VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Cho điểm M[x0; y0] và đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0. Khi đó, khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ được tính theo công thức d [M, ∆] = |Ax0 + By0 + C| √A2 + B2. BÀI TẬP DẠNG 4. Ví dụ 1. Tìm khoảng cách từ điểm M[1; 2] đến đường thẳng [D]: 4x + 3y − 2 = 0. Áp dụng công thức tính khoảng cách ta có d[M, D] = |4 · 1 + 3 · 2 − 2| √42 + 32 = 85. Ví dụ 2. Tìm những điểm nằm trên đường thẳng ∆: 2x + y − 1 = 0 và có khoảng cách đến [D]: 4x + 3y − 10 = 0 bằng 2. Ví dụ 3. Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A[1, −3] và có khoảng cách đến điểm M0[2, 4] bằng 1. Lời giải. Giả sử đường thẳng ∆ đi qua điểm A[1; −3] có hệ số góc k. Khi đó phương trình ∆ có dạng: y + 3 = k[x − 1] ⇔ kx − y − k − 3 = 0. Vậy phương trình ∆: 24x − 7y − 45 = 0. Ví dụ 4. Viết phương trình của đường thẳng [D] song song với [D0]: 3x + 4y − 1 = 0 và cách [D0] một đoạn bằng 2. Đường thẳng [D] ∥ [D0] nên phương trình đường thẳng [D]: 3x + 4y + c = 0. Lấy điểm M[−1; 1] ∈ [D0], theo đề ta có: d[D, D0] = d[M, D] = 2 ⇔ | − 3 + 4 + c|5 = 2 ⇔ |c + 1| = 10 ⇔ c = 9, c = −11. Với c = 9 ta có D : 3x + 4y + 9 = 0. Với c = −11 ta có D : 3x + 4y − 11 = 0. Ví dụ 5. Cho điểm A[−1, 2] và hai đường [∆]: x − y − 1 = 0,[∆0]: x + 2y − 5 = 0. Tìm trên đường thẳng [∆] một điểm M sao cho khoảng cách từ M đến [∆0] bằng AM.
Ví dụ 6. Tìm phương trình của đường thẳng cách điểm M[1, 1] một khoảng bằng 2 và cách điểm M0 [2, 3] một khoảng bằng 4. Giả sử phương trình cần tìm là ∆: Ax + By + C = 0. Theo đề ta có: d[M, ∆] = 2 ⇔ |A + B + C| √A2 + B2 = 2 ⇔ |A + B + C| = 2√A2 + B2. Từ [1] và [2] ta có |2A + 3B + C| = 2|A + B + C| ⇔ 2A + 3B + C = 2[A + B + C], 2A + 3B + C = −2[A + B + C] ⇔ B − C = 0, 4A + 5B + 3C = 0. Thay B = C và [1] ta được |A + 2B| = 2√A2 + B2 ⇒ 3A2 − 4BA = 0. Với A = 0, chọn B = C = 1, ta được đường thẳng ∆1: y + 1 = 0. Với A = 4, chọn B = 3 ⇒ A = 4, C = 3. Ta có đường thẳng ∆2 : 4x + 3y + 3 = 0. Giải phương trình bậc hai theo ẩn A, ta có ∆0 = 4B2 − 1020B2 = −1016B2 ≤ 0. Trường hợp B = 0, ta có ∆0 = 0, phương trình có nghiệm kép A = 0, vô lý. Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu.
Trong bài trước chúng tôi đã chia sẻ lý thuyết về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng nên hôm nay chúng tôi tiếp tục chia sẻ khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng có ví dụ minh họa chi tiết trong bài viết dưới đây để các bạn cùng tham khảo nhé
Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian là gì?
Trong không gian cho điểm A và đường thẳng Δ bất kỳ. Gọi điểm B là hình chiếu của điểm A lên đường thẳng Δ. Khi đó độ dài đoạn thẳng AB chính là khoảng cách từ điểm A lên đường thẳng Δ.
Hay nói cách khác khoảng cách giữa điểm và đường thẳng chính là khoảng cách giữa điểm và hình chiếu của nó trên đường thẳng. Ký hiệu là d[A,Δ].
Tham khảo thêm:
Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Phương pháp:
– Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm M [ x0; y0]. Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là
– Cho điểm A[ xA; yA] và điểm B[ xB; yB] . Khoảng cách hai điểm này là: AB = √[xA – xB]2 + [yB – yA]2
Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng d chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường thẳng d về dạng tổng quát.
Ví dụ 1:Khoảng cách từ điểm M[ 1; -1] đến đường thẳng [ a] : 3x – 4y – 21 = 0 là:
Ví dụ 2: Xét một hệ trục tọa độ Oxyz có đường thẳng Δ:
Lời giải: Khoảng cách AM nhỏ nhất khi AM ⊥ Δ => AMmin=d[A;Δ].
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC biết A [1, 2]; B [2,3]; C[-1,2] Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A xuống cạnh BC
Lời giải:
Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A đến cạnh BC chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC. Do đó ta cần viết được phương trình của đường thẳng BC
Ví dụ 4: Đường tròn [C] có tâm là gốc tọa độ O[0; 0] và tiếp xúc với đường thẳng [d]: 8x + 6y + 100 = 0. Bán kính R của đường tròn [C] là?
Lời giải:
Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn [ C] nên khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng d chính là bán kính R của đường tròn
Ví dụ 5: Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng [a]: x – 3y + 4 = 0 và [b]: 2x + 3y – 1 = 0 đến đường thẳng ∆: 3x + y + 16 = 0 bằng là?
Lời giải:
Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng [ a] và [ b] tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình :
Đánh giá bài viết
XEM THÊM
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm có VD từ A – Z
Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp – Cách giải nhanh chính xác 100%