Đề bài
Trong mặt phẳng \[Oxy\] cho đường thẳng \[d\] có phương trình \[3x-y+2=0\]. Viết phương trình của đường thẳng \[d'\] là ảnh của \[d\] qua phép đối xứng trục \[Oy\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cách 1:
Bước 1: Lấy hai điểm \[A, B\] bất kì thuộc đường thẳng \[d.\]
Bước 2: Gọi \[A'; B'\] lần lượt là ảnh của \[A, B\] qua phép đối xứng trục \[Oy\], tìm tọa độ điểm \[A'; B'\] [Ảnh của điểm \[M[x;y]\] qua phép đối xứng trục \[Oy\] là \[M'[-x;y]].\]
Bước 3: Ảnh của đường thẳng \[d\] qua phép đối xứng trục \[Oy\] là đường thẳng \[A'B'\]. Viết phương trình đường thẳng \[A'B'.\]
Cách 2: Sử dụng biểu thức tọa độ.
Gọi \[M'[x', y']\] là ảnh của \[M [x;y]\] qua phép đối xứng trục \[Oy\]. Rút x, y\] theo x'\] và y'\] và thế vào phương trình đường thẳng \[d.\]
Lời giải chi tiết
Cách 1:
Cho \[x = 0\] suy ra \[-y+2=0\] hay \[y = 2.\]
Cho \[x = -1\] suy ra \[-3.[-1]-y+2=0\] hay \[y= -1.\]
Do đó ta được hai điểm \[A[0;2]\] và \[B [-1;-1]\] thuộc \[d\].
Gọi \[A'\] = \[{D_{Oy}}[A]\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_{A'}} = - {x_A} = 0\\
{y_{A'}} = {y_A} = 2
\end{array} \right. \Rightarrow A'\left[ {0;2} \right]\]
\[B'\] = \[{D_{Oy}} [B]\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_{B'}} = - {x_B} = 1\\
{y_{B'}} = {y_B} = - 1
\end{array} \right. \Rightarrow B'\left[ {1; - 1} \right]\]
Khi đó ảnh của đường thẳng \[d\] qua phép đối xứng trục \[Oy\] là đường thẳng \[A'B'.\]
Ta có:\[\overrightarrow {A'B'} = \left[ {1; - 3} \right] \Rightarrow \overrightarrow {{n_{A'B'}}} = \left[ {3;1} \right]\] là VTPT của \[A'B'.\]
Mà \[A'B'\] đi qua \[A'[0;2]\] nên có phương trình:
\[3[x-0] + 1.[y-2] =0\] hay \[3x+y-2=0.\]
Cách 2:
Gọi \[M[x;y]\] bất kì thuộc \[d\], \[M'[x', y']\] là ảnh của \[M [x;y]\] qua phép đối xứng trục \[Oy\] nên \[M'\] thuộc \[d'\].
Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}x' = - x\\y' = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - x'\\y = y'\end{array} \right.\]
Ta có \[M\] thuộc \[d 3x-y+2 =0\] \[ -3x' - y' + 2=0\]
\[ M' \] thuộc đường thẳng \[d'\] có phương trình \[3x + y - 2 = 0\]