- Đề bài
- LG bài 1
- LG bài 2
- LG bài 3
- LG bài 4
- LG bài 5
Đề bài
Bài 1. [2,0 điểm]
Cho đơn thức \[A = \left[ {\frac{2}{3}{x^3}y} \right].{\left[ {\frac{1}{2}x{y^2}} \right]^3}.\left[ {\frac{{ - 8}}{5}{x^2}} \right]\]
a] Thu gọn, xác định hệ số, phần biến và bậc của đơn thức A;
b] Tính giá trị của biểu thức A tại \[x = 2;\,\,y = \frac{{ - 1}}{2}\].
Bài 2. [2,0 điểm] Cho hai đa thức
\[P[x] = {x^4} + 3{x^3} - x + \frac{1}{2} - {x^3} - 4x\]
\[Q[x] = \frac{3}{2} - 4{x^3} + {x^4} - 2x - 3x + 2{x^3}.\]
a] Thu gọn và sắp xếp các đa thức P[x], Q[x] theo lũy thừa giảm của biến.
b] Tính \[P[x] + Q[x];\,\,P[x] - Q[x]\].
Bài 3. [2,0 điểm] Tìm nghiệm của các đa thức sau:
a] \[A[x] = 3x - 2;\]
b] \[B[x] = 2[3x - 1] - 5[x - 1];\]
c] \[C[x] = \frac{1}{2}{x^3} - 2x;\]
d] \[D[x] = 2{x^2} - 5x - 7\].
Bài 4. [3,5 điểm] Cho tam giác ABC cân tại A và \[\widehat A < {90^0}\], CD là tia phân giác của góc ACB [D\[ \in \]AB]. Từ D kẻ DE \[ \bot \] AC tại E, DF \[ \bot \] BC tại F. Đường thẳng DE cắt BC tại K, đường thẳng DF cắt AC tại H.
a] Chứng minh \[\Delta \]ECD = \[\Delta \]FCD;
b] Chứng minh \[\Delta \]ECK = \[\Delta \]FCH;
c] Gọi M là trung điểm của HK. Chứng minh ba điểm C, D, M thẳng hàng.
Bài 5. [0,5 điểm] Cho đa thức \[f\left[ x \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}a{x^2} + bx + c\] với a, b, c là các hằng số.
Biết \[f\left[ 0 \right],f\left[ 1 \right],f\left[ { - 1} \right],f\left[ {\frac{{ - 1}}{2}} \right]\] là các số nguyên. Chứng minh rằng a, b, c là các số nguyên.
LG bài 1
Phương pháp giải:
a] Rút gọn A
b] Thay \[x = 2;\,\,y = \frac{{ - 1}}{2}\] vào A
Lời giải chi tiết:
a]
\[\begin{array}{l}A = \left[ {\frac{2}{3}{x^3}y} \right].{\left[ {\frac{1}{2}x{y^2}} \right]^3}.\left[ {\frac{{ - 8}}{5}{x^2}} \right]\\A = \left[ {\frac{2}{3}.\frac{1}{2}.\frac{{ - 8}}{5}} \right].\left[ {{x^3}.{x^3}.{x^2}} \right].\left[ {y.{y^6}} \right]\\A = \frac{{ - 8}}{{15}}.{x^8}.{y^7}\end{array}\]
b]
Thay \[x = 2;\,\,y = \frac{{ - 1}}{2}\] vào A ta được:
\[\begin{array}{l}A = \frac{{ - 8}}{{15}}{.2^8}.{\left[ {\frac{{ - 1}}{2}} \right]^7}\\A = \frac{{16}}{{15}}\end{array}\]
LG bài 2
Phương pháp giải:
a] Thu gọn và sắp xếp.
b] Đặt tính rồi tính
Lời giải chi tiết:
a]
\[\begin{array}{l}P[x] = {x^4} + 3{x^3} - x + \frac{1}{2} - {x^3} - 4x\\P[x] = {x^4} + [3{x^3} - {x^3}] - [x + 4x] + \frac{1}{2}\\P[x] = {x^4} + 2{x^3} - 5x + \frac{1}{2}\end{array}\]
\[\begin{array}{l}Q[x] = \frac{3}{2} - 4{x^3} + {x^4} - 2x - 3x + 2{x^3}.\\Q[x] = {x^4} + [ - 4{x^3} + 2{x^3}] - [2x + 3x] + \frac{3}{2}\\Q[x] = {x^4} - 2{x^3} - 5x + \frac{3}{2}\end{array}\]
b]
LG bài 3
Phương pháp giải:
Cho các đa thức bằng 0 rồi giải tìm x
Lời giải chi tiết:
a]
\[\begin{array}{l}A[x] = 0 \Leftrightarrow 3x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 3x = 2 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}\end{array}\]
Vậy nghiệm của đã thức A[x] là \[x = \frac{2}{3}\]
b]
\[\begin{array}{l}B[x] = 0\\ \Leftrightarrow 2[3x - 1] - 5[x - 1] = 0\\ \Leftrightarrow 6x - 2 - 5x + 5 = 0\\ \Leftrightarrow x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow x = - 3\end{array}\]
Vậy nghiệm của đã thức B[x] là \[x = - 3\].
