Có bao nhiêu số phức z thỏa mãnz2=2z+z¯+4 và |z-1-i|=|z-3+3i|?
A. 4.
B.3.
C. 1.
D. 2
Hay nhất
Chọn C
Đặt \[z=a+bi{\rm \; \; [}a,b\in {\rm R}].\]
Ta có \[\left|z-i\right|=5\]
\[\begin{array}{l} {\Leftrightarrow \left|a+[b-1]i\right|=5} \\ {\Leftrightarrow \sqrt{a^{2} +[b-1]^{2} } =5} \\ {\Leftrightarrow a^{2} +[b-1]^{2} =25} \\ {\Leftrightarrow a^{2} +b^{2} -2b+1=25{\rm \; }\left[1\right]} \end{array}\]
Lại có \[z^{2} =\left[a+bi\right]^{2} =a^{2} -b^{2} +2abi\] ,
mà \[z^{2}\] là số thuần ảo nên \[a^{2} -b^{2} =0\Leftrightarrow a^{2} =b^{2} [2]\]
Từ \[[1] \]và\[[2]\]\[\Rightarrow 2b^{2} -2b+1=25\Leftrightarrow 2b^{2} -2b-24=0\]
\[\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {b=-3} \\ {b=4} \end{array}\right. .\]
Với \[b=4\Rightarrow a=\pm 4.\]
Với \[b=-3\Rightarrow a=\pm 3.\]
Vậy có 4số phức zthỏa mãn yêu cầu bài toán.
Hay nhất
Chọn B
Giả sử \[z=x+iy{\rm \; }\left[x,y\in {\rm R}\right].\] Khi đó ta có
\[\left\{\begin{array}{l} {\left|z\right|^{2} =2\left|z+\overline{z}\right|+4} \\ {\left|z-1-i\right|=\left|z-3+3i\right|} \end{array}\right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x^{2} +y^{2} =4\left|x\right|+4} \\ {\left[x-1\right]^{2} +\left[y-1\right]^{2} =\left[x-3\right]^{2} +\left[y+3\right]^{2} } \end{array}\right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x^{2} +y^{2} =4\left|x\right|+4} \\ {x-2y=4} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {y=\frac{x-4}{2} } \\ {x^{2} +\left[\frac{x-4}{2} \right]^{2} =4\left|x\right|+4} \end{array}\right.
\]
\[\begin{array}{l} {\Rightarrow x^{2} +\left[\frac{x-4}{2} \right]^{2} =4\left|x\right|+4} \\ {\Leftrightarrow 5x^{2} -16\left|x\right|-8x=0} \end{array}\]
\[\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {\left\{\begin{array}{l} {x\ge 0} \\ {5x^{2} -24x=0} \end{array}\right. } \\ {\left\{\begin{array}{l} {x