Điều kiện để phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Để Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m trước tiên cùng tìm hiểu phương trình bậc 2 và những kiến thức liên quan trong chương trình toán học trung học cơ sở. Các bạn học sinh và quý thầy cô và phụ huynh cùng tham khảo nhé. 

1. Phương trình bậc 2 là gì?

Phương trình bậc 2 là phương trình có dạng:

ax2+bx+c=0 [a≠0], được gọi là phương trình bậc 2 với ẩn là x.[1]

Nhiệm vụ là phải giải phương trình trên để đi tìm giá trị của x sao cho khi thay x vào phương trình [1] thì thỏa mãn ax2+bx+c=0. 

2. Cách giải phương trình bậc 2

Cách giải phương trình bậc 2 như sau:

Bước 1: Tính Δ=b2-4ac

Bước 2: So sánh Δ với 0

Khi:

Δ phương trình [1] vô nghiệmΔ = 0 => phương trình [1] có nghiệm kép x=-b/2aΔ > 0 => phương trình [1] có 2 nghiệm phân biệt.

Bạn đang xem: Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m lớp 9

Nghiệm của phương trình bậc 2

Cho phương trình bậc 2: ax2+bx+c=0 [a≠0]. Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 và x2, lúc này hệ thức sau được thỏa mãn:

Định lý Viet

Dựa vào hệ thức trên ta có thể tính biểu thức đối xứng x1,x2 thông qua định lý Viet.

x1+x2=-b/ax12+x22=[x1+x2]2-2x1x2=[b2-2ac]/a2 

Định lý Viet đảo giả sử như tồn tại 2 số thực x1, x2 thỏa mãn x1+x2=S, x1x2=P thì x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình x2-Sx+P=0

4. Một số ứng dụng thường gặp của định lý Viet trong giải phương trình bậc 2

4.1. Mẹo nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 nhanh

Ta có cách tính nhanh nghiệm của phương trình bậc 2 ax2+bx+c=0 [a≠0] như sau:

Nếu a+b+c=0 thì nghiệm x1 = 1, x2 = c/aNếu a-b+c=0 thì nghiệm x1 = -1, x2 = -c/a

4.2. Phân tích đa thức thành nhân tử

Cho đa thức P[x]=ax2+bx+c 

Nếu x1 và x2 là nghiệm của phương trình P[x]=0 Thì đa thức P[x]=a[x-x1][x-x2]

4.3. Xác định dấu của các nghiệm

Cho phương trình ax2+bx+c=0 [a≠0], 

Giả sử x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình trên. Theo định lý Viet, ta có:

Nếu SNếu S>0, x1 cùng dấu x2P>0, cả hai nghiệm cùng dương.P

5. Dạng bài tập về phương trình bậc 2 

5.1. Dạng bài tập phương trình bậc 2 một ẩn không xuất hiện tham số

Để giải bài tập dạng này cách phổ biến nhất là dùng công thức Δ hoặc Δ’ sau đó áp dụng điều kiện và công thức như đã nêu ở mục 2. để giải.

Ví dụ: Giải các phương trình x2-3x+2=0 [*]

ta có: Δ=[-3]2-4.2=1 suy ra nghiệm của phương trình là:

Hai nghiệm của phương trình [*]

5.2. Phương trình khuyết hạng tử.

5.2.1. Khuyết hạng tử bậc nhất ax2+c=0 [1]

Cách giải:

Nếu -c/a>0, nghiệm là:

Nếu -c/a=0, có nghiệm x=0Nếu -c/a5.2.2. Khuyết hạng tử tự do ax2+bx=0 [2]

Ví dụ 2: Giải phương trình x2-4=0

ta có:

x2-4=0 ⇔ x2=4 ⇔ x=2 hoặc x=-2

5.3. Phương trình trùng phương: ax4+bx2+c=0 [a≠0]

Cách giải:

Đặt t=x2 [t≥0].Phương trình đã cho có dạng: at2+bt+c=0Giải như phương trình bậc 2 bình thường, điều kiện t≥0

5.3.Dạng Phương trình bậc 2 có tham số

Phương pháp giải biện luận số nghiệm của phương trình ta sử dụng công thức tính Δ, dựa vào dấu của Δ để biện luận nghiệm của phương trình.

Ví dụ: Giải và biện luận phương trình mx2-5x-m-5=0 [1]

Cách giải:

Xét m=0, lúc này [1] ⇔ -5x-5=0 ⇔ x=-1Xét m≠0, lúc này [1] là phương trình bậc 2 theo ẩn x.Δ= [-5]^2 -4m[-m-5] = [2m+5]^2Vì Δ≥0 nên phương trình luôn có nghiệm:Δ=0 ⇔ m=-5/2, phương trình có 1 nghiệm duy nhất.Δ>0 ⇔ m≠-5/2, phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Hai nghiệm của phương trình bậc 2

Xác định điều kiện tham số để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài trước tiên phương trình bậc 2 cần có nghiệm. Các bước giải như sau:

Tính Δ, sau đó tìm điều kiện để Δ không âm.Dựa vào định lý Viet, ta có được cách tính các hệ thức giữa tích và tổng, từ đó biện luận nghiệm theo yêu cầu của đề bài.

