Đề bài
Câu 1 [2đ] Cho hình chữ nhật ABCD, \[AB = 3;AD = 4\] Hãy tính?
a. \[\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right|\]
b. \[\left| {2\overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AD} } \right|\]
Câu 2 [1đ] Cho \[\Delta ABC\] có đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM. Chứng minh các đẳng thức vectơ sau:
a] \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CI} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {CB} \]
b] \[2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \]
Câu 3 [2đ] Cho các véc tơ : \[\overrightarrow a = [2; - 3]\] , \[\overrightarrow b = [ - 5;1]\] và \[\overrightarrow c = [ - 5; - 12]\].
a] Tính toạ độ véc tơ \[\overrightarrow u = \overrightarrow {2a} + 3\overrightarrow b \] .
b] Phân tích vectơ \[\overrightarrow c \] theo hai vectơ \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \].
Câu 4 [2.5đ] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A[4;1]; B[0;3]; C[1;2].
a] Chứng minh ba điểm A, B, C lập thành ba đỉnh của một tam giác.
b] Tìm tọa độ của trung điểm cạnh AB.
c] Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
d] Tìm tọa độ điểm D của hình bình hành ABCD.
e] Tìm tọa độ điểm E thuộc trục hoành sao cho \[AE + BE\] đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5 [1đ] Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của AB.
a. Tính \[\overrightarrow {DM} \] theo \[\overrightarrow {DA} \] và \[\overrightarrow {DC} \];
b. Gọi N là điểm thỏa mãn \[\overrightarrow {NC} + 2\overrightarrow {NA} = \overrightarrow 0 \]. Chứng minh D, N, M thẳng hàng.
Câu 6 [0.75đ] Cho tam giác ABC.Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn
\[\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = \dfrac{3}{2}\left| {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\]
Câu 7 [0.75đ] Biết tháp Eiffel ở thủ đô Paris nước Pháp có chiều cao là 324m. Khi xây dựng người ta thiết kế theo tỉ lệ vàng. Tính độ cao từ mặt đất tới tầng 2 của tháp [Đoạn AB]
Lời giải chi tiết
Câu 1 [2 điểm]
a] Ta có:
ABCD là hình chữ nhật nên \[\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC\]
Tam giác ABC vuông tại B nên theo Pitago ta có:
\[AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} \] \[ = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\]
Vậy \[\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = 5\].
b] Dựng các điểm E, F sao cho \[\overrightarrow {AE} = 2\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AF} = 3\overrightarrow {AD} \]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow AE = 2AB = 2.3 = 6\\AF = 3AD = 3.4 = 12\end{array}\]
Dựng hình chữ nhật \[AEMF\] ta có :
\[\left| {2\overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} } \right|\]\[ = \left| {\overrightarrow {AM} } \right| = AM\]
Tam giác \[AEM\] vuông tại E nên theo Pitago ta có:
\[AM = \sqrt {A{E^2} + E{M^2}} \]\[ = \sqrt {{6^2} + {{12}^2}} = 6\sqrt 5 \]
Câu 2 [1 điểm]
a.
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CI} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {CB} \\ \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AI} } \right] + \overrightarrow {CI} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {CI} + \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 \end{array}\]
b. \[2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \]\[ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IM} = \overrightarrow 0 \]
\[ \Leftrightarrow 2\left[ {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IM} } \right] = \overrightarrow 0 \] [đúng vì I là trung điểm của AM]
[đpcm]
Câu 3 [2 điểm]
\[\overrightarrow a = [2; - 3]\] , \[\overrightarrow b = [ - 5;1]\] và \[\overrightarrow c = [ - 5; - 12]\]
a.
\[\begin{array}{l}2\overrightarrow a = [4; - 6]\\3\overrightarrow b = [ - 15;3]\end{array}\]
\[\overrightarrow u = \overrightarrow {2a} + 3\overrightarrow b = \left[ { - 11; - 3} \right]\]
b. Gọi hai số m, n thoã mãn \[\overrightarrow c = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b \]
Ta có hệ phương trình :\[\left\{ \begin{array}{l}2m - 5n = - 5\\ - 3m + n = - 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n = 3\end{array} \right.\]
Vậy : \[\overrightarrow c = 5\overrightarrow a + 3\overrightarrow b \]
Câu 4 [2.5 điểm]
A[4;1]; B[0;3]; C[1;2].
a. \[\overrightarrow {AB} = \left[ { - 4;2} \right];\overrightarrow {AC} = \left[ { - 3;1} \right]\]
Ta có \[\dfrac{{ - 4}}{{ - 3}} \ne \dfrac{2}{1}\] nên \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \] không cùng phương.
