Trung điểm là một khái niệm cực quen thuộc ở đời sống và cả môn toán hình học. Trung điểm liên quan đến nhiều dạng bài toán khác nhau. Bài viết hôm nay Thế Giới Di Động sẽ cung cấp thông tin về trung điểm và các bài toán liên quan nha!
1. Trung điểm là gì?
Trung điểm là điểm nằm chính giữa đoạn thẳng và chia đoạn thẳng ra làm hai đoạn có độ dài bằng nhau.
Bạn đang xem: Trung điểm là gì
Ví dụ ta có đoạn thẳng AB, điểm C nằm trên AB và AC = CB. Vậy C chính là trung điểm của đoạn AB.
2. Tính chất trung điểm của đoạn thẳng
Chia đoạn thẳng ra làm hai đoạn thẳng bằng nhau.
Ví dụ: M là trung điểm của đoạn thẳng OP. Vậy MO = MP.
Tính chất trung điểm đoạn thẳng
✅✅✅ KHÁM PHÁ: Cách Khác Phục Lỗi Font Cho Famis
3. Cách vẽ trung điểm của đoạn thẳng
Trên một đoạn thẳng ta lấy một điểm sao cho điểm đó chia đoạn thẳng ra thành hai đoạn bằng nhau. Vậy điểm đó chính là trung điểm của đoạn thẳng.
Ví dụ: Trên đoạn thẳng BD lấy điểm H sao cho BH = [1/2] BD. Vậy H là trung điểm của BD.
Cách vẽ trung điểm đoạn thẳng
✅✅✅ KHÁM PHÁ: Zorpia là gì
4. Cách chứng minh trung điểm
Cách chứng minh trung điểm theo định nghĩa
– Cách chứng minh: Để chứng minh điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì ta cần chứng minh cùng lúc ấy M nằm giữa A, B và MA + MB.
– Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB = 8cm có M là trung điểm AB. Trên AB lấy hai điểm C,D sao cho [AC=BD=3cm. Chứng minh M là trung điểm CD.
Ví dụ bài tập trung điểm theo định nghĩa
Cách chứng minh dựa vào các tính chất của tam giác
– Cách chứng minh: Để thực hiện bài toán chứng minh trung điểm dựa trên các tính chất của tam giác trước hết ta phải hiểu tính chất của tam giác.
Cho tam giác ABC với M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Khi đó:
– AM, BN, CP lần lượt được gọi là các đường trung tuyến của cạnh BC, CA, AB .
– 3 đường trung tuyến đồng quy tại điểm G được gọi là trọng tâm của tam giác ABC.
– 3 đoạn thẳng MN,NP,PM được gọi là các đường trung bình của tam giác ABC.
– Tính chất của các đường trên:
+ Trọng tâm tam giác:
Tính chất trọng tâm tam giác
+ Đường trung bình tam giác: Nếu MN là đường trung bình của tam giác ABC thì MN song song và bằng 1/2 cạnh đáy tương ứng.
– Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB > BC. BE là phân giác và BD là trung tuyến. Đường thẳng qua C vuông góc với BE cắt BE, BD, BA lần lượt tại F, G , K. DF cắt BC tại M. Chứng minh rằng M là trung điểm đoạn BC.
Ví dụ bài tập trung điểm liên quan đến hình tam giác
Cách chứng minh dựa vào tính chất tứ giác đặc biệt
Tham khảo thêm: Nhà văn hóa là gì –
– Cách chứng minh: Để chứng minh trung điểm trong tứ giác ta phải nắm được một vài tính chất trung điểm của các tứ giác đặc biệt:
+ Đường trung bình trong hình thang thì song song hai đáy và dài bằng nửa tổng độ dài hai đáy.
+ Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
– Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD với I là giao điểm của AC, BD. Lấy M là điểm bất kì nằm trên CD. MI cắt AB tại N. Chứng minh rằng I là trung điểm của MN.
Ví dụ bài tập trung điểm liên quan đến hình tứ giác
Cách chứng minh dựa vào các tính chất của đường tròn
– Cách chứng minh: Để chứng minh trung điểm ta dựa vào quan hệ tình dục giữa đường kính và dây cung trong đường tròn.
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. MN là một dây cung bất kì của đường tròn. Khi đó, nếu AB cắt MN, AB đi qua trung điểm của MN và ngược lại , nếu AB đi qua trung điểm của MN thì AB cắt MN.
Đề chứng minh trung điểm liên quan đến đường tròn
Ví dụ bài tập trung điểm liên quan đến đường tròn
Cách chứng minh dựa vào tính chất đối xứng trục
– Cách chứng minh: Hai điểm A,B đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của AB. Khi đó AB cắt d và d đi qua trung điểm của AB.
