Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn bất phương trình log1/2x+23-2x≥0?
A. 3
B. 0.
C. 1.
D. 2.
Đáp án C
Lời giải chi tiết:
log3x+2y=log2x2+y2=t→x+2y=3tx2+y2=2t→x+2y-3t=0x2+y2=2t
Để tồn tại x,y => Đường thẳng dx+2y-3t=0 và đường tròn C x2+y2=2t giao nhau
Ta có: I[0;0], R = 2t là tâm và bán kính của [C]
Ta có:
Nếu t f[t]>0 > f[t] = 0 vô nghiệm
Nếu t≥0→9t≥2t→9t-2t≥0→ft>0→ft=0 vô nghiệm
Với y = -1 Loại
với y = 1
Chúc em học tốt!
...Xem thêm
You are using an out of date browser. It may not display this or other websites correctly.
You should upgrade or use an alternative browser.
- Người khởi tạo Thanh Dat
- Ngày gửi 8/1/22
Phương pháp giải:
- Tìm ĐKXĐ của phương trình.
- Đặt \[{\log _3}\left[ {x + y} \right] = {\log _4}\left[ {{x^2} + {y^2}} \right] = t\], biểu diễn \[P = x + y\] và \[S = xy\] theo \[t\].
- Sử dụng định lí Vi-ét đảo, khi đó \[x,\,\,y\] là nghiệm của phương trình \[{X^2} - SX + P = 0\] [ẩn t].
- Tìm điều kiện để phương trình \[{X^2} - SX + P = 0\] ẩn t có nghiệm, chặn khoảng giá trị của \[t\].
- Từ đó chặn khoảng giá trị của \[{x^2} + {y^2}\] và tìm các số nguyên x thỏa mãn.
Giải chi tiết:
ĐKXĐ: \[\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\{x^2} + {y^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\x,\,\,y e 0\end{array} \right.\].
Đặt \[{\log _3}\left[ {x + y} \right] = {\log _4}\left[ {{x^2} + {y^2}} \right] = t\].
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = {3^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left[ {x + y} \right]^2} = {9^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2xy = {9^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = \dfrac{{{9^t} - {4^t}}}{2}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\end{array}\]
Khi đó \[x,\,\,y\] là nghiệm của phương trình
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{X^2} - {3^t}.X + \dfrac{{{9^t} - {4^t}}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow 2{X^2} - {2.3^t}.X + {9^t} - {4^t} = 0\,\,\,\left[ * \right]\end{array}\]
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình [*] phải có nghiệm, khi đó ta có \[\Delta {'_{\left[ * \right]}} \ge 0\].
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left[ {{3^t}} \right]^2} - 2.\left[ {{9^t} - {4^t}} \right] \ge 0\\ \Leftrightarrow {2.4^t} - {9^t} \ge 0\\ \Leftrightarrow 2{\left[ {\dfrac{4}{9}} \right]^t} - 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {\dfrac{4}{9}} \right]^t} \ge \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow t \le {\log _{\dfrac{4}{9}}}\dfrac{1}{2} \approx 0,85\end{array}\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = {3^t} \le {3^{{{\log }_{\dfrac{4}{9}}}\dfrac{1}{2}}}\,\,\,\,\left[ {{d_1}} \right]\\{x^2} + {y^2} = {4^t} \le {4^{{{\log }_{\dfrac{4}{9}}}\dfrac{1}{2}}}\,\,\left[ C \right]\end{array} \right.\,\,\,\left[ I \right]\].
Mà \[x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {0; \pm 1} \right\}\].
Tập hợp các cặp giá trị của \[\left[ {x;y} \right]\] thỏa mãn [I] là miền bôi đậm.
Mà \[x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {0;1} \right\}\].
Vậy có 2 giá trị của x thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn B.
Lời giải của GV Vungoi.vn
BPT: \[\left[ {{2^{{x^2}}} - {4^x}} \right]\left[ {{{\log }_2}\left[ {x + 14} \right] - 4} \right] \le 0\].
Bài này ta chia 2 trường hợp để giải.
TH1:
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} - {4^x} \ge 0\\{\log _2}\left[ {x + 14} \right] - 4 \le 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} \ge {2^{2x}}\\{\log _2}\left[ {x + 14} \right] \le 4\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 2x\\0 < x + 14 \le {2^4}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le 0\\x \ge 2\end{array} \right.\\ - 14 < x \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 14 < x \le 0\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\]
\[ \Rightarrow \] Trường hợp này có 15 giá trị nguyên \[x \in \left\{ { - 13; - 12; - 11;...;0;2} \right\}\].
TH2:
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} - {2^x} \le 0\\{\log _2}\left[ {x + 14} \right] - 4 \ge 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} \le {2^{2x}}\\{\log _2}\left[ {x + 14} \right] \ge 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \le 2x\\x + 14 \ge 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\x \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\end{array}\]
\[ \Rightarrow \] Trường hợp này có 1 nghiệm nguyên \[x\] thuộc trường hợp 1.
Vậy có tất cả 15 nghiệm nguyên \[x\] thỏa mãn bất phương trình.
Do đó [x; y] là tọa độ giao điểm của đường thẳng \[\left[ d \right]:x+y-{{3}^{t}}=0\] và đường tròn tâm \[O\] bán kính \[R={{2}^{t}}\]
Điều kiện tồn tại giao điểm này là \[d\left[ O,d \right]\le R\Leftrightarrow \frac{{{3}^{t}}}{\sqrt{2}}\le {{2}^{t}}\Leftrightarrow {{\left[ \frac{3}{2} \right]}^{t}}\le \sqrt{2}\Leftrightarrow t\le {{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt{2}\]
Dễ thấy hoành độ giao điểm x luôn thỏa mãn \[-R\le x\le R\Leftrightarrow -{{2}^{t}}\le x\le {{2}^{t}}\]. Mà \[t\le {{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt{2}\] nên \[0