Vậy A, B, C là 3 đỉnh của tam giác.
b. Gọi \[M\] là trung điểm của \[AB\] thì \[\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \dfrac{{4 + 0}}{2} = 2\\{y_M} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \dfrac{{1 + 3}}{2} = 2\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow M\left[ {2;2} \right]\]
Vậy tọa độ trung điểm của AB là :\[M\left[ {2;2} \right]\]
c. Gọi \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\] thì: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{4 + 0 + 1}}{3} = \dfrac{5}{3}\\{y_G} = \dfrac{{1 + 3 + 2}}{3} = 2\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow G\left[ {\dfrac{5}{3};2} \right]\]
Vậy tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: \[G\left[ {\dfrac{5}{3};2} \right]\]
d. \[\overrightarrow {BC} = \left[ {1; - 1} \right]\]
ABCD là hình bình hành
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} - 4 = 1\\{y_D} - 1 = - 1\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 5\\{y_D} = 0\end{array} \right.\]
Vậy \[D\left[ {5;0} \right]\]
e.
Gọi \[E\left[ {{x_E};0} \right] \in Ox\]
Gọi B đối xứng với B qua trục Ox thì \[B'\left[ {0; - 3} \right]\]
\[AE + BE = AE + B'E \ge AB'\]
Do đó \[AE + BE\] đạt GTNN bằng \[AB'\] khi A,B,E thẳng hàng
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AE} = k\overrightarrow {AB'} \]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} - 4 = - 4k\\0 - 1 = k.\left[ { - 4} \right]\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \dfrac{1}{4}\\{x_E} = 3\end{array} \right.\]
Vậy \[E\left[ {3;0} \right]\]
Câu 5 [1 điểm]
a. \[\overrightarrow {DM} = \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} } \right]\]\[ = \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} } \right]\]
\[ = \dfrac{1}{2}\left[ {2\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} } \right] = \overrightarrow {DA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {DC} \] [1]
b. \[\overrightarrow {NC} + 2\overrightarrow {NA} = \overrightarrow 0 \]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DN} + 2\left[ {\overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DN} } \right] = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DN} + 2\overrightarrow {DA} - 2\overrightarrow {DN} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {DN} = 2\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} \\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\overrightarrow {DN} = \overrightarrow {DA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {DC} \,\,\,\,\,\,\left[ 2 \right]\end{array}\]
Từ [1] và [2] suy ra:
\[\overrightarrow {DM} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {DN} \] nên 3 điểm D, M, N thẳng hàng.
Câu 6[0.75 điểm]
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, I là trung điểm BC.
Khi đó
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \\\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MI} \end{array}\]
\[\begin{array}{l}\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = \dfrac{3}{2}\left| {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\\ \Leftrightarrow \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| = \dfrac{3}{2}\left| {2\overrightarrow {MI} } \right|\\ \Leftrightarrow 3\left| {\overrightarrow {MG} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {MI} } \right|\\ \Leftrightarrow MG = MI\end{array}\]
Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn GI.
Câu 7 [0.75 điểm]
Do xây theo tỉ lệ vàng nên ta có \[\dfrac{{BC}}{{AB}} = 1,618 \Rightarrow BC = 1,618AB\]
Mà \[BC + AB = 324\] nên \[1,618AB + AB = 324\]
\[ \Leftrightarrow 2,618AB = 324\] \[ \Leftrightarrow AB = 123,76\]
Vậy độ cao của tháp là \[123,76\left[ m \right]\].
Sưu tầm