Đối xứng trục
Cách chứng minh dựa vào tính chất đối xứng tâm
– Cách chứng minh: Hai điểm A, B đối xứng với nhau qua điểm O nếu như O là trung điểm của AB.
Đối xứng tâm
✅✅✅ KHÁM PHÁ: Tải Game Facebook
5. Công thức để xác định trung điểm của một đoạn thẳng
Công thức để xác định trung điểm của một đoạn thẳng trên một mặt phẳng Euclid nối điểm [x1, y1] và [x2, y2] là:
Công thức xác định trung điểm của đoạn thẳng
6. Bài tập về trung điểm của một đoạn thẳng
Bài 1: Cho hình dưới đây.
Hình minh họa bài tập 1
a. Đâu là ba điểm thẳng hàng?
b. M là điểm nằm giữa hai điểm nào?
c. N là điểm nằm giữa hai điểm nào?
d. O là điểm nằm giữa hai điểm nào?
Trả lời:
Xem thêm: Rong Biển trong tiếng anh là gì: Định nghĩa, ví dụ
a. Ba điểm thẳng hàng là: [A, M, B], [C, N, D], [M, O, N].
b. M là điểm nằm giữa hai điểm AB.
c. N là điểm nằm giữa hai điểm CD.
d. O là điểm nằm giữa hai điểm MN.
Bài 2: Trả lời đúng hay sai cho mỗi nhận định về hình dưới đây.
Hình minh họa bài tập 2
a. O là trung điểm của đoạn thẳng AB.
b. M là trung điểm của đoạn thẳng CD.
c. H là trung điểm của đoạn thẳng EG.
d. M là điểm nằm giữa của 2 điểm C và D.
e. H là điểm nằm giữa 2 điểm E và G.
Trả lời:
a. Đúng.
b. Sai.
c. Sai.
d. Sai.
e. Đúng.
Bài 3: Kể tên trung điểm của các đoạn thẳng BC, GE, AD, IK trong hình dưới đây.
Hình minh họa bài tập 3
Trả lời:
– Trung điểm của đoạn thẳng BC là điểm I.
– Trung điểm của đoạn thẳng GE là điểm K.
– Trung điểm của đoạn thẳng AD là điểm O.
– Trung điểm của đoạn thẳng IK là điểm O.
7. Một vài lưu ý về dạng toán trung điểm
– Cần nắm kỹ tính chất của các dạng hình học như: Hình tam giác, hình tứ giác, đường tròn,… để khả năng giải bài toán chứng minh trung điểm liên quan đến các dạng hình học này.
Lưu ý khi bấm máy tính tính toán
– Khi giải bài toán cần tính toán, các bạn nên dùng máy tính cầm tay để kiểm tra lại đáp án cùng lúc ấy hãy cận thận bấm máy tính một cái kỹ càng để tránh sai sót.
Xem thêm: Ngân hàng điện tử là gì? Ưu và nhược điểm của Ngân hàng điện tử
I. Các kiến thức cần nhớ
1. Điều kiện xác định một đường thẳng
2. Ba cách đặt tên đường thẳng
a. Dùng hai chữ cái in hoa, ví dụ đường thẳng \[AB\]
b. Dùng một chữ cái in thường, ví dụ đường thẳng \[a\]
c. Dùng hai chữ cái in thường, ví dụ đường thẳng \[xy\]
3. Vị trí của hai đường thẳng
- Chú ý:
+ Hai đường thẳng không trùng nhau còn được gọi là hai đường thẳng phân biệt.
+ Khi có nhiều đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm ta nói chúng đồng quy tại điểm đó.
+ Khi có nhiều đường thẳng nhưng trong đó không có hai đường thẳng nào song song và không có ba đường thẳng nào đồng quy, ta nói các đường thẳng này đôi một cắt nhau hoặc cắt nhau từng đôi một.
II. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Xác định đường thẳng đi qua hai điểm
Phương pháp:
Ta sử dụng các kiến thức
+ Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt
+ Khi ta nói hai đường thẳng mà không nói gì them thì hai đường thẳng đó là hai đường thẳng phân biệt
Dạng 2: Xác định giao điểm của hai đường thẳng
Phương pháp:
Hai đường thẳng chỉ có $1$ điểm chung - điểm chung đó gọi là giao điểm của hai đường thẳng đó
Dạng 3: Đếm số đường thẳng
Phương pháp:
Với \[n\] điểm cho trước \[\left[ {n \in N;n \ge 2} \right]\] trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, thì số đường thẳng vẽ được là \[\dfrac{{n\left[ {n - 1} \right]}}{2}\]