Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức:
LG a
\[\displaystyle {{x + 3} \over {x - 1}}\],
Phương pháp giải:
Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.
Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:
*] Xét chiều biến thiên của hàm số:
+] Tính đạo hàm.
+] Tìm các điểm \[{{x}_{i}}\] mà tại đó đạo hàm có \[y'=0\] hoặc đạo hàm không xác định.
+] Xét dấu đạo hàm y và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
*] Tìm cực trị: \[y\left[ {{x}_{i}} \right].\]
*] Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực và tiệm cận của đồ thị hàm số [nếu có]: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} y,...\]
*] Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
Bước 3: Đồ thị:
+] Giao điểm của đồ thị với trục tung: \[x=0\Rightarrow y=....\Rightarrow A\left[ 0;\ ..... \right].\]
+] Giao điểm của đồ thị với trục hoành: \[y=0\Rightarrow x=.....\Rightarrow B\left[ ...;0 \right].\]
+] Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định :\[\displaystyle \mathbb R{\rm{\backslash \{ }}1\}\];
* Sự biến thiên:
Ta có: \[\displaystyle y' = {{ - 4} \over {{{[x - 1]}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\];
- Hàm số nghịch biến trên khoảng: \[\displaystyle [-\infty;1]\] và \[\displaystyle [1;+\infty]\].
- Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
\[\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ - }} = - \infty \], \[\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }} = +\infty\]; \[\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 1\]
Do đó, tiệm cận đứng là: \[\displaystyle x = 1\]; tiệm cận ngang là: \[\displaystyle y = 1\].
Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Đồ thị nhận điểm \[\displaystyle I[1;1]\] làm tâm đối xứng.
Đồ thị giao trục tung tại:\[\displaystyle [0;-3]\], trục hoành tại \[\displaystyle [-3;0]\]
LG b
\[\displaystyle {{1 - 2{\rm{x}}} \over {2{\rm{x}} - 4}}\],
Lời giải chi tiết:
Tập xác định :\[\displaystyle \mathbb R \backslash {\rm{\{ }}2\} \];
* Sự biến thiên:
Ta có: \[\displaystyle y' = {6 \over {{{\left[ {2{\rm{x}} - 4} \right]}^2}}} > 0,\forall x \ne 2\]
- Hàm số đồng biến trên khoảng: \[\displaystyle [-\infty;2]\] và \[\displaystyle [2;+\infty]\]
- Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
\[\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to {2^ - }} = + \infty \], \[\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to {2^ + }} = - \infty \], \[\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = - 1\]
Do đó, tiệm cận đứng là: \[\displaystyle x = 2\]; tiệm cận ngang là:\[\displaystyle y = -1\].
Bảng biến thiên :
* Đồ thị:
Đồ thị nhận điểm \[\displaystyle I[2;-1]\] lầm tâm đối xứng.
Đồ thị giao trục tung tại: \[\displaystyle \left[ {0; - {1 \over 4}} \right]\], trục hoành tại: \[\displaystyle \left[ {{1 \over 2};0} \right]\]
LG c
\[\displaystyle {{ - x + 2} \over {2{\rm{x}} + 1}}\]
Lời giải chi tiết:
Tập xác định :\[\displaystyle R\backslash \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}\];
Sự biến thiên:
Ta có: \[\displaystyle y' = {{ - 5} \over {{{\left[ {2{\rm{x}} + 1} \right]}^2}}} < 0,\forall x \ne - {1 \over 2}\]
- Hàm số nghịch biến trên khoảng: \[\displaystyle [-\infty;{-1\over 2}]\] và \[\displaystyle [{-1\over 2};+\infty]\]
- Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
\[\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to - {{{1 \over 2}}^ - }} = - \infty \], \[\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to - {{{1 \over 2}}^ + }} = + \infty \], \[\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = - {1 \over 2}\]
Do đó, tiệm cận đứng là: \[\displaystyle x = - {1 \over 2}\]; tiệm cận ngang là: \[\displaystyle y = - {1 \over 2}\].
Bảng biến thiên :
* Đồ thị
Đồ thị nhận điểm \[\displaystyle I[- {1 \over 2};- {1 \over 2}]\] làm tâm đối xứng.
Đồ thị giao \[\displaystyle Ox\] tại: \[\displaystyle [2;0]\], \[\displaystyle Oy\] tại: \[\displaystyle [0;2]\]