c]
\[\begin{array}{l}C[x] = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{x^3} - 2x = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}x\left[ {{x^2} - 4} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}x = 0}\\{{x^2} - 4 = 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = \pm 2}\end{array}} \right.\end{array}\]
Vậy tập nghiệm của đa thức C[x] là \[\{ 0;\,2: - 2\} \]
d]
\[\begin{array}{l}D[x] = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x - 7 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x - 7x - 7 = 0\\ \Leftrightarrow 2x[x + 1] - 7[x + 1] = 0\\ \Leftrightarrow [x + 1][2x - 7] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 = 0}\\{2x - 7 = 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{x = \frac{7}{2}}\end{array}} \right.\end{array}\].
Vậy nghiệm của đa thức D[x] là -1 và \[\frac{7}{2}\]
LG bài 4
Phương pháp giải:
a] Hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền - góc nhọn
b]Hai tam giác bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh - góc
c] Sử dụng tính chất 3 đường cao trong 1 tam giác đồng quy
Lời giải chi tiết:
a]
Xét \[\Delta ECD\] và \[\Delta FCD\] có:
\[\widehat {CFD} = \widehat {CED} = {90^0}\]
\[\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\] [do CD là phân giác góc C]
CD chung
=> \[\Delta ECD\] = \[\Delta FCD\] [ch.gn] [1]
b]
Do [1] nên EC = FC
Xét \[\Delta ECK\] và \[\Delta FCH\] có:
\[\widehat {KEC} = \widehat {HFC} = {90^0}\]
EC = FC
\[\widehat C\] chung
=> \[\Delta ECK\] = \[\Delta FCH\] [g.c.g] [2]
c]
Ta có:
\[KE \bot HC\] và \[HF \bot KC\]
\[HF \cap KE = \left\{ D \right\}\]
=> D là trực tâm tam giác HKC
=> \[CD \bot HK\][3]
Do [2] suy ra HC = KC => Tam giác HKC cân tại C.
Mà M là trung điểm của HK nên \[CM \bot HK\] [4]
Từ [3] và [4] suy ra C, D, M thẳng hàng.
LG bài 5
Phương pháp giải:
Tính\[f\left[ 0 \right],f\left[ 1 \right],f\left[ { - 1} \right],f\left[ {\frac{{ - 1}}{2}} \right]\]
Sử dụng tính chất a, b là số nguyên thì a-b và a+b cũng là số nguyên
Lời giải chi tiết:
+ Ta có: \[f[0] = a{.0^2} + b.0 + c = c\]=> c là số nguyên
+ \[f[1] = a{.1^2} + b.1 + c = a + b + c\] là số nguyên mà c là số nguyên
=> \[a + b\] là số nguyên => 2a + 2b là số nguyên [1]
+ \[f[ - 1] = a.{[ - 1]^2} + b.[ - 1] + c = a - b + c\] là số nguyên mà c là số nguyên
=> \[a - b\] là số nguyên => \[2a - 2b\] là số nguyên [2]
\[\begin{array}{l}f\left[ {\frac{{ - 1}}{2}} \right] = a.{\left[ {\frac{{ - 1}}{2}} \right]^2} + b.\left[ {\frac{{ - 1}}{2}} \right] + c\\ = \frac{1}{4}a - \frac{1}{2}b + c = \frac{1}{4}.\left[ {a - 2b} \right] + c\end{array}\]
Do c là số nguyên nên \[\frac{1}{4}.\left[ {a - 2b} \right]\] là số nguyên
=> \[4.\frac{1}{4}.\left[ {a - 2b} \right]\] là số nguyên nên \[\left[ {a - 2b} \right]\]là số nguyên [3]
Từ [2] và [3] suy ra: \[[2a - 2b] - [a - 2b]\] là số nguyên
=> \[2a - 2b - a + 2b\] là số nguyên => a là số nguyên [4]
Từ [1] và [4] suy ra b là số nguyên.
Vậy a, b, c là số nguyên.