Điều kiện và các trường hợp biện luận nghiêm

Ví dụ: Cho pt x^2 – [m-2]x +m-4=0 [x ẩn ; m tham số ]

a] chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

Xét Δ = [m- 2]^2- 4*[m- 4]= m^2- 4m+ 4- 4m+ 16= m^2- 8m+ 20= [m- 4]^2+ 4>= 4

Δ >= 4> 0 với mọi m => pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .

b] Tìm giá trị của m để phương trình có 2 ng đối nhauphương trình có hai nghiệm đối nhau khi x1+ x2= 0 m- 2= 0 =>m=2Vậy với m= 2 phương trình có 2 nghiệm đối nhau

Ví dụ: Cho phương trình x^2-2mx+4m-4=0.

a] chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.b] Goi x1và x2 là hai nghiệm của phương trình. tìm m để 3x1x2+5 =x1^2-x2^2

Cách giải

a] Ta có:Δ’= m^2 – [4m-4] = m^2-4m+4 = [m-2]^2 ≥ 0⇔ phương trình luôn có nghiệm với mọi m thuộc Rb] Theo định lý Viet 

x1+x2 = 2m [*]

x1x2=4m-4 [*]

⇔ 3x1x2 + 5= -x1^2 – x2^2 ⇔ 3x1x2 + 5 = -[x1+x2]^2 + 2x1x2

⇔ [x1+x2]^2 + x1x2 + 5=0 [**]

ta thay phương trình [*] và phương trình [**] sẽ ra phương trình bậc 2 ẩn m và giải như bình thường.

Xem thêm: Top 20 Thử Que 2 Vạch Nhưng Xét Nghiệm Máu Âm Tính, Vậy Có Thai Hay Không?

Kết luận

Trên đây là tổng hợp những kiến thức cơ bản của phương trình bậc 2 và phương pháp chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m. Mong rằng những thông tin trên sẽ giúp ích cho các bạn học sinh và quý thầy cô tham khảo trong học tập và giảng dạy. 

Tìm m để phương trình sau có nghiệm là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được lingocard.vn biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Đang xem: Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 9, lingocard.vn mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 9 sau: Nhóm Luyện thi lớp 9 lên 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Bài tập liên quan đến tìm tham số của phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai được lingocard.vn biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tìm m để phương trình sau có nghiệm và tổng hợp các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập thêm. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Nhắc lại về điều kiện để phương trình có nghiệm

1. Nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn

+ Để phương trình bậc nhất một ẩn ax + b = 0 có nghiệm khi a ≠0.

2. Nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

+ Để phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 có nghiệm khi

II. Bài tập tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 1:Tìm m để phương trình -2×2 – 4x + 3 = m có nghiệm 

Hướng dẫn:

Sử dụng điều kiện để phương trình bậc hai một ẩn có nghiệm để giải bài toán.

Xem thêm: Giải Vở Bài Tập Toán Lớp 3 Tập 2 Trang 73 Tập 2 Câu 1, 2, 3, 4

Lời giải:

 -2×2 – 4x + 3 = m ⇔ -2×2 – 4x + 3 – m = 0

Để phương trình có nghiệm ⇔ ∆” > 0

Vậy với m ≤ 5 thì phương trình có -2×2 – 4x + 3 = m có nghiệm

Bài 2: Tìm m để phương trình x2 – 2[m + 1]x + m2 – 4m + 3 = 0 có nghiệm.

Hướng dẫn:

Sử dụng điều kiện để phương trình bậc hai một ẩn có nghiệm để giải bài toán.

Lời giải:

Để phương trình x2 – 2[m + 1]x + m2 – 4m + 3 = 0 có nghiệm ⇔ ∆” ≥ 0

Vậy với

thì phương trình x2 – 2[m + 1]x + m2 – 4m + 3 = 0 có nghiệm

Bài 3: Chứng minh phương trình x2 + [m – 3]x – 3m = 0 luôn có nghiệm với mọi m.

Hướng dẫn:

Xét ∆ và chứng minh ∆ luôn dương với mọi tham số m, khi đó phương trình luôn có nghiệm.

Xem thêm: Hướng Dẫn Giải Bài Tập Toán 9 Trang 30 Tập 2 3 Trang 30 31 Sgk Toán 9 Tập 2

Lời giải:

Ta có ∆ = [m – 3]2 – 4.1.[-3m] = m2 + 6m + 9 = [m + 3]2 ≥ 0 ∀ m

Vậy phương trình x2 + [m – 3]x – 3m = 0 luôn có nghiệm với mọi m

Bài 4: Tìm m để phương trình [m – 1]x2 – 2[m + 2]x + m + 2 = 0 có nghiệm

Hướng dẫn:

Do hệ số của biến x2 chứa tham số m nên ta phải chia thành hai trường hợp để giải bài toán.

Lời giải:

Bài toán chia thành 2 trường hợp

TH1: m – 1 = 0 ⇔ m = 1. Khi đó phương trình trở thành phương trình bậc nhất một ẩn

TH2: m – 1 ≠0 ⇔ m ≠1. Khi đó phương trình trở thành phương trình bậc hai một ẩn

Để phương trình có nghiệm ⇔ ∆” ≥ 0

Vậy với

thì phương trình [m – 1]x2 – 2[m + 2]x + m + 2 = 0 có nghiệm

III. Bài tập tự luyện tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 1: Tìm các giá trị của m để các phương trình dưới đây có nghiệm

1,

2,

3,

4,

5,

6,

7,

8,

9,

10,

11,

12,

13,

14,

15,

Bài 2: Chứng minh rằng các phương trình dưới đây luôn có nghiệm với mọi m

1,

2,

—————–

Ngoài chuyên đề tìm m để phương trình có nghiệm, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, … và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tốt!

Tham khảo thêmĐánh giá bài viết 6 27.559 Chia sẻ bài viết Tải về Bản in 0 Bình luận

Sắp xếp theo Mặc định Mới nhất Cũ nhất