o |a = 1 ị-1 = -8 + 4a - 2b + 1 ° [2a - b = 3 “° |b = -1 A ■> ■> - 1 4 •} t* Xét. chuyến động thẳng xầc định bới phương trình: s[t] = Ị t4 - t3 + - 3t, trong đó t được tính bằng giây và s được tính bằng mét. . Tính v[2], a[2], biết v[t], a[t] lần lượt là vận tốc, gia tốc của chuyền động đã cho. Tim thời điểm t mà tại đó vận tốc bằng 0. ốjiải Ta có vận tô'c: v[t] = s'[t] = t3 - 3t2 + t - 3, với t = 2 thì v[2] = -5 [m/s] Gia tô’c: a[t] = v'[t] = 3t2 - 6t + 1, với t = 2 thì a[2] = 1 [m/s2] v[t] = 0 t3 - 3t2 + t - 3 = 0 «• [t2 + l][t -3] = 0«t = 3 [s]. Cho hàm số y = X4 + ax2 + b
- Tính a, b đế hàm số có cực trị bằng khi X = 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] cúa hàm số đã cho khi a = -ì, b = 1. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] tại các điểm có tung độ bằng 1. Ốịiải
- Ta có y' = 4x3 + 2ax Hàm sô' có cực trị bằng khi X = 1 2 y'[l] = 0 4 + 2a = 0 3 ly X = ±- 72 Ta có ba tiếp điểm A[0; 1], B[-^=; 1], C[—7=; 1] X + m - 1 Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số khi m = 2. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị [C] tại điếm M có hoành độ a * -1. Tính khoảng cách từ điếm K-l; 1] đến tiếp tuyến d. Xác định a để khoảng cách đó là lớn nhâ’t. Ốjiải
- Khi m = 2 ta có y =
x-2 x + 1
TXĐ: D = R \ {-1} 3
y =
0, Vx -1 [x +1]2 Tiệm cận đứng: X = -1; tiệm cận ngang: y = 1 X —oc —1 +00 y'
y
+CC 1 Giao điểm với trục Ox tại [2; 0]; Giao điểm với trục Oy tại [0; -2].- Với X = a => y = [a -1] và f[a]= 3 [a +1]2 Phương trình tiếp tuyến d có dạng 3 a-2 y = 7' /-n2 [x - a] + 7—7 [a +1] a +1 [a + l]2y = 3[x-a] + [a - 2][a + 1] 3x - [a + l]2y + á2 - 4a - 2 = 0 Khoảng cách từ K-l; 1] đến d là H = -- + \ + = Tẽ [áp dụng: A + B > 2a/ÃB] 79 + [a + l]4 76[a + l]2 => maxh = Tẽ khi và chỉ khi [a + l]4 = 9 a = —1 ± 73 . 2
- Cho hàm sô’ y = —í— . 2-x Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm sô’ đã cho. Tìm các giao điểm cùa [C] và đồ thị cúa hàm số y = X2 + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] tại mỗi giao điểm. Tinh thể tích vật thế’ tròn xoay thu được khi quay hình phăng H giới hạn bởi đồ thị [C] và các đường thẳng y = 0, x = 0, X = 1 xung quanh trục Ox.
- Tập xác định: D = K \ ]2| y = [2 - X]2 > °’ Vx 2 X -co 2 +CO y'
- y 'S' +CO —cc Tiệm cận đứng X = 2, tiệm cận ngang y - 0 Bảng biến thiên Hoành độ giao điểm của [C] với của phương trình: đồ thị hàm số y = X2 + 1 là nghiệm — - = X2 + 1 2 = [x2 + 1][2 - x] với X 2 2 - X x[-x2 + 2x - 1] = 0 Ta có f' [x] = 2 [2 - x]2 x=o=>y=lvà f’[0] = phương trình tiếp tuyến có dạng y = -- X + 1; • X = 1 => y = 2 và f' [1] = 2 => phương trình tiếp tuyến có dạng y = 2[x - 1] + 2 hay y = 2x Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là: = đx = 4xf- dx 1 = 4ít- ,[2-x]2 2-x
- Tìm giá trị lớn nhát, giá trị nhó nhát cũa các hàm sô”: fix] = 2x3 - 3xy - 12x + 1 trên đọạn [-2; -ị L 2J fix] = x21rx trên đoạn [1; e] 4il| 1 - I = 2x [đvdt]. fix] = xe ' trẽn nứa khoảng [0; +x] fix] - 2sinx + sin2x trên đoạn . D = [-2; I ]. HSLT trên -2; f [x] = 6x2 - 6x - 12; f [x] = 0 o X = -1 6 D X = 2.e D 5 33 Ta có f[-l] = 8, f[2] = -19, f 0 Vx e [1; e] Do đó: mạxf[x] = f[e] = e2, minf[x] = f[l] = 0 x?ì] xliĩ D = [0; +oo] f '[x] = e“x - xe~x = e’[ 1 - x] f'[x] = 0 x = 1 ; lim f[x] = 0, f[0] = 0, f[l] = — x-»+co e X 0 1 +» v'
- 0 - y ■ ẽ 0 Bảng biến thiên: mạxf[x] = f[l] = —; minffx] = fio] = 0 xel] p xi] f [x] = 2cosx + 2cos2x = 2[cosx + 2cos2x - 1]; cosx = -1 f[x] - 0 2cos2x + cosx - 1 = 0 1 cosx = -7 L 2 Ta có f[0] = fU] = 0, fM = 3^3 , ffặ-ì = -? Jtan[j-4x]dx [đặt u = COS - 4x}] c] J sin3 xcos’xdx [đạt u = cosx] f -—d [đặt X = Ệ tant] ■L 9 + 25x2 5 X
- f — + t an* dx [đặt u = ựl + tanx ]. \ COS X Ốịiải du Đổi cận: X 0 7Ĩ 24 1 73 u 2 2
- Đặt u = COS -4x => du = 4sinP-4x dx => sin 7-4x dx = X3 nên thể tích vật thể tròn xoay là: V = 71 J [[2x2]2 - [x3]2]dx = 71 J [4x4 - x6]dx 0 0 lõ 7 25671 35 Giãi các phương trình sau trên tập sô' phức:
- [3 + 2i]z - [4 +-7Ĩ] = 2 - 5i; z2 - 2z + 13 = 0;
- [7 - 3i]z + [2 + 3i] = [5 - 4i]z; z4 - z2 - 6 = 0. Ốjiảí
- [3 + 2i]z - [4 + 7i] = 2 - 5i [2 - 5i] + [4 + 7i] z = 3 + 2i z - 6 + 2i 3 + 2i z - 22 6 13 13 [7 - 3i]z + [2 + 3i] = [5 - 4i]z [5 - 4i - 7 + 3i]z = 2 + 3i z - - 2 + 3i 7 4 2 + i Phương trình đã cho có A' = 1 - 13 = 12i2 nên z = 1 ± 2 73 i Đặt t = z2, ta có phương, trình bậc hai t2 - t - 6 = 0 với hai nghiệm là t = -2, t = 3. Vậy phương trình đã cho có bốn nghiêm là zli2 = ±73 , z3,4 = ±72 i Trên mặt phăng tọa độ, hãy tìm tập hợp điểm biếu diễn sô' phức z thỏa mãn bất đẳng thức:
- |z I